求函数值域方法
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。
一、基本知识
1． 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2． 函数值域常见的求解思路：
⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。
⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数y?f(x)看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0一定为方程y?f(x)在定义域中的一个解，即方程y?f(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程y?f(x)在定义域内有解x0，则y0一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y?f(x)在定义域内有解的y得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷．可以用函数的单调性求值域。
⑸．其他。
3． 函数值域的求法
（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出y?f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
例1
：求函数y?
例2
：求函数y?
例3
：求函数y??x≥1?的值域。
?? ?1,??? 1的值域。
?
?
01?1，
∴函数y?1的值域为[1,??)。
2（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)?af(x)?bf(x)?c的函数的值
域问题，均可使用配方法。
例1：求函数y??x?4x?2（x?[?1,1]）的值域。
解：y??x?4x?2??(x?2)?6，222
∵x?[?1,1]，∴x?2?[?3,?1]，∴1?(x?2)2?9
∴?3??(x?2)2?6?5，∴?3?y?5
∴函数y??x2?4x?2（x?[?1,1]）的值域为[?3,5]。
（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。
解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。
∴函数的值域是［0,2］
例2：求函数y?2x，x???2,2?的值域。 ?,4? ?4?
例3：求函数y??2x?5x?6的值域。 ???,2?1??
?73? ?8?
（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
1?2x
例1：求函数y?的值域。 x1?2
1?y1?2xx2?解：由y?解得， x1?y1?2
∵2?0，∴x1?y?0，∴?1?y?1 1?y
1?2x
∴函数y?的值域为y?(?1,1)。 1?2x
（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数y?
值域为?yy?ax?b(c?0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，cx?d?
?a?，采用部分分式法将原函数化为?；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）c?
ad
a(ad?bc)，用复合函数法来求值域。 y??ccx?db?
1?x的值域。 2x?5
177?(2x?5)?1?x??1?， 解：∵y??2x?52x?522x?5例1：求函数y?
7
1∵?0，∴y??， 22x?5
1?x1∴函数y?的值域为{y|y??。 2x?52
（6）、换元法：
运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y?ax?ba、b、c、d均为常数，且a?0）的函数常用此法求解。
例1
：求函数y?2x
1?t2
解：令t?t?0），则x?， 2
22∴y??t?t?1??(t?)?1
25 4
135，即x?时，ymax?，无最小值。
284
5∴函数y?2x(??,]。 4∵当t?（7）、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)?0；通过方程有实数根，判别式??0，从而a1x2?b1x?c1求得原函数的值域，形如y?（a1、a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 2a2x?b2x?c2
x2?x?3例1：求函数y?2的值域。 x?x?1
x2?x?3解：由y?2变形得(y?1)x2?(y?1)x?y?3?0， x?x?1
当y?1时，此方程无解；
当y?1时，∵x?R，∴??(y?1)?4(y?1)(y?3)?0， 解得1?y?21111，又y?1，∴1?y? 33
x2?x?311∴函数y?2的值域为{y|1?y? 3x?x?1
（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例1
：求函数y?x
解：∵当x增大时，1?2x随x
的增大而减少，x的增大而增大，
∴函数y?x(??,]上是增函数。 1
2
∴y?11?，
22
1
2∴函数y?x(??,]。
例2．求函数y?x?1在区间x??0,???上的值域。 x
分析与解答：任取x1,x2??0,???，且x1?x2，则
f?x1??f?x2???x1?x2??x1x2?1?，因为0?xx1x21?x2，所以：x1?x2?0,x1x2?0，
当1?x1?x2时，x1x2?1?0，则f?x1??f?x2?；
当0?x1?x2?1时，x1x2?1?0，则f?x1??f?x2?；而当x?1时，ymin?2 于是：函数y?x?1在区间x??0,???上的值域为[2,??)。 x
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
例3：求函数f?x???x??x的值域。
分析与解答：因为??1?x?0??1?x?1，而?x与?x在定义域内的单调性不一致。现构造
?1?x?0
相关函数g?x???x??x，易知g(x)在定义域内单调增。gmax?g?1??2，gmin?g??1???2，?g?x??2，0?g2?x??2，
又f2?x??g2?x??4，所以：2?f2?x??4，2?f?x??2。
（9）、基本不等式法
22利用基本不等式a?b?2ab和a?b?2ab(a,b?0)是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法
求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取"?"成立的条件.
例1 求函数
解答: y?x?1的值域. y??x?1??2, 当且仅当x?1时"?"成立. 故函数的值域为y?[2,??).
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例2 求函数y?2x?1的值域.
解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出"(x?1)"项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:
(x?1)(x?b)?c?x2?2x?2,(2)
将上面等式的左边展开, 有:
x2?(b?1)x?(b?c),
故而b?1?2, b?c?2.
解得b?1, c?1. 从而原函数y?(x?1)(x?1)?1
x?1; ?(x?1)?x?1
x?1ⅰ)当x??1时, x?1?0, ?0, 此时y?2, 等号成立, 当且仅当x?0.
x?1ⅱ)当x??1时, ?(x?1)?0, ??0, 此时有
y?(x?1)(x?1)?111???(x?1)?????(x?1)???2, ?x?1x?1x?1??
等号成立, 当且仅当x??2.
综上, 原函数的值域为: y?(??,?2]?[2,??).
不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例3. 求函数
解：原函数变形为：
的值域。
当且仅当 即当时，等号成立 故原函数的值域为：
例4. 求函数
解：
的值域。
当且仅当，即当时，等号成立。 由可得： 故原函数的值域为：
（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。
x2?1例1：求函数y?2的值域。 x?1
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得 (y?1)x2??(y?1)，
∵y?1，∴x??2y?1（x?R，y?1）， y?1
∴?y?1?0，∴?1?y?1， y?1
x2?1∴函数y?2的值域为{y|?1?y?1} x?1
形如sin??f(y),x2?g(y),sin??1,x2?0可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。
2x?1例2．求函数y?x的值域 2?1
[解析]：函数的有界性
2x?1y?1由y?x得2x? y?12?1
?22?0,?y?1?0?y?1或y??1 y?1
2cosx?1的值域。 3cosx?2例3：求函数y?1????,??3,??? ??5??
?1?,3? ??3?例4：求函数y?2?sinx的值域。 2?sinx
（11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
例1：求函数y?|x?3|?|x?5|的值域。 ??2x?2(x??3)?解：∵y?|x?3|?|x?5|??8 (?3?x?5)，
?2x?2(x?5)?
∴y?|x?3|?|x?5|的图像如图所示，
由图像知：函数y?|x?3|?|x?5|的值域为[8,??) 以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例2
：求函数y?
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)? 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则EK=2?x,KF=2?
x
。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
例3．如例4求函数y??x??x的值域。 22分析与解答：令u??x，v??x，则u?0,v?0，u?v?2，u?v?y，
22原问题转化为 ：当直线u?v?y与圆u?v?2在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直
线的截距的取值范围。
由图1知：当u?v?y经过点(0,)时，ymin?
当直线与圆相切时，ymax?OD?
所以：值域为2?y?2
2； 2OC?2?2?2。
例4. 求函数解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点即：
，则构成
，根据三角的值域。 到点的距离之差。 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
（12）、复合函数法：对函数y?f(u),u?g(x)，先求u?g(x)的值域充当y?f(u)的定义域，从而求出y?f(u)的值域的方法。
3x
例1、求函数y?x 的值域 3?1
（复合函数法）设3?1?t ， x
3x?1?111?t?1? ?1??1?则y?t3x?13x?1
1?t?1?0??1t?0?y?1
?原函数的值域为?01?
例2：求函数y?log1(?2x2?5x?3)的值域。 ?,??? ?8?2?49?
（13）、非负数法
根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
x2?3例1、(1)求函数y??x的值域。 (2)求函数y?2的值域。 x?12
解析：(1)?0?16?x2?16， ?0??x2?4
故 所求函数的值域为 y??0，4?。
(2)?x2?1?0，?原函数可化为 y(x2?1)?x2?3，即 x2(1?y)?y?3， 当y?1时，x2?y?3y?3?0，解得?3?y?1 ， ?x2?0，?1?y1?y
又 y?1， 所以 ?3?y?1，
1）故 所求函数的值域为 y?[?3，。
（不等式性质法）
例2：求下列函数的值域：
662x2?4x?10 （1）y=2； （2）y=2； （3）y= x?22sinx?1x?2x?2
（4）
（2）y=?3()?4(x??1)；（3）y=log2(x?)(x?1
2x21
41) 2
（14）、导数法
若函数f在(a,b)内可导, 可以利用导数求得f在(a,b)内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值. 从而求得f的值域.
例1： 求函数f(x)?x3?3x在(?5,1)内的值域.
分析:显然f在(?5,3)可导，且f?(x)?3x2?3. 由f?(x)?0得f的极值点为x?1,x??1. f(?1)?2,f(1?0)??2. f(?5?0)?140.
所以, 函数f的值域为(?2,140).
（15）、“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.
1.适合采用“平方开方法”的函数特征
设f(x)（x?D）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：
（1）f(x)的值总是非负，即对于任意的x?D，f(x)?0恒成立；
（2）f(x)具有两个函数加和的形式，即f(x)?f1(x)?f2(x)（x?D）；
（3）f(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即
， f2(x)?[f1(x)?f2(x)]2?c?g(x)（x?D，c为常数）
其中，新函数g(x)（x?D）的值域比较容易求得.
2.“平方开方法”的运算步骤
若函数f(x)（x?D）具备了上述的三个特征，则可以将f(x)先平方、再开方，
从而得到f(x)（x?D，c为常数）.然后，利用g(x)的值域便可轻易地求出f(x)的值域.例如g(x)?
[u,v]，则显然f(x)?.
3.应用“平方开方法”四例
能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.
例1
求函数f(x)?x?[a,b]，a?b）的值域.
解：首先，当x?[a,b]时，f(x)?0；
其次，f(x
)是函数f1(x)
f2(x)?的和；
最后，f2(x)?b?a??b?a? 可见，函数f(x)满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方
得f(x)x?[a,b]）.
这里，g(x)?x?[a,b]）.对g(x)
b?a].于是，f(x)的值域
为根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域为[0,
. ]
ab例2
求函数f(x)x?[,]，a?b，k?0）的值域. kk
解：显然，该题就是例1的推广，且此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)
ab平方、
开方得f(x)?x?[,]）.
这里，g(x)?kk
ab（x?[,]）.对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域仍为[0,b?a].于是，f(x
)kk
的值域也仍为.
例3 求函数f(x)?|sinx|?|cosx|（x?R）的值域. 解：参照例1的验证步骤，显然，此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x
)平方、开方得f(x)x?R）.这里，g(x)?|sin2x|（x?R）.易知，g(x)的值域为[0,1].于是，f(x
)的值域为[1.
例4 求函数f(x)?|sinx?cosx|?|sinx?cosx|（x?R）的值域. 解：参照例1的验证步骤，显然，此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、
开方得f(x)?x?R）.这里，g(x)?2|cos2x|（x?R）.易知，g(x)的值域为[0,2].于是，f(x
)的值域为.
例5 求函数y?x?3??x 的值域
解：（平方法）函数定义域为：x??3,5?
y2?(x?3)?(5?x)?2?x2?8x?15
由x??3,5?,得?x2?8x?15??0,1?
?y??2,4?2
?原函数值域为2,2?
平方法）函数定义域为：x??3,5?
y2?(x?3)?(5?x)?2?x2?8x?15
由x??3,5?,得?x2?8x?15??0,1?
?y??2,4?2 ?原函数值域为2,2
（16）. 一一映射法 ?
原理：因为
就可以求另一个变量范围。
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，
例1. 求函数的值域。 解：∵定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为
多种方法综合运用
例1 求函数
解：令的值域。 ，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例2. 求函数
解：
的值域。
令，则
∴当当时，时， 此时都存在，故函数的值域为
例3.求函数 y?2x(x?0) 的值域
解：（图象法）如图，值域为?0,1?
?1?例4.求函数y????3??x2?2x 的值域
t?1?解：（复合函数法）令t??x2?2x??(x?1)2?1，则y???(t?1) ?3?
由指数函数的单调性知，原函数的值域为?,???
例5.求函数y?x??x2的值域
解：（三角代换法） ??1?3???1?x?1 ?设x?cos????0,?? y?cos??sin??cos??sin??2sin(??)??1,24
?原函数的值域为?1,2?????
小结：（1）若题目中含有a?1，则可设
a?sin?,??
2????
2(或设a?cos?,0????) （2）若题目中含有a2?b2?1
，其中0???2? 则可设a?cos?,b?sin?
（3）若题目中含有?x2，则可设x?cos?，其中0????
（4）若题目中含有?x2，则可设x?tan?，其中
??
2??
（5）若题目中含有x?y?r(x?0,y?0,r?0)， 则可设x?
其中???0,rcos2?,y?rsin2? ?
???? 2?
x2?1例6、求函数y?2 的值域 x?1
解法一：（逆求法）?x?21?y?01?y??1?y?1
?原函数的值域为??11?
解法二：（复合函数法）设x?1?t ， 2
22?1?(t?1) 则 y?1?2tx?12
2?2??1?y?1 t??1,1??原函数值域为?t?1?0?
解法三：（判别式法）原函数可化为 (y?1)x2?0?x?y?1?0
1） y?1时 不成立
2） y?1时，??0?0?4(y?1)(y?1)?0??1?y?1
??1?y?1
综合1）、2）值域{y|?1?y?1}
解法四：（三角代换法）?x?R?????设x?tan?????,?，则 ?22?
1?tan2?y????cos2??2?????,???cos2????1,1? 1?tan2?
?原函数的值域为{y|?1?y?1} ax2?bx?c22小结：已知分式函数y?(a?d?0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；2dx?ex?f
如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
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