【选题明细表】
基础过关
一、选择题
1.(2014泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( B )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线与双曲线相交时,也可能有一个公共点,例如:与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.故选B.
2.已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )
(A)(B)4(C)3(D)5
解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),
∴c=3,b2=c2-a2=5.
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
焦点(3,0)到y=±x的距离d=.
故选A.
3.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个端点,若3
(A) (B) (C) (D) =+2,则该椭圆的离心率为( D ) 解析:设D(0,b),则=(-a,-b),
由3
=+2=(-c,-b), =(c,-b), 得-3c=-a+2c,
即a=5c,
∴e=
=.
4.(2014海口高考调研)抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于( A ) (A)3 (B)2 (C)2 (D)
解析:y2=-12x的准线方程为x=3,
双曲线-=1的渐近线为y=±x.
设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B, 由
求得A(3,),同理B(3,-),
所以|AB|=2,
而O到直线AB的距离d=3,
故所求三角形的面积S=|AB|3d=3233=3.
5.(2014中原名校模拟)设双曲线-=1(a>0,b>0),离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2-bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)与圆x2+y2=8的位置关系( C )
(A)在圆内 (B)在圆上 (C)在圆外 (D)不确定 解析:由e=得a=b,故c=a,
所以方程ax2-bx-c=0化为ax2-ax-a=0,
即x2-x-=0,
故x1+x2=1,x12x2=-
. +=(x1+x2)2-2x1x2=12-23(-)=1+2,
显然(1+2)2=9+4>8,
所以点P(x1,x2)在圆外.
6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),
将y=1-x代入ax2+by2=1,
得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
故x1+x2=
∴y1+y2=2-,x0==, ,y0=,
∴kOM===.
二、填空题
7.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为 .
解析:对于椭圆C1,a=13,c=5,曲线C2为双曲线,c=5,a=4,b=3,则标准方程为-=1.
答案:-=1
8.(2014哈师大附中模拟)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为
F(c,0),以原点为圆心,c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A,若此圆在A点处切线的斜率为,则双曲线C的离心率为 . 解析:如图,由题知∠ABO=30°,
所以∠AOB=60°,OA=c,
设A(x0,y0),
则x0=-c2cos 60°=-,
y0=csin 60°=c,
由双曲线定义知 2a==(-1)c,
∴e=
=+1.
答案:+1
9.(2014太原五中模拟)直线l过椭圆+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为 .
解析:法一 由椭圆方程得a=,b=c=1,则F(-1,0).
在△FMO中 ,|MF|=|MO|,
所以M在线段OF的中垂线上,
即xM=-, -
设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x+1), 由得x2+2k2(x+1)2-2=0, 即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,
∴xP+xQ=,
而M为PQ的中点,
故xM=(xP+xQ)=∴k2=,
解得k=±.
故直线l的方程为y=±(x+1),
即x±y+1=0.
法二 设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0), 由题意知kPQ=-kOM,
由P、Q在椭圆上知
两式相减整理得kPQ=而kOM=,故=, 即=2, =- =-, =-,
所以kPQ=±,
直线PQ的方程为y=±(x+1),
即x±y+1=0.
答案:x±y+1=0
10.(2014高考山东卷)已知双曲线
-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 .
解析:抛物线x2=2py的准线方程为y=-,与双曲线的方程联立得x2=a2（1+）,
根据已知得a2(1+)=c2,①
由|FA|=c,得+a2=c2,②
由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=±x. 答案:y=±x
三、解答题
11. 如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
(1)解:依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.
设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,
y=|OB|cos 30°=12.
因为点B(4,12)在x2=2py上,
所以(4)2=2p312,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)证明:由(1)知y=x2,y′=x.
设P(x0,y0),则x0≠0,y0=
y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-
由所以Q为
设M(0,y1),令由于得. 2=0对满足y0==, (x0≠0)的x0,y0恒成立. ,且l的方程为 . =(x0,y0-y1),
由得2=0, -y0-y0y1+y1+=0,
即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)
由于(*)式对满足y0=
所以
解得y1=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).
12.(2014长葛三模)已知圆C1的圆心的坐标原点O,且恰好与直线
l1:x-2y+3=0相切,点A为圆上一动点,AM⊥x轴于点M,且动点N满足=+（1-）,设动点N的轨迹为曲线C. (x0≠0)的y0恒成立, (1)求曲线C的方程;
(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的
最大值.
解:(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),
因为AM⊥x轴于M,
所以M(x0,0),
设圆C1的方程为x2+y2=r2,
由题意得r==3,
所以圆C1的方程为x2+y2=9.
由题意,
=+（1-）, 所以(x,y)=(x0,y0)+（1-）(x0,0), 所以
即 将A(x,y)代入x2+y2=9,
得动点N的轨迹方程为
+=1.
(2)由题意可设直线l:2x+y+m=0, 设直线l与椭圆+=1交于B(x1,y1),D(x2,y2), 联立方程
得13x2+12mx+3m2-9=0, Δ=144m2-1334(3m2-9)>0, 解得m2<39.
又∵点O到直线l的距离d=, BD=2|x1-x2|=2
∴S△OBD=222, =
=≤
(当且仅当m2=39-m2,即m2=时取到最大值).
∴△OBD面积的最大值为.
能力提升
13.(2014高考辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( D ) (A) (B) (C) (D)
解析:∵A(-2,3)在抛物线y2=2px的准线上,
∴-=-2,
∴p=4,
∴y2=8x,
设直线AB的方程为x=k(y-3)-2,①
将①与y2=8x联立, 即
得y2-8ky+24k+16=0,②
则Δ=(-8k)2-4(24k+16)=0,
即2k2-3k-2=0,
解得k=2或k=-(舍去),
将k=2代入①②解得
即B(8,8),
又F(2,0),
∴kBF==.
故选D.
14.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为 .
解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F′,连接OT、PF′
.
∵FT为圆的切线,
∴FT⊥OT,且|OT|=a,
又∵T、O分别为FP、FF′的中点,
∴OT∥PF′且|OT|=|PF′|,
∴|PF′|=2a,
且PF′⊥PF.
又|PF|-|PF′|=2a,
∴|PF|=4a.
在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,
即16a2+4a2=4c2,∴=5. ∴=-1=4,∴=2,
即渐近线方程为y=±2x,
即2x±y=0.
答案:2x±y=0
15.(2014保定二模)设椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为e=,且过点（-1,-）.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设椭圆E的左顶点是A,若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N(M、N与A均不重合),若以MN为直径的圆过点A,试判定直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标.
解:(1)由e2==可得a2=2b2,
则椭圆E的方程为
+=1(a>b>0),
代入点（-1,-）可得b2=2,a2=4,
故椭圆E的方程为+=1.
(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得 =,
(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
y1+y2=-,y1y2=,
, x1+x2=m(y1+y2)+2t=
x1x2=(my1+t)(my2+t)
=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2 =.
因为以MN为直径的圆过点A, 所以AM⊥AN, 所以2=(x1+2,y1)2(x2+2,y2) =x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2 =
=
=0.
因为M、N与A均不重合, 所以t≠-2,
所以t=-,直线l的方程是x=my-, 直线l过定点T（-,0）, +23=+4+
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