专题四追击和相遇问题
一、相遇和追击问题的实质
研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
二、相遇和追击问题的分析技巧（二图三式一临界，“一个临界条件、二种运动图像、三类等量关系”）
1. 分析两个物体的运动性质，画出两个物体的运动示意图和速度时间图象
2.分别列出两个对象的运动学方程和速度位移时间三个量之间的关联式。抓住一个临界条件
（1）时间关系 ：tA?tB?t0（2）位移关系：xA?xB?x0
（3）速度关系：两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，
充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对
应一个临界状态，也是分析判断的切入点。
A.速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离;
B.速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追
上,否则就不能追上.
3.若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。
三、追击、相遇问题的解题思路:
1.确定追击相遇问题象
2.分别分析两个物体各自运动过程，画出两物追赶过程的运动示意图、画出运动的速度时间图像，搞清楚各自运动性质已知未知条件和两个对象之间的（位移速度时间）关联信息
3.根据两个物体的运动性质和已知条件，选择同一参照物,分别列出两个物体各自的运动学方程 ; 找出两个物体在运动时间上的关系，找出两个物体在运动位移上的关系，找出两个物体在运动速度上的关系，分别列出两个对象运动学量之间的关联方程，挖掘隐含的临界条件；速度相等是两物体间距离最大、最小或恰好追上的临界条件。
4.联立方程求解、或利用图像法求解. :
四、常见的几种方法
1.临界条件法(物理分析法):根据运动学公式，利用临界条件，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。
2.图像法：画出物体运动的v--t图像，根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。
3.相对运动法：巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解。
4.数学方法：根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解
五、追及相遇问题的几种常见问题：
1、速度大者追速度小者:
1
2.速度小者追速度大者:
六、典型例题
例题1.（ 四种方法解题）小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过。
⑴小汽车从运动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？
⑵什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？
⑴解法一：物理分析法 汽车开动时速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车速度还小于自行车速度是，两者的距离越来越大，当汽车的速度大于自行车速度时，两者距离越来越小，所以当两车的速度相等时，两车的距离最大，有v汽车?at?v自行车
?2s
， ， t?所以v自行车
a?x?x自行车?x汽车?v自行车?t?12at?6m2
解法二：数学公式法设汽车追上自行车之前t时刻相距最远
13?x?x自行车?x汽车?v自行车?t?at2?6t?t222
利用二次函数求极值条件知：
当t??b?2s时，?x最大，?xmax?6m2a
2
解法三：图像法
画出汽车和自行车的v-t图，
当ts时两车速度相等，
v汽车?at?6即t?2s时两车的位移差最远?x?
解法四：相对运动法 1?2?6?6m2
以自行车为参考系，汽车追上自行车之前初速度大小为6m/s，方向向后，加速度为大小为3m/s2，方向向前。经分析汽车先远离自行车做匀减速直线运动末速度为零时相距最远，在靠近自行车做匀加速直线运动。?xmax0?62??6m?2?3
⑵由第一问第三种方法中可以知道当t=4s时汽车追上自行车。
例题2、（图像法解题）汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始( C )
A．A车在加速过程中与B车相遇 B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动 D．两车不可能相遇
解析 作出A、B两车运动的v－t图象如图所示，v－t图象所包围的“面积”表示位移，经过30 s时，A车图象所围面积小于B车，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30 s后A车以12 m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30 s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，选项C正确，选项B、D错误． 例题3、（追减速问题）甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问（1）两车间的最大距离（2）经多少时间乙车可追上甲车？ 【解析】（1）两车距离最大时乙车的速度与甲车的速度相等，设此时甲车的速度为：v甲，即：
v甲=v乙因为甲车做匀变速运动，则：v甲=v甲0+at1 得：t1=
x乙=v乙t1=9×6m=54m甲车前进的距离为： == 乙车前进的距离为：
所以两车的最大距离为：△xm=L+x甲-x乙=32+72-54=50m 得：△xm=50m
（2）设经过时间t追上．依题意：
得t=16s和t=-4s（舍去）甲车刹车的时间：显然，甲车停止后乙再追上甲．
3
甲车刹车的位移：乙车的总位移：x乙=x甲+32=144.5m 例题4、（追击问题中的多过程）某天，小明在上学途中沿人行道以v1＝1 m/s速度向一公交车站走去，发现一辆公交车正以v2＝15 m/s速度从身旁的平直公路同向驶过，此时他们距车站x＝50 m．为了乘上该公交车，他加速向前跑去，最大加速度a1＝2.5 m/s2，能达到的最大速度vm＝6 m/s.假设公交车在行驶到距车站x0＝25 m处开始刹车，刚好到车站停下，停车时间t＝10 s，之后公交车启动向前开去．不计车长，求：
(1)若公交车刹车过程视为匀减速直线运动，其加速度a2大小是多少？
(2)若小明加速过程视为匀加速直线运动，通过计算分析他能否乘上该公交车．
答案 (1)4.5 m/s2 (2)见解析
0－v20－152解析 (1)公交车的加速度a2＝＝m/s2＝－4.5 m/s2 2x02×25
所以其加速度大小为4.5 m/s2.
x－x0255(2)汽车从相遇处到开始刹车用时t1＝s＝ s 2153
0－v210汽车刹车过程中用时t2 s a23
vm－v16－1小明以最大加速度达到最大速度用时t3＝＝s＝2 s a12.5
1小明加速过程中的位移x′＝v1＋vm)t3＝7 m 2
x－x′43以最大速度跑到车站所用的时间t4＝ s m6
t3＋t4<t1＋t2＋10 s，故小明可以在汽车还停在车站时上车．
例题5、（大追小，匀速追匀加速）（开始时v）：v1> v2时，时，①若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。图像法分析？ 甲、乙两质点同时开始在彼此平行且靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距s，甲初速度为零，加速度为a，做匀加速直线运动；乙以速度v0做匀速运动，分析两物体相遇的条件
解析:设两物体速度相等时恰好相遇，则
2?021?02?0s?v0?a()?，若s?，则：甲乙之前的距离始终在减小，直至相遇，（最小距离Δ s2aa2a2a?0
＝0），不会出现Δs最小的情况。
vv若s>0时，甲与乙不可能相遇，两质点距离会出现先变小后变大的情况，当t=0时，两质点之间a2a2v的距离最近，：Δ s min＝s－0 2a
例题6.（大追小，匀减速追匀速）（开始时v）：v1> v2时，时，①若满足x1<x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1= x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。
4
2
一列货车以28.8 km/h的速度在平直铁路上运行，由于调度失误，在后面600 m处有一列快车以72 km/h
的速度向它靠近。快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000 m才停止。试判断两车是否会相碰。
★解析：两车速度相等恰追及前车，这是恰不相碰的临界情况，因此只要比较两车等速时的位移关系，即可明确是否相碰。 202
因快车减速运动的加速度大小为：a???0.1m/s2 2s2?2000
故快车刹车至两车等速历时：t?2v快v快?v慢
a?20?8?120s 0.1
11该时间内两车位移分别是：s快?v快t?at2?20?120??0.1?1202?1680m 22
s慢?v慢t?8?120?960m因为s快＞s货+s0=1560 m，故两车会发生相撞。
例题7.（大追小，减速追加速）在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速
度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？
【方法提炼】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答. v1< v2时，两者距离变大；大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇(即追上)一次。
辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重
超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h 以内．问：
5
(1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2）警车发动后要多长时间才能追上货车？
★解析：（l）警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时．它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则．
t1=10s=4s 2.5
121at1=?2.5?42m=20m 22
25s=10s 2.5s货=(5.5+4)×10m = 95m s警=所以两车间的最大距离△s=s货-s警=75m (2) v0=90km/h=25m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2=
s货’=(5.5+10)×10m=155m
s警’=121at2=?2.5?102m=125m 22
因为s货’＞s警’，故此时警车尚未赶上货车，且此时两本距离△s’=s货’-s警’=30m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间迫赶上货车．则：
?t=?s'=2s所以警车发动后耍经过t=t2+?t=12s才能追上货车。 vm-v
例题9、（小追大，匀速追匀减速）（若被追击者做匀减速直线运动，要注意追上之前是否已经停止运动。） ）：v1< v2时，两者距离变大；时，两者距离最远；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇一次。
（匀速追减速）如图1－3－24所示，A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA
＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s的初速度向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，求A追上B所经历的时间．
10解析：物体B减速至静止的时间为t，则－vB＝at0，t0＝ s＝5 s 2
11物体B向前运动的位移xB＝vBt0＝25 m. 22
又因A物体5 s内前进xA＝vAt0＝20 m，显然xB＋7 m＞xA.
所以A追上B前，物体B已经静止，设A追上B经历的时间为t′，则txB＋725＋7＝8 s. vA4
例题10、（小追大，加速追减速）甲、乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1＝16 m/s的初速度，a1
22＝－2 m/s的加速度做匀减速直线运动，乙车以v2＝4 m/s的初速度，a2＝1 m/s的加速度做匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间．
解析：当两车速度相等时，相距最远，再次相遇时，两车的位移相等．设经过时间t1相距最远． 由题意得 v1?a1t1?v2?a2t1∴ t1?v1?
v216?4?s?4s此时?x?x1?x2 a1?a21?2
6
?(v1t1?111122a1t1)?(v2t1?a2t1)?[16?4??(?2)?42]m?(4?4??1?42)m?24m 2222
1122a1t2?v2t2?a2t2 22设经过时间t2，两车再次相遇，则 v1t2?
解得t2?0(舍)或t2?8s所以8 s后两车再次相遇．
练习1-1.．（加速追匀速）汽车甲沿平直公路以速度V做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽
车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。据上述条件 ( A )
A．可求出乙追上甲时的速度； B．可求出乙追上甲时乙所走过的路径；
C．可求出乙追上甲所用的时间； D．不能求出上述三者中的任何一个物理量。
2练习1-2．（匀速追加速）汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s的加速度做匀加速运动，
经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始 （ C ）
A．A车在加速过程中与B车相遇 B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动D．两车不可能再次相遇
练习1-3.（减速追匀速）在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速
度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使
(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).
练习1-4.（减速追匀速）甲、乙两车做同向直线运动，初始相距s0?10m。已知甲车在前以速度v?4m/s
作匀速直线运动，乙车以初速度v0?16m/s开始作匀减速运动，加速度大小为a?4m/s。试分析：两车相遇几次？何时相遇？
【解析】：设二者经时间t相遇，则v0t?21?at2?vt?s0 2
代数字解得：t1?1s； t2?5s (大于乙车刹车时间，舍去)。
1s末乙车的速度为v1?v0?at1?12m/s，它以此速度超过甲车并继续做匀减速直线运动至停止后被甲车
v追上。乙车在这一阶段发生的位移为：（2分）s1?1?18m 2a
甲车追上乙车所需要的时间为：t??2s1?4.5s v
7
故第二次相遇的时刻为：t2?t1?t/5?5.5s
即二者共相遇两次，相遇时间分别为t1?1s,t2?5.5s
练习1-5.（多过程运动的追击）高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v0=30m/s，距离s0=100m，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图所示，取运动方向为正方向。通过计算说明两车在0～9s内会不会相撞？
【解析】：公式解法：令a1??10m/s2，a2?5m/s2，a3??5m/s2，t1?3s末，甲车速度：v1?v0?a1t1?0；
设3s过后经过t2 s 甲、乙两车速度相等，此时距离最近：a2t2?v0?a3t2； 等速之前，甲车位移：x甲?v01122t1?a2t2，乙车位移：x乙?v0t1?v0t2?a2t2④ 222
解得x乙?x甲?90m?s0?100m，不会相撞。
【图象解法】：由加速度图像可画出两车的速度图像，由图像可知，t=6s 时两车等速，此时距离最近， 图中阴影部分面积为0～6s内两车位移之差，?x?
＜100m
∴不会相撞。
练习1-6.（多过程运动的追击）在一次警车A追击劫匪车B时，两车同时由静止向同一方向加速行驶，经
22过30 s追上．两车各自的加速度为aA＝15 m/s，aB＝10 m/s，各车最高时速分别为vA＝45 m/s，vB＝40 m/s，
问追上时两车各行驶多少路程？原来相距多远？
11?30?3m??30?(6?3)m?90m 22
解析：如图所示，以A车的初始位置为坐标原点，Ax为正方向，令L为警车追上劫匪车所走过的全程，l为劫匪车走过的全程．则两车原来的间距为ΔL＝L－l
设两车加速运动用的时间分别为tA1、tB1，以最大速度匀速运动的时间分别为tA2、tB2，
则vA＝aAtA1，解得tA1＝3 s则tA2＝27 s，同理tB1＝4 s，tB2＝26 s
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