2015-2016学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：（共大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）
A．a2＜b2
2．命题：“?x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（）
A．?x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0 B．?x∈[0，+∞），x3+2x＜0
C．?x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0 D．?x∈[0，+∞），x3+2x≥0
3．“x＜0”是“＜0”的（）
B．必要不充分条件 B．a3＜b3 C．＞ D．ac2＜bc2 A．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
4．已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则m=（）
A．12
B．18 C． D．12或
5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（） A．等边三角形
7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0，且双曲线的一B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）
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A．﹣=1 B．﹣=1
C．
﹣=1 D．﹣=1
8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（ ）
A．
9．对任意实数x，若不等式4x﹣m?2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2
10．已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，准线为l，P为l上一点，Q是直线PF与抛物线的一个交点，若2
A．5
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分）
11．已知函数f（x）=cosx，那么
= +3=，则 C．10 =（ ） D．15 B．﹣2＜m＜2 C．m≤2 D．﹣2≤m≤2 B． C． D． B．
12．设实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最大值为
13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosA=．
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14．过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为6，则|AB|= ．
15．给出下列四个命题：
①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要条件”；
③定义：
为为n个数p1，p2，…，pn的“均倒数”，已知数列{an}的前n项的“均倒数”，则数列{an}的通项公式为an=2n+1；
，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2． ④在△ABC中，BC=
以上命题正确的为 （写出所有正确的序号）
三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
16．已知二次函数f（x）=ax2+ax﹣2b，其图象过点（2，﹣4），且f′（1）=﹣3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设函数h（x）=xlnx+f（x），求曲线h（x）在x=1处的切线方程．
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
（1）求∠C；
（2）若c=
18．已知p：方程方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；q：m+a2+a实数m满足m2﹣（2a+1），b=，求∠B及△ABC的面积． =1． ＜0且￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且满足a1+a5=10，S4=16；数列{bn}满足：b1+3b2+32b3+．．
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．+3n﹣1bn=，（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．中国海警辑私船对一艘走私船进行定位：以走私船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）．中国海警辑私船恰在走私船正南方18海里A处（如图）．现假设：①走私船的移动路径可视为抛物线y=x2；②定位后中国海警缉私船即刻沿
t． 直线匀速前往追埔；③中国海警辑私船出发t小时后，走私船所在的位置的横坐标为2
（1）当t=1，写出走私船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好相遇，求中国海警辑私船速度的大小；
（2）问中国海警辑私船的时速至少是多少海里才能追上走私船？
21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为，点O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设不与坐标轴平行的直线l1：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，设线段AB中点为M．
（i）证明：直线OM的斜率与直线l1的斜率之积为定值；
（ii）如图，当m=﹣k时，过点M作垂直于l1的直线l2，交x轴于点Q，求的取值范围．
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2015-2016学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（共大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．a3＜b3 C．＞ D．ac2＜bc2
【考点】不等式的基本性质．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】A．取a=﹣3，b=﹣2，即可判断出正误；
B．令f（x）=x3，（x∈R），利用导数研究其单调性即可判断出正误
C．取a=﹣2，b=1，即可判断出正误；
D．取c=0，即可判断出正误．
【解答】解：A．取a=﹣3，b=﹣2，不成立；
B．令f（x）=x3，（x∈R），f′（x）=3x2≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，又a＜b，∴a3＜b3，因此正确；
C．取a=﹣2，b=1，不正确；
D．取c=0，不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．命题：“?x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（ ）
A．?x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0 B．?x∈[0，+∞），x3+2x＜0
C．?x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0 D．?x∈[0，+∞），x3+2x≥0
【考点】命题的否定．
【专题】集合思想；数学模型法；简易逻辑．
【分析】由全称命题的否定的规则可得．
【解答】解：∵命题：“?x∈[0，+∞），x3+2x≥0”为全称命题，
故其否定为特称命题，排除A和C，
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再由否定的规则可得：“?x∈[0，+∞），x3+2x＜0”
故选：B．
【点评】本题考查全称命题的否定，属基础题．
3．“x＜0”是“＜0”的（ ）
B．必要不充分条件 A．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】由＜0，化为x（x+1）＜0，解出即可判断出．
＜0，∴x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0，
＜0”的必要不充分条件， 【解答】解：∵∴“x＜0”是“
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则m=（ ）
A．12 B．18 C． D．12或
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的性质求解．
【解答】解：∵焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，
∴e==，
解得m=12．
故选：A．
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【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【考点】等差数列；等比数列．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．
【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，
∴a32=a1?a4，
即（a1+4）2=a1×（a1+6），
解得a1=﹣8，
∴a2=a1+2=﹣6．
故选B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（ ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】已知等式利用余弦定理化简，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理即可判断出△ABC的形状．
【解答】解：在△ABC中，∵bcosC=a，
∴由余弦定理可得：cosC==，整理可得：a2+c2=b2，
∴利用勾股定理可得△ABC的形状是直角三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形形状的判断，考查了余弦定理以及勾股定理的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．
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7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知推导出=，双曲线的一个焦点为F（5，0），由此能求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：4x﹣3y+20=0， ∴=．
∵双曲线的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，
∴由y=0，得x=5，∴双曲线的一个焦点为F（5，0），
∴，解得a=3，b=4，
∴双曲线的方程为
故选：A． ﹣=1．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．
8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（ ）
A． B． C． D．
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【考点】等比数列的通项公式．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得．
【解答】解：设该女第n天织布为an尺，且数列为公比q=2的等比数列，
则由题意可得=5，解得a1=，
故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=
故选：D． ，
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．
9．对任意实数x，若不等式4x﹣m?2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．m≤2 D．﹣2≤m≤2
【考点】指、对数不等式的解法．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】由已知（2x）2﹣m?2x+1＞0恒成立，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵对任意实数x，不等式4x﹣m?2x+1＞0恒成立，
∴（2x）2﹣m?2x+1＞0恒成立，
∴△=m2﹣4＜0，
解得﹣2＜m＜2．
故选：B．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．
10．已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，准线为l，P为l上一点，Q是直线PF与抛物线的一个交点，若2
A．5 +3=，则 C．10 =（ ） D．15 B．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
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【分析】过Q向准线l作垂线，垂足为Q′，根据已知条件，结合抛物线的定义得
即可得出结论．
【解答】解：过Q向准线l作垂线，垂足为Q′，根据已知条件，结合抛物线的定义得
=，
∴|QQ′|=10，
∴|QF|=10．
故选：C． ==，=
【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分）
11．已知函数f（x）=cosx，那么
【考点】导数的运算．
【专题】计算题．
【分析】本题先对已知函数f（x）进行求导，再将
【解答】解：f′（x）=﹣sinx，∴
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，属于基础题．
代入导函数解之即可． ， =
﹣
．
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12．设实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最大值为5
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x结合图象可得结论．
【解答】解：作出条件所对应的可行域（如图△ABC），
变形目标函数可得y=2x+z，平移直线y=2x可知：
当直线经过点A（﹣1，3）时，直线的截距最大，
此时目标函数z取最大值z=3﹣2（﹣1）=5
故答案为：5．
【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b，c，a成等比数列，且a=2b，则cosA=
﹣
．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由b，c，a成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将a=2b代入，开方用b表示出c，然后利用余弦定理表示出cosB，将表示出的a和c代入，整理后即可得到cosB的值．
【解答】解：在△ABC中，∵b，c，a成等比数列，
∴c2=ab，又a=2b，
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∴c2=2b2，即c=
则cosA=b， ==﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
14．过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为6，则|AB|= 9 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先求出A的坐标，可得直线AB的方程，代入抛物线C：y2=8x，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AB|．
【解答】解：抛物线C：y2=8x的准线方程为x=﹣2，焦点F（2，0）．
∵A到抛物线的准线的距离为6，
∴A的横坐标为4，
代入抛物线C：y2=4x，可得A的纵坐标为±4，
不妨设A（4，4），则kAF=2，
∴直线AB的方程为y=2（x﹣2），
代入抛物线C：y2=4x，可得4（x﹣2）2=4x，
即x2﹣5x+4=0，
∴x=4或x=1，
∴B的横坐标为1，
∴B到抛物线的准线的距离为3，
∴|AB|=6+3=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
第13页（共21页）
15．给出下列四个命题：
①命题“若θ=﹣，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要条件”；
③定义：
为为n个数p1，p2，…，pn的“均倒数”，已知数列{an}的前n项的“均倒数”，则数列{an}的通项公式为an=2n+1；
，AC=，AB边上的中线长为，则AB=2． ④在△ABC中，BC=
以上命题正确的为 ①③④ （写出所有正确的序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】①根据否命题的定义进行判断．
②根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
③根据数列{an}的前n项的“均倒数”为
④根据余弦定理进行求解判断．
【解答】解：①命题“若θ=﹣
确，
②在△ABC中，“A＞B”等价于a＞b，等价为sinA＞sinB，则，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分必要条件”；故②错误，
③∵数列{an}的前n项的“均倒数”为
∴=，即Sn=n（n+2）=n2+2n， ， ，则tanθ=﹣”的否命题是“若θ≠﹣，则tanθ≠﹣”；故①正，即可求出Sn，然后利用裂项法进行求和即可．
∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=2n+1，
当n=1时，a1=S1=1+2=3，满足an=2n+1，
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1，故③正确，
④在△ABC中，BC=
设AB=2x，
则cos∠AOC=﹣cos∠BOC，
即=﹣，
，AC=，AB边上的中线长为，
第14页（共21页）
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