2014-2015学年度下学期高三二轮复习
数学文综合验收试题（5）【新课标】
满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知i为虚数单位，复数
（A）1 21的虚部是 1?i11（B）?（C）?i 22（D）1i 2
（2）重庆市教委为配合教育部公布高考改革新方案，拟定在重庆A中学进行调研，广泛征求高三年级学生的意见．重庆A中学高三年级共有700名学生，其中理科生500人，文科生200人，现采用分层抽样的方法从中抽取14名学生参加调研，则抽取的理科生的人数为
（A）2 （B）4 （C）5 （D） 10
（3）下列函数中，既是偶函数，又在区间[-1，0]上是减函数的是
2x－x（A）y=cosx （B） y=x （C）y=log2x （D）y=e－e
（4）设集合A= {-1，0，2}，集合B={-x| x∈A且2-x?A}，则B=
（A）{1} （B）{-2}（C）{-1，-2} （D）{-1，0}
（5）若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是
（A）?p??s（B）p?s
（C）?p??s（D）?s??p
（6）执行如题（6）图所示的程序框图，则输出的
a为
（A） 20
（B） 14
（C） 10
（D）7
（7）某几何体的三视图如题（7）图所示，其侧视图是一个边长为l的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何的体积为
（A）
1
1 21（C） 41（D） 8（B）
x2
2 （8）设A、P是椭圆+y=1上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP、BP分2
uuuruuur别交x轴于点M、N，则OM·ON=
（A）0 （B）1 （C
（D）2
?x(x?y)12n13n15nc?a,b?,c?（9）对任意的实数x，y，定义运算?:x?y??，设a?，则b?4925y(x?y)?
的值是
（A）a （B）b （C）c （D）不确定
（10）已知△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，若
uuuruuuruuuruuurAE??AB,AF??AC，其中?>0，?>0，则??的最小值是
（A）1 （B）1 2（C）1 3（D）1 4
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相对应位置上．
（11）已知sin（???
2）=1?，且?∈（0，），则tan?= 。 32
2 （12）若正项等比数列{an}满足：2a5－3a4=2a3，则公比q= 。 ．．（13）已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）= f′（1）x+lnx，则f（1）=。
（14）若关于x的不等式ax>b的解集为（-∞，
。
（15）已知平面区域?={（x，y）|
}，直线l：y=mx+ 2m和曲线C：
有
两个不同的交点，直线l与曲线C围成的平面区域为M，向区域?内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[142），则关于x的不等式ax+ bx－a>0的解集为 55??2，1]，则实数m的取值范围是 。 2?
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分13分）
为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，
产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35]，得到如题（16）
图所示的频率分布直方图．已知生产的产品数量在[20，25）之间的工人有6位．
（I）求m；
（II）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，求这2位工人不
在同一组的概率．
（17）（本小题满分13分）
urrurr
已知向量m??x,cos?x),n?(cos?x,?cos?x)(??0)，函数f（x）=m·n的最小正周期为?． 2
（I）求国的值；
2 （II）设△ABC的三边a、b、c满足：b=ac，且边b所对的角为x，若关于x的方程f（x）=k
有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
（18）（本小题满分13分）
设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3=a7，a8－2a3=3．
（I）求an。
（II）设bn=311(n?N*)． ，数列{bn}的前n项和记为Tn，求证：Tn??4n?1Sn
（19）（本小题满分12分）
已知直四棱柱ABCD－A’B'C'D’的底面ABCD为正方形，AA’=2AB=2，E为棱CC'的中点． （I）求证：A’E⊥平面BDE；
（II）设F为AD中点，G为棱B B'上一点，且BG=1B B'， 4
求证：FG∥平面BDE．
（20）（本小题满分12分）
2x2 已知函数f （x）=（x－ax+a）e－x，a∈R．
（I）若函数f（x）在（0，+?）内单调递增，求a的取值范围；
（II）若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
1x2y2
如题（21）图所示，离心率为的椭圆?:2?2=1（a>b>0）上的点到其左焦点的距离的最2ab
大值为3，过椭圆?内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足uuuruuuruuruuur，其中?为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M、N两点． AP??PC,BP??PD
（I）求椭圆?的方程；
（Ⅱ）若点P（l，1），求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1～5 ADBAC 6～10 ACDAA
????1????1????1????1????（10）提示：由题得AD?AB?AC?AE?AF，又D,E,F三点共线， 222?2?
则1111??≥1 ??
1，∴2??≥2?2???4(?1,) 5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11
） （12）2 （15）[0,1] （13）?1 （14）
（15）提示：如右图所示，设直线l与曲线C交于P,Q两点，?POQ的大小为?， ∴?OPQ的面积S?OPQ?1?2?2?sin??2sin? 2
1?2??2?2? 2扇形OPQ的面积S扇形OPQ?
∴阴影部分面积S?S扇形OPQ?S?OPQ?2(??sin?) ∴P(M)?S??sin?? 2??
显然??[0,?]，且P(M)关于??[0,?]递增，易得当???
2时，
P(M)???2，此时m?1；当???时，P(M)?1，此时m?0；∴m?[0,1] 2?
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题得，[20,25)这一组的频率为0.06?5?0.3…3分∴m?
（Ⅱ）由题得，[10,15)这一组的工人有20?0.02?5?2人， 6?20…6分 0.3
[15,20)这一组的工人有20?0.04?5?4人……………9分
从这两组中抽取2位工人共有15种不同的结果，其中2位工人不同组的结果有8种， ∴2位工人不同组的概率为8…………13分 15
（17）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f(x)?31?cos2?x?1sin2?x?cos2?x?sin2?x??sin(2?x?)?……4分 22262?T?2??????2；………6分 2?2
?a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1??? ?0?x?…………3分 （Ⅱ）cosx?2ac2ac2ac23
?
6所以4x??(??7?
6,?1] f(x)?k?sin(4x?)?k?， 662
111?k??1，即?1?k?…13分 222由函数y?sinx的图象知，要有两个不同的实数解，需?
（18）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由题得??3a1?3d?a1?6d…………3分
?(a1?7d)?2(a1?2d)?3
解得a1?3，d?2…5分 ∴an?a1?(n?1)d?2n?1…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，Sn?na1?n(n?1)1111d?n(n?2)…8分∴bn??(?)10分 2n(n?2)2nn?2∴Tn?b1?b2???bn?1?bn?1?1111111?(1?)?(?)???(?)?(?)? 2?324n?1n?1nn?2???1111(1???)………12分 22n?1n?2
∴Tn?1111111131(1???)?(1???)??……13分 22n?1n?222n?1n?14n?1
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）连接A?B、A?C?，题得由A?E?A?C??C?E?3， 222BE2?BC2?CE2?2，A?B2?AB2?AA?2?5……3分
222∴A?E?BE?A?B，即A?E?BE 同理，A?E?DE
∴A?E?平面BDE……………6分
（Ⅱ）过点G作GH//FD交BE于点H，∵EC?BC?1， ∴?EBC?45，∴?BGH为等腰直角三角形， ?
GH?BG?111BB??，又FD?，∴GH//FD， 422
四边形FDHG为平行四边形…………9分
∴FG//DH，又DH?平面BDE，∴FG//平面BDE……12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f?(x)?(2x?a)ex?(x2?ax?a)ex?2x?x[(x?2?a)ex?2]………2分 ∵f(x)在(0,??)内单调递增，∴f?(x)≥0在(0,??)内恒成立，
即(x?2?a)ex?2≥0在(0,??)内恒成立，即x?2?
又函数g(x)?x?2?2≥a在(0,??)内恒成立……4分 xe2在(0,??)上单调递增，∴a≤0………6分 ex
（Ⅱ）考查f(x)的单调性，令f?(x)?0，即x[(x?2?a)ex?2]?0
?x?0?x?0?x?0?x?0??∴?或，即 或（?） 22???xx(x?2?a)e?2?0(x?2?a)e?2?0x?2??ax?2??a????exex??
∵g(x)?x?2?22g(x)?x?2??a的根为x0 单调递增，设方程xxee
①若x0?0，则不等式组（?）的解集为(??,0)和(x0,??)，此时f(x)在(??,0)和(x0,??)上单
调递增，在(0,x0)上单调递减，与f(x)在x?0处取极小值矛盾；
②若x0?0，则不等式组（?）的解集为(??,0)和(0,??)，此时f(x)在R上单调递增，与f(x)
在x?0处取极小值矛盾；
③若x0?0，则不等式组（?）的解集为(??,x0)和(0,??)，此时f(x)在(??,x0)和(0,??)上单
调递增，在(x0,0)上单调递减，满足f(x)在x?0处取极小值，
由g(x)单调性，a?x0?2?
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题得e?2?g(0)?0综上所述，a?0…………12分 x0ec1?，a?c?3，联立a2?b2?c2 解得a?
2，b?c?1， a2
x2y2
??1……4分 ∴椭圆方程为43
????????1?x11?y1?1,?1)． （Ⅱ）方法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由AP??PC可得C(??
(1???x1)2(1???y1)2
??1 ∵点C在椭圆上，故4?23?2
x12y127122整理得：(1??)?(1??)(3x1?4y1)?(?)??……………6分 12643
x12y1271??1，故有(1??)2?(1??)(3x1?4y1)??2?1……① 又点A在椭圆上可知12643
????????7122由BP??PD，同理可得：(1??)?(1??)(3x2?4y2)???1 ……② 126
②-①得：3(x1?x2)?4(y1?y2)?0，即kAB??又AB∥MN，故kMN??3……………9分 433∴直线MN的方程为：y?1??(x?1)，即3x?4y?7?0． 44?x2y2
?1??由?4可得：21x2?42x?1?0?xM?xN?2?2xP∴P是MN的中点，即点P平3?3x?4y?7?0?
分线段MN……12分 1M2S????????????????|AP||BP|?（Ⅱ）方法二：∵AP??PC，BP??PD，∴，即AB/|PC||PD|D
在梯形ABCD中，设AB中点为M1，CD中点为M2， 过P作AB的平行线交AD,BC于点R,S
∵?APD与?BPC面积相等，∴RP?PS
∴M1，M2，P三点共线………………6分
设A(x1,y1)，B(x2,y2)∴3x12?4y12?12，3x22?4y22?12， 两式相减得 3(x2?x1)?4(y2?y1)?0，3(x2?x1)(x2?x1)?4(y2?y1)(y2?y1)?0 显然x2?x1，（否则AB垂直于x轴，因P(1,1)不在x轴上，此时CD不可能垂直于x轴保持与AB
平行）且x1?x2?0（否则AB平行于x轴或经过原点，此时M1，M2，P三点不可能共线） ∴3?42222(y2?y1)(y2?y1)?0设直线AB斜率为kAB，直线OM1斜率为kOM1 (x2?x1)(x2?x1)
∴3?4kABy2?y1?0，即3?4kk?0… ①设直线CD斜率为k，直线OM斜率为k CD2ABOM1OM2x2?x1
2
同理，3?4kCDkOM2?0，又kAB?kCD，∴kOM1?kOM2即O,M1,M2三点共线……8分 ∴O,M1,M2,P四点共线，∴kOM1?kOP?1，代入①得 kAB??
∴直线MN的方程为 y?1??3………9分 43(x?1) 即3x?4y?7?0联立3x2?4y2?12 4
得21x2?42x?1?0?xM?xN?2?2xP∴点P平分线段MN……12分
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