圆锥曲线中的定点和定值问题
泰兴市第二高级中学 毛玉峰
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,是高考的重点考查内容.这部分知识综合性较强,对学生逻辑思维能力、计算能力等要求很高,特别是圆锥曲线中的定点与定值问题,此类问题主要涉及到直线、圆、圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数、化归、数形结合等思想，是高考的热点题型之一.
【要点梳理】
1.解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是一个难点，解决这类问题基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，选定适当的参数，结合等式的恒成立求解，也就是说与题中的可变量无关。
2.椭圆中常见的定值结论：
x2y2
结论1：经过原点的直线l与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于M,N两点，P是椭圆上的动ab
b2
点，直线PM,PN的斜率都存在，则kPM?kPN为定值?2. a
x2y2
结论2：已知M,N是椭圆2?2?1(a?b?0)两点，P是M,N的中点，直线MN,OP的ab
b2
kOP为定值?2. 斜率都存在，则kMN?a
x2y2
结论3：设A,B,C是椭圆2?2?1(a?b?0)上的三个不同点，B,C关于x轴对称，直线ab
AB,AC分别与x轴交于M,N两点，则OM?ON为定值a2.
x2y2
结论4：过椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)上任意作两条斜率互为相反数的直线ab
b2x0交椭圆于M,N两点，则直线MN的斜率为定值2. ay0
x2y2
''结论5：分别过椭圆2?2?1(a?b?0)上两点P(x0,y0)，Q(x0,y0)作两条斜率互为相反ab
'b2(x0?x0)数的直线交椭圆于M,N两点，则直线MN的斜率为定值2. 'a(y0?y0)
3. 定点问题：对圆锥曲线中定点的确定，通常设出适当的参数，求出相应曲线系（直线系）方程，利用定点对参变量方程恒成立的特点，列出方程（组），从而确定出定点或者也可以对参变量取特殊值确定出定点，再进行一般性证明
.
4. 定值问题：求证或判断某几何量是否为定值时，可引进适当的参变量，直接求出相应几何量的
值，说明或证明其为定值（与参变量无关）.
下面结合具体例子加以说明.
例1.已知圆C1:(x?1)2?y2?1和圆C2:(x?4)2?y2?4．
（1）过圆心C1作倾斜角为?的直线l交圆C2于A,B两点，且A为C1B的中点，求sin?；
（2）过点P(m,1)引圆C2的两条割线l1和l2，直线l1和l2被圆C2截得的弦的中点分别为M,N.试
问过点P,M,N,C2的圆是否过定点（异于点C2）？若过定点，求出该定点；若不过定点，
说明理由；
【解析】（1）（解略）
（2）依题意，过点P,M,N,C2的圆即为以PC2为直径的圆，
所以(x?4)(x?m)?(y?1)(y?0)?0，即x2?(m?4)x?4m?y2?y?0
整理成关于实数m的等式(4?x)m?x2?4x?y2?y?0恒成立
?4?x?0?x?4?x?4则?2，所以或? 即存在定点(4,1). ?2y?0y?1???x?4x?y?y?0
小结：本题列出了圆系方程，再整理成关于参变量的方程，列出方程组，得出定点。
例2.（2016年南京三模18）已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到
点F(－1，0)的距离为d2
，且d2． ?d12
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，
且∠OFA＋∠OFB＝180o．
（ⅰ）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程； （第18题）
（ⅱ）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；
【解析】（1）（2）ⅰ（解略）
（2）（ⅱ）由于∠OFA＋∠OFB＝180o，所以kAF＋kBF＝
x21设直线AB方程为：y＝kx＋b，代入＋y2＝1得：(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0， 22
b2?12kb设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝－，x1x2＝ 22k?k?22
所以，kAF＋kBF＝y1ykx+bkx+b2kx1x2?(k?b)(x1?x2)?2b?2?1?2?＝0 x1+1x2+1x1+1x2+1(x1+1)(x2+1)
所以，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b
b2?12kb＝2k－(k＋b＋2b＝0 ∴b－2k＝0， 1k2?k2?22
所以直线AB方程为：y＝k(x＋2)， 所以直线l总经过定点M(－2，0) . 小结：本题中列出了直线系方程，有两个参数，根据题意，求出两个参数之间的关系，再整理成关于一个参数的方程，得出定点。
PA,PB斜率分别是k1,k2，且k1?k2?4,求证：直线AB过定点.
证明一：显然直线PA,PB的斜率不为零，设PA的直线方程是
?y?k1x?2y?k1x?2由方程?2，消去y得(1?2k2)x2?8k1x?02?x?2y?8
?8k1?8k12?4k12，则xA?，yA? ?xP?xA?2221?2k11?2k11?2k1
而直线PB的斜率为k2，以k2代替k1，得xB??8k2
21?2k2
?kAB?yA?yBk1xA?k2xB4??，所以直线AB的方程为 xA?xBxA?xB1?2k1k2
2?4k12?8k14y??(x?) (*)由k1?k2?4 221?2k11?2k1k21?2k1
取k1=1，k2?3，得直线AB的方程:5y??4x?14①
② 取k1=-1，k2?5，得直线AB的方程:11y?
4x?18
2?4k12?8k14（-1，-2）由①②得交点代入(*)，得-2??(-1?) 221?2k11?2k1k21?2k1
即2k1k2??2k12?8k1，又因为k1?k2?4，所以?2k12?8k1??2k12?8k1，即(*)恒成立，
（-1，-2）所以直线AB必过.
证明二：当直线AB不垂直x轴，故设AB的直线方程是y?kx?m，
?y?kx?m222y由方程组?2，消去得（2k?1)x?4kmx?2m?8?0 2x?2y?8?
?4km2m2-8,x1x2?2， 设A(x1,y1),B(x2,y2)，?x1?x2?22k+12k+1
?k1?k2?y1?2y2?2x?x?=2k+(m-2)12?4， x1x2x1x2
（-1，-2）即k?m?2代入y?kx?m，得直线方程：k(x?1)?y?2x,即直线AB过定点
另外，当直线AB垂直x轴，设A(x1,y1),B(x1,-y1)，代入?k1?k2?4，易得x1??1，即直线AB方程为x1??1，也过定点（-1，-2），
（-1，-2）综上：直线直线AB过定点.
证明三：显然直线AB不平行x轴，故设AB的直线方程是x?my?n，
?x=my-n由方程组?2，消去x得（2+m2)y2?2mny?n2?8?0 2?x?2y?8
设A(x1,y1),B(x2,y2)，?=4mn?4(m?2)(n?8)?0?n?2m?8222222
2mnn2-8y1?2y2?2?y1?y2?,yy??k?k???4， ，12122?m22?m2x1x2
即n?1?2m代入my?x?n，那么m(y?2)?x?1,
（-1，-2）即直线AB过定点.
小结：本题中方法1中，用了特殊到一般的解题思路。方法2和3中，注重了直线方程的两种设法。
x2
?y2?1.如图所示，斜率为k(k＞0)且不过原例题4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:3
点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x??3于点D(?3,m).
22（Ⅰ）求m?k的最小值； （Ⅱ）若OG?ODOE，求证：直线l过定点；
解：（Ⅰ）由题意:设直线l:y?kx?n(n?0), 2
?y?kx?n?2222222由?x2消y得:,??36kn?4(1?3k)×3(n?1)(1?3k)x?6knx?3n?3?02??y?1?3
?12(3k2?1?n2)?0，设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点E(x0,y0),则由韦达定理得: x1?x2=?6kn?3knn?3kn?3knx?(,y?kx?n??k?n?,即,,所以中点E的坐标为0001?3k21?3k21?3k21?3k21?3k2
n1m1O,E,D)???m?,因为三点在同一直线上，所以，即， 解得（解k?KOEOD1?3k2k3k3
略）
m?y??x?m?3（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为y??x,所以由?2得交点G的纵坐3?x?y2?1??3
n2OG?OD?OE，所y?标为
yG?又因为,,且y?mED21?3km2n1m??m?,又由（Ⅰ）知: ,所以解得k?n,所以直线l的方程为l:y?kx?k,km2?31?3k2
即有l:y?k(x?1),令x??1得,y=0,与实数k无关,所以直线l过定点(-1,0).
小结：（1）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出关于x,y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点。
例题5.已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为
P是椭圆在第一象限?????????弧上一点，且PF1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。
（
1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
解：（1）（略解）点P的坐标为
（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率
?yk(x?1)?为k(k?0)，则
PB的直线方程为：y?k(x?1) 由?x2y2得
?1???24
(2?k2)x2?2kk)x?k)2?4?0 设B(xB,yB),则
x?x?x?同理可得，则 xB??1?AAByA?yB??k(xA?1)?k(xB?1)?8kyA?yB所以直线AB的斜率
k??. AB2?k2xA?xB
x22例题6.（2016年扬州三模检测）如图，已知点F1,F2是椭圆Cl：＋y ＝1的两个焦点，椭圆C2：2
x22＋y ＝?经过点F1,F2，点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的2
交点分别是A，B和C，D．设AB、CD的斜率分别为k,k?(k?0,k??0)
（1）试问：
kk?（2）求|AB|·|CD|的最大值． ,0),F2(1,0)； 解. （1）因为点F1,F2是椭圆C1的两个焦点，故F1,F2的坐标是F1(?1
而点F1,F2是椭圆C2上的点，将F1,F2的坐标带入C2的方程得， ??设点1 2P(x0,y0)，直线PF1和PF2分别是k,k?(k?0,k??0).
2y0y0x10kk??? （1）， 又点P是椭圆C2上的点，故?y02? （2） (x0?1)(x0?1)22
11 联合（1）（2）两式得kk??? ，故kk?为定值? 22
x2y2
例题7、（2016年三模17）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1 (a＞b＞0)
ab
(2，1)在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x＋y＝2相切，与椭圆C相交于P，Q
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积； 22????????②求证：OP?OQ?0．
解、（1）（解略）（2）①（解略）
②(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，
即kx－y＋m＝0．
（第17题图） ?m＝2k＋2．
22222将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k) x＋4kmx＋2m－6＝0.
2m?64km设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x 1x2＝221?2k1?2k
????????22 因为OP?OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k)x1x2＋km(x1＋x2)＋m
2m2?64km2＝(1＋k)×＋km×(－)＋m． 221?2k1?2k22
????????将m＝2k＋2代入上式可得OP?OQ＝0． 22
小结：定值问题求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现.
总之，定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，通过计算（证明）解决的问题与参数无关。在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点和定值，再证明。尤其是掌握利用特殊情况解决此类问题的填空题。
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