2014-2015学年度下学期高三二轮复习
数学理综合验收试题（5）【新课标】
满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
6．生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题
给分。
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知i为虚数单位，复数
（A）1 21的虚部是 1?i1（B）? 2（C）?1i 2（D）1i 2
（2）设集合A= {-1，0，2}，集合B={-x| x∈A且2-x?A}，则B=
（A）{1} （B）{-2}（C）{-1，-2} （D）{-1，0}
（3）若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是
（A）?p??s（B）p?s （C）?p??s （D）?s??p
（4）知题(4)图是收集重庆市2013年9月各气象采集点处的
平均气温（单位：℃）的数据制成的频率分布直方图，图
中有一处因污迹看不清．已知各采集点的平均气温范围是
[20.5，26.5]，且平均气温低于22.5℃的采集点个数为
11，则平均气温不低于25.5℃的采集点个数为
(A)6
(B)7
(C)8
(D)9
（5）执行如题（6）图所示的程序框图，则输出的a为
（A） 20
（B） 14
（C） 10
（D）7
（6）某几何体的三视图如题（7）图所示，其侧视图是一个边长为l的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何的体积为
（A）
1
1 21（C） 41（D） 8（B）
x2
2 （7）设A、P是椭圆+y=1上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP、BP分2
uuuruuur别交x轴于点M、N，则OM·ON=
（A）0 （B）1 （C
（D）2
?x(x?y)12n13n15nc?a,b?,c?（8）对任意的实数x，y，定义运算?:x?y??，设a?，则b?4925y(x?y)?
的值是
（A）a （B）b （C）c （D）不确定
（9）已知△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，若
uuuruuuruuuruuur，其中?>0，?>0，则??的最小值是 AE??AB,AF??AC
（A）1 （B）1 2（C）1 3（D）1 4
（10）已知1kxx≤k<1，函数f(x)=|2－1|－k的零点分别为x1，x（，函数g(x)= |2－1|－2x1<x2）32k?1
的零点分别为x3，x4 (x3<x4)，则(x4－x3)+(x2－xl)的最小值为
(A)l (B) log23 . (C) log26 (D) 3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相对应位置上．
（11）已知sin（???
2）=1?，且?∈（0，），则tan?= 。 32
*（12）等比数列{an}满足：对任意n?N，2(an?2)?3an?1,an?1?an，则公比。
（13）已知平面区域?={（x，y
}，直线l：y=mx+ 2m和曲线C：
有
两个不同的交点，直线l与曲线C围成的平面区域为M，向区域?内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[??2，1]，则实数m的取值范围是 。 2?
考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
（14）如题(14)图：两圆相交于点B、B1，直线PB与PB1分别与两圆交于点A、C和A1、Cl，
A1 B1 =1，则B 1Cl= 。
(15)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
已知直线???x??t
??y?（t为参数）与曲线C1：?= 4sin?异于点O的交点为A、与曲线C2：?=2sin?异于点O的交
点为B，则|AB|=。
(16)函数f (x)=|x+l|+|x－a|，若不等式f (x)≥6的解集为(-∞，-2]U?4,???，则实数a的值
为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
urrurr（17
）已知向量m??x,cos?x),n?(cos?x,?cos?x)(??0)，函数f（x）=m·n的最小正周期为?． 2
（I）求国的值；
2 （II）设△ABC的三边a、b、c满足：b=ac，且边b所对的角为x，若关于x的方程f（x）=k
有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
（18）（本小题满分13分）
某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制．已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率21，否则其获胜的概率为． 32
（I）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；
（II）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球．规定胜一局记2分，负一局记0分，记?
为比赛结束时甲的得分，求随机变量?的分布列及数学期望E?．
（19）（本小题满分12分）
o 如题(19)图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90，AA1=3，AC=BC=2,D为AB中点，E为BB1上一点，且BE??． EB1
2时，求证：CE⊥平面A1ClD； 7
o （I）当?? (II)若直线CE与平面A1DE所成的角为30，求?的值，
（20）（本小题满分12分）
2x2 已知函数f（x）=（x－ax+a）e－x，a∈R．
（I）设函数g（x）=f(x)，当a=0时，讨论g（x）的单调性； x
（II）若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
x2y2x2
2 已知椭圆Cl：2?2=1（a>b>0））和椭圆C2：+y=1
的离心率相同，且点在椭圆ab2
C1上．
（I）求椭圆Cl的方程；
( II)设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆Cl于A、C两点，且P恰为弦AC的中点。
求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数，
（22）（本小题满分12分）
* 如题(22)图所示的两个同心圆盘均被n等分（n∈N且n≥2），在相重叠的扇形格中依次同时填
上1，2，3，?，n，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”．
（I）求n个不同位置的“旋转和”的和；
( II)当n为偶数时，求n个不同位置的“旋转和”的最小值；
* (III)设n=4m（m∈N），在如图所示的初始位置将任意m对重叠的扇形格中的两数均改写为0，
证明：当m≤4时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1～5 AACDA 6～10 CDAAB
（10）提示：由题知，2x1?1?k，2x2?1?k，2x3?1?kk，2x4?1? 2k?12k?1
?2x2?x1?
??3?1?k3k?13k?141，2x4?x3? ?2(x4?x3)?(x2?x1)? 又k?[,1) ??3?1?kk?11?k1?k34?[3,??) ?x4?x3?x2?x1?[log23,??) 故选B． 1?k
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）22 （12）2 （13）[0,1] （14）3 （15）3 （16）3
（13）提示：如右图所示，设直线l与曲线C交于P,Q两点，?POQ的大小为?， ∴?OPQ的面积S?OPQ?1?2?2?sin??2sin? 2
1?2??2?2? 2扇形OPQ的面积S扇形OPQ?
∴阴影部分面积S?S扇形OPQ?S?OPQ?2(??sin?) ∴P(M)?S??sin?? 2??
显然??[0,?]，且P(M)关于??[0,?]递增，易得当???
2时，
P(M)???2，此时m?1；当???时，P(M)?1，此时m?0；∴m?[0,1] 2?
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f(x)?
分 1?cos2?x?1sin2?x?cos2?x?sin2?x??sin(2?x?)?????422262
?T?2??????2；????6分 2?2
?a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1??? ?0?x????3分 （Ⅱ）cosx?32ac2ac2ac2
?
6所以4x??(??7?
6,6] f(x)?k?sin(4x??
6)?k?1， 2
由函数y?sinx的图象知，要有两个不同的实数解，需?
分
（18）（本小题满分13分） 111?k??1，即?1?k?．??13222
解：（Ⅰ）P?12117????； ??6分 232212
???11分 （Ⅱ）由题知，?的取值为0,2,4，分布列如下： ?E??
（19）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）建立空间直角坐标系如图所示, 1717??．??13分 236
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,3),B1(0,2,3),C1(0,0,3),D(1,1,0)，
???222 ?E(0,2, ?CE?(0,2,)??????3分 733z
又C1A1?(2,0,0),C1D?(1,1,?3)
?CE?C1A1?0,CE?C1D?0?CE?平面AC11D；??6分 （Ⅱ）由题知E(0,2,3?3?)，?(0,2,)，A1?(?1,1,1??1??
3??(?1,1,， 1??3?3?,3?,0)??9分?平面A1DE的一个法向量为n?(3?x1??1?? ?|1?即22(3?3?323?4?(?2(3?)1??1??1? 解得??2． 13分 2
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）g(x)?xe?x ?g?(x)?(x?1)e?1，??2分
显然当x?0时，g?(x)?0，g?(0)?0，当x?0时，g?(x)?0， xx
?g(x)在(??,0)上单减，在(0,??)上单增；??6分
2xxx（Ⅱ）f?(x)?(x?(2?a)x)e?2x?x[(x?2?a)e?2]，令h(x)?(x?2?a)e?2，
则h?(x)?(x?3?a)e，?h(x)在(??,a?3)上单减，在(a?3,??)上单增，
而h(a?3)??ea?3x?2?0，所以h(x)与x轴有两个不同的交点，不妨记为x1,x2(x1?x2)，
若f(x)在x?0处取得极小值，则h(x)在包含0的某个区间内恒正，即0?x1或x2?0， 所以h(0)?0，即(2?a)?2?0 ?a?0．??12分
（21）（本小题满分12分）
c2x2y22122??1；??4解：（Ⅰ）由题知，2?2?1且? 即a?4,b?2，?椭圆C1的方程为a242ab
分
（Ⅱ）当直线AC的斜率不存在时，必有P(?2,0)，此时|AC|?2，S?AOC?2????5分 当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k、点P(x0,y0)，则AC：y?y0?k(x?x0)
与椭圆C1联立，得(1?2k2)x2?4k(y0?kx0)x?2(y0?kx0)2?4?0，设A(x1,y1),C(x2,y2)， 则x0?x1?x22k(y0?kx0)?? 即x0??2ky0??????8分 21?2k2
2又x0?2y0?2 ?y0?221???9分 1?2k2
S?AOCk2(y0?kx0)2?4(1?2k2)[2(y0?kx0)2?4]1|y0?kx0|2 ????k?2221?2k?k
?2|y0?kx0|2(1?2k2)?(y0?kx0)2
1?2k?2(1?2k2)|y0|2(1?2k2)?(1?2k2)2y0
1?2k2
?2|y0|?2k2?2综上，无论P怎样变化，?AOC的面积为常数2．??12分
（22）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故n个不同位置的“旋转和”的和为
1?(1?2???n)?2?(1?2???n)???n?(1?2???n)
n2(n?1)2
?(1?2???n)?(1?2???n)?； ??3分 4
（Ⅱ）设内盘中的1和外盘中的k同扇形格时的“旋转和”为ak
则ak?1?1?(k?1)?2?(k?2)???(n?k)?n?(n?k?1)?1???n?k
ak?1?k?2?(k?1)???(n?k)?(n?1)?(n?k?1)?n???n?(k?1)
ak?1?ak?1?2???(n?k)?(1?n)(n?k?1)?(n?k?2)???n
?(1?2?3???n)?n(n?k?1)?n(k?n?1)??????5分 2
所以当k?
小 最小值an
2n?1n?1n时，ak?1?ak，当k?时，ak?1?ak，所以k??1时，an最?12222?1nnnnn?1?(?1)?2?(?2)????n?(?1)?1???n? 22222
nn2n(n?2)(5n?2)22)? ?n(1?2?3???)?2(1?2???；???8分 2424
（Ⅲ）证明：将图中所有非0数改写为1，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为0，则此位置的“旋转和”必大于或等于2m?1，初始位置外的4m?1个位置的“旋转和”的和为
(3m)2?3m，则有(3m)2?3m≥
(2m?1)(4m?1)，即m2?5m?1≥0?m≥
与m≤4矛盾，故命题得证．??12分
5，这2
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