解析几何竞赛题求解的几种常见策略
陈硕罡吴国建（浙江省东阳中学322100）
解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。
一、用函数(变量)的观点来解决问题
函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。
【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线y2?6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1?x2且x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.
【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB中点的纵坐标作为主变量，这样只要把?ABC的面积表示成以AB中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。
【解析】设线段AB的中点M坐标为（(2,y0)，则
则直线AB的斜率：k?y1?y2y1?y263?2?? 2y1y2x1?x2y1?y2y0?66
y0(x?2)，易知线段AB的中垂线与x轴的交点为定点C(5,0) 3线段AB的中垂线方程：y?y0??
直线AB的方程：y?y0?32， (x?2)，联立抛物线方程消去x可得：y2?2y0y?2y0?12?0（1）y0
22由题意，y1,y2是方程（1）的两个实根，且y1?y
2，所以??4y0?4(2y0?12)?0??y0?
弦长|AB|?y1?y2|??点C(5，0)到直线AB
的距离：h?|CM|?
则S?ABC?1|AB|?h??
2??当且仅当22，
即9?y0?24?2y0y0?，
点AB
,或5
A B时等号成立，所以?ABC
【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积S表示为中点坐标y0的函数，同时注意y0的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也
2可设9?y0?t,t?[9,21)，转化为一个t的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。
x2y2
【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1交于不同两点A，1612
www.99jianzhu.com/包含内容：建筑图纸、PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新,免费下载,施工方案、工程书籍、建筑论文、合同表格、标准规范、CAD图纸等内容。