衡阳县一中2016年下学期高二学科竞赛数学试题(文) 总分：150分时量：120分钟命题人：
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()
A.5 B.8 C.10 D.14
2．不等式(1＋x)(1－x)>0的解集为()
A．{x|0≤x<1}B．{x|x<－1或x>1}
C．{x|－1<x<1}D．{x|－1≤x≤1}
3.若不等式ax2＋x＋a＜0的解集为 ?，则实数a的取值范围是()
A．{a|a≤－1112或a≥2} B．{a|a＜2}
C．{a|－1112a2D．{a|a≥2}
4．在△ABC中，已知a＝6，b＝2，A＝60°，则B＝()
A．45°B．135°C．60°D．45°或135°
5．若点B(－1，－6)与C(－3，－2)在直线4x－3y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是( A．(－6，14) B．(14，＋∞)
C．(－∞，－6)∪(14，＋∞) D．(－∞，－6)
6.已知在△ABC中，a=x，b=2，B=45
x
( ) A. x>2B. x<27.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= (
A.1
8 B.?1
8 C.5755)
8 D.8
8．在△ABC中，ab
cos B＝cos A，则△ABC一定是()
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 )
x2y2
9.已知双曲线 2－ 2 ? 1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,ab
则双曲线的方程为( )
x2y2x2y2
A.－?1B.－?1 520205
3x23y23x23y2
C.－?1 D.－?1 2510010025
10.已知函数f(x)是定义在(0,+?)上的单调函数，且对任意的正数x,y都有f(x?y)=f(x)+f(y),若
?数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn+2) ?f(an)=f(3) (n?N),则an为 （ ）
n?1A． 2 n-1 B． n C．2n?1 D． () 3
2
x2y2
??1的左、右焦点，顶点P在双曲线上， 11.已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线169
sin A?sin B的值等于( ) 则sin P
45A.B.C.?????????????? 544 x
2y2
12.若点O和点
F分别为椭圆?=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则43
最大值为( )
A.2 B.3 C.6D.8 ·的
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。
x≥0，??
13．不等式组?x＋3y≥4，所表示的平面区域的面积等于________． ??3x＋y≤4，
1S14．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则a4________．
x2y2
15.设椭圆 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与ya2
. b轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于ab?cc?a16.在△ABC中,C=60°,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则 =.
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）
AAA??AB，C对边分别为a，b，c，在△ABC中，三内角A，若向量m＝?－cos2，sin2，向量n＝?cos2，sin2，
1n＝2. 且m·
(1)求角A的值；
(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令
19.（本小题满分12分）
某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是多少？
*bn＝an){b}n－1∈N，求数列n的前1n项和Tn.
20. （本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2(n≥2).
(1)证明:数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式an.
{bna?2(2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),设Tn是数列 n 的前n项和. 3
. 求证:Tn< 2
21. （本小题满分12分）
x2y2设椭圆C: 2?2=1(a>b>0)的离心率
e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离ab2
之和为4.
(1)求椭圆C的方程. (2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
22. （本小题满分12分） x2
2已知椭圆C1的方程为+y=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分4
别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程.
(2)若直线l
C2恒有两个不同的交点A和B,且的取值范围.
·>2(其中O为原点),求k
参考答案
1.B2.C 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8. D 9.A 10. D 11.A 12.C
413．3 14．15
．1
1AA112217.【解析】(1)由m·n＝2，得－cos2＋sin2＝2，即cos A＝－2.
∵A为△ABC的内角，
2∴A＝3.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
22即a＝(b＋c)－bc， 3
亦即12＝4－bc，∴bc＝4，
1∴S△ABC＝2bcsin A＝3.
18.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则由a3＝7，a5＋a7＝26，得 ???a1＋2d＝7，?a1＝3，?? ?2a1＋10d＝26， 解得???d＝2.2
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
n（n－1）2Sn＝3n2＝n＋2n. 2
(2)由(1)可知 an＝2n＋1，
所以bnan－11
1 ＝（2n＋1）－111 ＝4·n（n＋1）111 ＝4·(n－n＋1)，
11?1?11?111n所以Tn4?1－2＋23…nn＋1?＝4·?1n＋1?＝4（n＋1）
n即数列{bn}的前n项和Tn＝4（n＋1）19.【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则据题意可得如下表：
x≥0，??y≥0，
则有?3x＋y≤13， ??2x＋3y≤18，
目标函数z＝5x＋3y，
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x＝3，y＝4时，可获得最大利润为27万元． 20. 【解析】（1）
所以n=2.
又a1=2,
所以{an+2}是以a1+2=4为首项,以2为公比的等比数列.
n-1n+1所以an+2=4·2,所以an=2-2. 由a=2ann-1+2,所以an+2=2(an-1+2), a?2an?1?2
?2?由bn?log2?an?2??log22n?1?n?1,得bnn?1?n?1,an?22
23n?1????,①22232n?1
2nn?1 1Tn?3???n?1?n?2，②2222 12111n?1①?②，得Tn?2?3?4???n?1?n?2222222
11(1?) 1nn?1111n?13n?3???n?2???n?1?n?2??n?2.2422242 41?2
3n?33Tn??n?1,所以Tn＜.222 则Tn?
21【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.
因为e?c?所以
a2
x2y2所以所求椭圆C的方程为=1.?
42
(2)因为点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为
?y0?y1?2??1,?x?x?01P1(x1,y1),所以? y?yx?x?011?2?0.??22
解得x1?4y0?3x03y?4x0,y1?0. 55所以3x1-4y1=-5x0.
x2y2
因为点P(x0,y0)在椭圆C:=1上, ?42所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10. 所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10].
x2y2
22.【解析】(1)设双曲线C2的方程为2?2=1(a>0,b>0), ab则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2, 得b=1, 2
x2
2故C2的方程为-y=1. 3
x2
2(2)将
-y=1, 3
得(1-3k2)x2
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
?1?3k2?0,?????????2?36?1?3k2??36?1?k??0,2 所以k≠212且k<1. ① 3
设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2
?91x2=2, 1?3k· 所以=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1
2
=(k+1)x1x2
1+x2)+2 2
3k2?7=. 3k2?1
又由·>2,得
123k2?7>2,解得<k<3, ② 33k2?1
由①②得,12<k<1. 3
故k的取值范围为
∪
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