辽宁高考数学专题考案 数列板块 第3课 数列的求和
(时间：90分钟满分：100分)
题型示例
已知y=f(x)是一次函数，且f(2),f(5),f(4)成等比数列，f(8)=15,求Sn=f(1)+f(2)+?+f(n)(n∈N*)的表达式.
分析要求和，关键要先求出f(n).
解由y=f(x)是一次函数可设f(x)=ax+b,则f(2)=2a+b,f(5)=5a+b,f(4)=4a+b,
∵f(2),f(5),f(4)成等比数列，∴(5a+b)2=(2a+b)(4a+b).
∴17a2+4ab=0,又∵a≠0.
∴a=-4b ① 17
又∵f(8)=15,∴8a+b=15②
联立方程①、②解得a=4,b=-17,∴f(x)=4x-17.
∴f(1),f(2),?,f(n)可看作是首项为-13,公差为4的等差数列.
由等差数列前n项和公式可求得Sn=-13n+n(n?1)×4=2n2-15n. 2
点评此题渗透了函数思想，解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系.
一、选择题(9×3′＝27′)
1．数列{an}是等差数列的一个充要条件是()
A.Sn=an+bB.Sn=an2+bn+cC.Sn=an2+bn(a≠0)D.Sn=an2+bn
2．设m=1×2+2×3+3×4+?+(n-1)·n，则m等于() n(n2?1)111A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7) 3222
3．若Sn=1-2+3-4+?+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ()
A.1 B.-1 C.0 D.2
4．阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x,符号［x］表示x的整数部分，即［x］是不超过x的最大整数.函数［x］叫做“取整函数”，也叫高斯函数.它具有以下性质：x-1<［x］≤x<［x+1］.请回答:［log21］+［log22］+［log23］+?+［log21024］的值是()
A.1024 B.8202 C.8204 D.9216
5．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,?,则{cn}的前10项和为 ()
A.978 B.557 C.467 D.979
6．1002-992+982-972+?+22-12的值是()
A.5000B.5050C.10100D.20200
7．若等比数列{an}的前n项和Sn=2n+r,则r的值是 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
1118．已知S=1+2?2???2??，那么S的范围是 ( ) 23n
A.(1,33) B.(,2) C.(2,5)D.(5,+∞) 22
11????9．已知数列{an}的前n项和Sn=a?2?()n?1??b?2?(n?1)()n?1?(n=1,2,?)，其中a,b是非零常22????
数，则存在数列{xn}、{yn}使得 ( )
A.an=xn+yn，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列
B.an=xn+yn，其中{xn}和{yn}都为等差数列
C.an=xn·yn，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列
D.an=xn·yn，其中{xn}和{yn}都为等比数列
二、填空题(4×3′＝12′)
10．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为.
11．若12+22+?+(n-1)2=an3+bn2+cn，则ab,c12．已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2-4n+1，则|a1|+|a2|+?+|a1013．数列,,392565161,,,?的前n项和Sn. 2481632
三、解答题(9′＋3×10′＋12′＋10′＝61′)
14．求和：1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n·1.
149n2
15．求和：Sn=. ?????1?33?55?7(2n?1)(2n?1)
16．已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N);数列{bn}的通项bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
17．数列{an}中，a1=a，前n项和Sn构成公比为q的等比数列．(q≠1)
(1)求证在{an}中，从第2项开始成等比数列；
(2)当a=250，q=1时，设bn=log2|an|,求|b1|+|b2|+?+|bn|． 2
2(-1)n}是等比数列; 3
1117?????. a4a5am818．已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an+(-1)n,n≥1. (1)求证数列{an+(2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对任意的整数m>4,有
19．求包含在正整数m与n间(m<n)的分母为3的所有不可约分数之和.
参考答案
1．D Sn=na1+dn(n?1)dd2?n+(a1-)n，d可以为0，对照知选D. 222
2．A an=n2-n.
?n?1(n为奇)??23．A Sn=?
??n(n为偶)??2
?0,1?N?2?2?1,2?N?2
?2,22?N?23?4．C［log2N］=?故原式=0+1·(22-2)+2·(23-22)+?+9·(210-29)+10=9·210-(29+28+???
?9,29?N?210
?10??10,N?2
+2)+10=8204,故选C.
?q?d?15．A 由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则?2 q?2d?2?
∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978.
6．B并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5050.
7．D r等于2n系数1的相反数-1，选D.
11131?S?1????????2?33?4n(n?1)2n?1311????S?2?. 8．B ?112n?1n?S?1?1?1????2??1?22?3n(n?1)n?
1n-1111)］-b［2-(n+1)()n-1］-a［2-()n-2］+b［2-n·()n-2］ 2222
1n-11n-21n-11n-21n-21=-()a+a·()+b(n+1)·()-bn()=a·()［-()+1］222222
11111+bn()n-2(-1)+b()n-1=(a+b)·()n-1-bn()n-1 22222
111=［a+b(1-n)］()n-1=［a-(n-1)b］·［·()n-2］ 222
11而a1=S1=a［2-()0］-b［2-2·()0］=a,因此也适合上式. 22
11∴xn=a-(n-1)b,yn=()n-2.选C. 22
100110． 设此数列{an},其中间项为a1001, 10009．C 由an=Sn-Sn-1=a［2-(
则S奇=a1+a3+a5+?+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+?+a2000=1000a1001.
(n?1)n?(2n?1)2n3?3n2?n111?. 11．;?; 原式=66326
??2(n?1)12．67 an??. 2n?5(n?2)?
13．n(n?1)11?(1?n) an=n+n. 222
14．解 ak=k·［(n+1)-k］=(n+1)k-k2，
∴Sn=［(n+1)·1-12］+［(n+1)·2-22］+?+［(n+1)·n-n2］
=(n+1)(1+2+?+n)-(12+22+?+n2)
n(n?1)1?n(n+1)(2n+1) 26
n(n?1)(n?2)=. 6=(n+1)·
k2k211111115．解 ak=?2????(?)， (2k?1)(2k?1)4k?144(2k?1)(2k?1)482k?12k?1
∴Sn=n(n?1)n11. ??(1?)?482n?12(2n?1)
16．解 可按如下三个层次进行:
(1)由数列{an}的前n项和求an.
?S1(n?1)由an=?得an=11-2n(n∈N*) S?S(n?2)n?1?n
(2)由an的正负确定{bn}的通项公式.
易知,当n≤5时,an>0,则bn=an;当n≥6时,an<0,则bn=-an
?11?2n(n?5)∴bn=? 2n?11(n?6)?
(3)求数列{bn}的前n项和Tn
当n≤5时,因为bn=an所以Tn=Sn=10n-n2;
当n≥6时,Tn=a1+a2+a3+?+a5-(a6+a7+?+an)=2S5-Sn=50-(10n-n2)=n2-10n+50.
2??10n?n(n?5). ∴Tn=?2?n?10n?50(n?6)?
点评 数列{an}与数列{|an|}很多题目都有涉及,关键是把握两者的实质联系，我们分了三个步骤以方便同学们理清思路.
17．(1)证明 由已知S1=a1=a，Sn=aqn-1,∴Sn-1=aqn-2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a(q-1)qn-2． ∵an?1
an=q,∴{an}是当n≥2时公比为q的等比数列．
?a(a?1).(2)解 a2=S2-S1=a(q-1),∴an=?. n?2?a(q?1)q(n?2)
∴当a=250，q=111时，b1=log2|a|=50,当n≥2时，bn=log2|an|=log2|250(-1)()n-2|=51-n. 222
时，|b1|+|b2|+?+|bn|=(51-1)+(51-2)+?+(51-n)=51n-(1+2+?∴bn=51-n(n∈N)．
①当1≤n≤51
+n)=51n-
②当n(n?1)n(101?n)?. 22时，|b1|+|b2|+?+|bn|=(50+49+48+?+1)+［1+2+3+?+(n-51)］n≥52
=50?51(n?51)(n?50)n(n?101) ??222
18．(1)证明 由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n≥2),
化简得 an=2an-1+2(-1)n-1(n≥2),
2221(-1)n=2［an-1+(-1)n-1］(n≥2),∵a1=1,∴a1+(-1)1=. 3333
21故数列{an+(-1)n}是以为首项，公比为2的等比数列. 33
n?12n2(2)解 由（1）可知an+(-1)=. 33
1222∴an=×2n-1-(-1)n=［2n-2-(-1)n］,故数列{an}的通项公式为 an=［2n-2-(-1)n］. 3333上式可化为 an+
(3)证明 由已知得111???? a4a5am
=?3?111?3?111111?3???m?2?????????2??? 2?2?12?12?(?1)m?2?391533632m?2?(?1)m?
1111111111=(1??????)?(1??????) 23511212351020
11??(1?)m?5?1?451422113111310410572=?????. ??(???m?5)???()m?5?12?3235515521512012082?1???2??
故1117?????(m?4) a4a5am8
19．解 方法1 这些分数是3m?13m?23m?43m?53n?23n?1,,,,?,,. 333333
显然它既非等比数列也非等差数列，但如果在适当的位置上分别添上
3m3m?33n?33n,,?,,(?) 3333
3m3m?13m?23m?33n?33n?23n?13n即成为,,,,?,,,,(??) 33333333
1(**)是一个有3n-3m+1项的等差数列，公差为,首项是m,末项是n, 3
1其和为S=(3n-3m+1)(m+n)而(*)是一个有n-m+1项的等差数列，公差为1,首末项分别为m,n2
1其和S″=(n-m+1)(m+n). 2
故适合条件的分数和为S=S′-S″=n2-m2.
方法2 设S=(m+1221)+(m+)+?+(n-)+(n-)注意到与首末两项等距离的两项和相等，于是3333
把上式倒序相加得:2S=(m?n)?(m?n)???(m?n),?S?n2?m2. ?????????????
2(n?m)个
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