2016-2017学年黑龙江省伊春二中高三（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）
A．（1，2） B．[1，2] C．（1，2] D．[1，2）
2．若复数z满足z（1﹣i）=1+i，则|z|=（）
A．1 B． C．i D．﹣i
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=18﹣a7，则S12=（）
A．18 B．54 C．72 D．108
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6=（）
A．16 B．24 C．36 D．48
5．若X﹣B（n，p），且E（X）=6，D（X）=3，则P=（）
A． B．3 C． D．2
6．要得到函数y=﹣sin2x+的图象，只需将y=sinxcosx的图象（）
A．向左平移
C．向左平移个单位 个单位 B．向右平移D．向右平移个单位 个单位
7．现有甲，乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率是，向乙靶射击两次，每次命中的概率是，若该射手每次射击的结果相互独立，则该射手完成以上三次射击恰好命中一次的概率是（）
A． B． C． D．
8．若函数y=
A．（3，+∞） 的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（） B．[3，+∞） C． （﹣∞，0]∪[3，+∞） D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）9．已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
10．若函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（）
A． B． C． D． 11．若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x﹣1）=f（x+3）．当x∈[4，5]时，f（x）=2x+1，设函数f（x）在区间[﹣2，0]上的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（19）的值为（ ）
A．﹣log23 B．﹣2log23 C．1﹣log23 D．3﹣2log23
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则a=
14．（x﹣1）（2x+1）5展开式中x3的系数为 ．
15．方程2x2+（m+1）x+m=0有一正根一负根，则实数m的取值范围是 ．
16．等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为，圆方程为． （1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆交与M、N两点，求|PM|?|PN|的值．
18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
19．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
122“体育迷”与性别有关？
附：K2=
．
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．
20．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
21．已知数列{an}的前n项和Sn=kcn﹣k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3． （1）求an；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
22．已知函数f（x）=xln（1+x）﹣a（x+1），其中a为实常数．
（1）当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（2）求函数
的单调区间．
2016-2017学年黑龙江省伊春二中高三（上）期中数学试
卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（ ）
A．（1，2） B．[1，2] C．（1，2] D．[1，2）
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M与N中不等式的解集分别确定出M与N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中不等式变形得：lgx＞0=lg1，
解得：x＞1，即M=（1，+∞），
由N中不等式x2≤4，解得：﹣2≤x≤2，
∴N=[﹣2，2]，
则M∩N=（1，2]，
故选：C．
2．若复数z满足z（1﹣i）=1+i，则|z|=（ ）
A．1 B． C．i D．﹣i
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵z（1﹣i）=1+i，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i）（1+i），
∴2z=2i，解得z=i．
则|z|=1．
故选：A．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=18﹣a7，则S12=（ ）
A．18 B．54 C．72 D．108
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，
a6=18﹣a7，
∴S12=（a1+a12）
=6（a6+a7）
=6×18
=108．
故选：D．
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6=（ ）
A．16 C．36 D．48
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．
【解答】解：∵，S4=20， B．24
∴S4=2+6d=20，
∴d=3，
∴S6=3+15d=48．
故选D．
5．若X﹣B（n，p），且E（X）=6，D（X）=3，则P=（ ）
A． B．3 C． D．2
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，整体计算求解方程组得答案．
【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=6，Dξ=3，
∴np=6，且np（1﹣p）=3，解得n=12，p=．
故选：A．
6．要得到函数y=﹣sin2x+的图象，只需将y=sinxcosx的图象（ ）
A．向左平移
C．向左平移个单位 个单位 B．向右平移D．向右平移个单位 个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】将2函数用二倍角公式化简，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可解决．
【解答】解：∵函数y=﹣sin2x+=cos2x
又∵y=sinxcosx=sin2x=cos（2x+）
）的图象向右平移个单位即可得到函数y=∴只需将y=sinxcosx=sin2x=cos（2x+
﹣sin2x+=cos2x的图象．
故选：B．
7．现有甲，乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率是，向乙靶射击两次，每次命中的概率是，若该射手每次射击的结果相互独立，则该射手完成以上三次射击恰好命中一次的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】互斥事件的概率加法公式．
【分析】记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第
“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，一次射击乙靶命中”为事件C，由于A=B+C+
D，根据事件的独立性和互斥性可求出所求；
【解答】解：记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D
由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=，
由于A=B+C+
根据事件的独立性和互斥性得
P（A）=P（B）+P（C）+P（
+P（）P（）P（D） D）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）
=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=故选：D
8．若函数y=
A．（3，+∞） 的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（ ） ， B．[3，+∞） C． （﹣∞，0]∪[3，+∞） D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）
【考点】函数的值域．
【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0．即最小值要小于等于0．
【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．
则有： ?
解得：a≥3
所以a的取值范围是[3，+∞）．
故选：B．
9．已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】先根据约束条件画出可行域，由z=x+ay，利用z的几何意义求最值，要使得取得最小值的最优解有无数个，只需直线z=x+ay与可行域的边界AC平行时，从而得到a值即可．
【解答】解：∵z=x+ay则y=﹣x+z，为直线y=﹣x+在y轴上的截距
要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，
则截距最小时的最优解有无数个．
∵a＞0
把x+ay=z平移，使之与可行域中的边界AC重合即可，
∴﹣a=﹣1
∵a=1
故选D．
10．若函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】由函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．
【解答】解：∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数 则f（﹣x）+f（x）=0
即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0
则k=1
又∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）
函数图象必过原点，且为增函数
故选C
11．若a＞b＞0，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
【考点】对数值大小的比较．
【分析】在A中，当1＞a＞b＞0时，ac＞bc；在B中，1＞a＞b＞0时，abc＞bac；在C中，alogbc＜blogac；在D中，当a＞b＞1时，logac＞logbc．
【解答】解：由a＞b＞0，0＜c＜1，知：
在A中，当1＞a＞b＞0时，ac＞bc，故A错误；
在B中，1＞a＞b＞0时，abc＞bac，故B错误；
在C中，当1＞a＞b＞0时，alogbc＜blogac，
当a＞b＞1时，alogbc＜blogac，故C正确；
在D中，当a＞b＞1时，logac＞logbc，故D错误．
故选：C．
12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x﹣1）=f（x+3）．当x∈[4，5]时，f（x）=2x+1，设函数f（x）在区间[﹣2，0]上的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（19）的值为（ ）
A．﹣log23 B．﹣2log23 C．1﹣log23 D．3﹣2log23
【考点】反函数．
【分析】由f（x﹣1）=f（x+3）可确定函数周期，进而由条件当x∈[4，5]时，f（x）=2x+1推导x∈[0，1]时f（x）解析式，并利用偶函数条件求出函数f（x）在区间[﹣1，0]上的解析式，并令x∈[﹣1，0]时f（x）=19，解出自变量x的值即为f﹣1（19）的值．
【解答】解：由f（x﹣1）=f（x+3）得f（x）=f（x+4），
所以函数周期为T=4，
所以x∈[0，1]时，x+4∈[4，5]，所以f（x）=f（x+4）=2x+4+1，
又函数f（x）为偶函数，所以x∈[﹣1，0]时﹣x∈[0，1]，则f（x）=f（﹣x）=2﹣x+4+1， 令f（x）=2﹣x+4+1=19，解得
x=4﹣log218=3﹣2log23，
从而f﹣1（19）=3﹣2log23
故选择D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13．若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则a= ﹣2 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】由题意可知两条直线垂直，斜率乘积为﹣1，即可求出a的值．
【解答】解：直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1?（
故答案为：﹣2．
）=﹣1，所以a=﹣2．
14．（x﹣1）（2x+1）5展开式中x3的系数为 ﹣40 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】求出（2x+1）5展开式的含x2与x3项的系数，再计算（x﹣1）（2x+1）5展开式中x3的系数．
【解答】解：（2x+1）5展开式的通项公式为
Tr+1=?（2x）5﹣r，
令5﹣r=2，解得r=3，
所以T4=?（2x）2=40x2；
令5﹣r=3，解得r=2，
所以T3=?（2x）3=80x3；
所以（x﹣1）（2x+1）5展开式中x3的系数为
40×1+80×（﹣1）=﹣40．
故答案为：﹣40．
15．方程2x2+（m+1）x+m=0有一正根一负根，则实数m的取值范围是 （﹣∞，0） ．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】由题意：令f（x）=2x2+（m+1）x+m，函数f（x）有一正根一负根，根据根的分布求解．
【解答】解：由题意：令f（x）=2x2+（m+1）x+m，函数f（x）有一正根一负根， 根据一元二次方程的根的分布可得：
f（0）＜0，
可得：m＜0．
故答案为（﹣∞，0）．
16．等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=．
【考点】等比数列的通项公式；导数的运算．
【分析】通过f'（0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可．
【解答】解：因为函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），
f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′
则f'（0）=a1?a2…a8==84=4096．
故答案为：4096．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）
已知直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为，圆方程为． （1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆交与M、N两点，求|PM|?|PN|的值．
【考点】直线的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由题意可得，直线l的参数方程为，化简可得结果．
=0，由根与系数的（2）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程可得 t2+（3+2）t+
关系可得 t1?t2=，再由|PM|?|PN|=|t1|?|t2|=|t1?t2|求得结果．
【解答】解：（1）直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为，故直线l的参数方程为
，即为参数）．
（2）圆方程
）=ρ cosθ﹣=2（， ﹣），即ρ2=2（﹣
化为直角坐标方程为 +=1．
把代入 +=1化简可得 t2+（3+2）t+=0． 设此一元二次方程式的两个根分别为 t1和 t2，则由根与系数的关系可得 t1?t2=
由题意可得|PM|?|PN|=|t1|?|t2|=|t1?t2|=．
18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣． ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．
【考点】解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；
（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）由正弦定理
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
将上式代入已知
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
， 得：
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴
∵B为三角形的内角，∴
（II）将
b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即
∴ac=3，
∴． ， ； 代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得： ，
19．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
122“体育迷”与性别有关？
附：K2=．
法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；
（2）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X～B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2
2
K2=≈3.030．…
因为3.030＜3.841，
所以我们没有充分理由认为“体育迷”
与性别有关． …
（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，
即从观众中抽取一名“体育迷”的概率．…
由题意知X～B（3，），从而X的分布列为
E
（X）=np=3×=
D
（
X
）
=np
（1﹣p）=3××=
20．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
【考点】排列、组合的实际应用；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；击中目标的概率分别是和，射击4次，相当于4次独立重复试验，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
（2）两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，表示相互独立的两个事件同时发生，写出两个事件的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（3）乙恰好射击5次后，被中止射击，表示最后两次射击一定没有射中，前两次最多一次没击中，这几个事件之间是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果． …
【解答】解：（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1， 由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
射击4次，相当于4次独立重复试验，
故P（A1）=1﹣P（）=1﹣=．
； 即甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为
（2）记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，
“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，
P（A2）=
P（B2）=
由于甲、乙设计相互独立，
故P（A2B2）=P（A2）P（B2）=?=． ==， ．
即两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为； （3）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，
“乙第i次射击为击中”为事件Di，（i=1，2，3，4，5），
则A3=D5D4（），且P（Di）=，
由于各事件相互独立，
故P（A3）=P（D5）P（D4）P（）P（）=×××（1﹣×）=
． ， 即乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是
21．已知数列{an}的前n项和Sn=kcn﹣k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3． （1）求an；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）先根据前n项和求出数列的通项表达式；再结合a2=4，a6=8a3求出c，k，即可求出数列的通项；
（2）直接利用错位相减法求和即可．
【解答】解：（1）由Sn=kcn﹣k，得an=sn﹣sn﹣1=kcn﹣kcn﹣1； （n≥2）， 由a2=4，a6=8a3．得kc（c﹣1）=4，kc5（c﹣1）=8kc2（c﹣1），解得所以a1=s1=2；
an=sn﹣sn﹣1=kcn﹣kcn﹣1=2n，（n≥2），
于是an=2n．
（2）：∵nan=n?2n；
∴Tn=2+2?22+3?23+…+n?2n；
2Tn=22+2?23+3?24+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1；
；
∴﹣Tn=2+22+23…+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n+1=﹣2+2n+1﹣n?2n+1；
即：Tn=（n﹣1）?2n+1+2．
22．已知函数f（x）=xln（1+x）﹣a（x+1），其中a为实常数．
（1）当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（2）求函数的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求出函数f（x）的导函数，将a分类出来得则，然后利用导数研究不等式右式函数的最小值即可；
（2）先求出函数g（x）的解析式，求出导函数g'（x），讨论a与1的大小，从而确定导函数的正负，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
【解答】解：（1）由题意知：
则
令
∵x∈[1，+∞），∴h'（x）＞0
即h（x）在[1，+∞）上单调递增
∴
∴a的取值范围是
（2）由（1）知， ． ，
则
①当a＞1，x∈（﹣1，a﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）在（﹣1，a﹣2）上单调递减， x∈（a﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增
②当a≤1时，g'（x）＞0，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
综上所述，当a＞1时，g（x）的增区间为（a﹣2，+∞），减区间为（﹣1，a﹣2） 当a≤1时，g（x）的增区间为（﹣1，+∞）
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