题型一：古典概型
1、为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
1152（A）3（B）2（C）（D）6 3
2、从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
（A）1289 （B）（C） （D）552525
题型二：几何概型
1、某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，
且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）
1123（A） （B （C）（D 3234
－1,1]上随机的取一个数k，则事件“直线y=kx与圆2、（2016年山东高考）在[
(x－5)2+y2=9相交”发生的概率为
3、在平面区域??x,y?0?x?1，1?y?2?内随机投入一点P，则点P的坐标?x,y?满足y?2x的概率为（ ）
（A）1123（B） （C）（D） 4234
答案：B 3
4
题型三：排列与组合
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数______
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场
顺序有多少种？
四.定序问题倍缩空位插入策略
1
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
六.平均分组问题除法策略
例6. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
答案：1. 113522C4C3A4?288 2.A5A2A2?480
6.2223 C6C4C2/A33. 4 A55A64.4 A75.76
题型四：超几何分布
例1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件2二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. 3
(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；
(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
例2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”,
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,
再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用?表示所选志愿者中能担
任“礼仪小姐”的人数，试写出?的分布列，并求?的数学期望.
例3、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.
2
由于部分数据丢失，只知道从这位学生中随机抽取一个视觉记忆能力恰为中等,且听
2觉记忆能力为中等或中等以上的概率为.（Ⅰ）试确定a、b的值；（Ⅱ）从40人中任5
意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为?,求随机变量?的分布列.
题型五：二项分布
例4、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一
11轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没610
有影响.
（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X).
例5、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.
(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；
(Ⅱ) 用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望.
3
例6、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为p1?2，乙的命中率为p2，在射3
击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”； （Ⅰ）若p2?1,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； 2
（Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数?，如果E??5,求p2的取值范围.
例7、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为21,服用B有效的概率为. 32
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用?表示这3个试验组中甲类组的个数，求?的分布列和数学期望。
例8、盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元． （Ⅰ）若某人摸一次球，求他获奖励的概率；
（Ⅱ）若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量?为获奖励的人数，
（i）求P(??1)
（ii）求这10人所得钱数的期望． 1?14?（结果用分数表示，参考数据：???） 2?15?10
4
课后练习巩固
1、空气质量指数PM2.5 (单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这
从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．
（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良 的天数，求X的分布列及数学期望．
3 2 0 4
5 5
6 4
7 6 9 7
8 8 0 7
9 1 8 0 9
2、根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表 :
图5
天数
108
某市
年月日—月日，对空气质量指数AQI进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图: （1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中 度污染的概率；
（2）在上述30个监测数据中任取2个,设?为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求?的分布列.
5
642空气质量级别
一级二级
三级四级五级六级
图（4）
3、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（I）估计这次测试数学成绩的平均分；
（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为?，求?的分布列及数学期望E?．
4．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为
样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为?5,15?，?15,25?，?25,35?，?35,45?，
由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3.
（1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi?i?1,2,3,?,n?， 则样本数据的平均值为X?x1p1?x2p2?x3p3???xnpn.）
（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在?5,15?内
的小球个数为?，求?的分布列和数学期望.
6 0.032a0.02O1525图345重量/克
5、甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为2，乙队中3人答对的概率分别为3
221,,，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用?表示甲队的总得分． 332
（1）求随机变量?的分布列和数学期望；
（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
6．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。
（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数；
（2）从这15天的数据中任取2天数据，记?表示抽到
PM2.5监测数据超标的天数， 求?的分布列及数学期望；
（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量
情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气
质量达到一级或二级.
7
参考答案
1.【解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A 分
事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ………2分 p(A)?64213??? ……(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3. 1010315
3021C4C6C4C13P(X?0)?3?,P(X?1)?36?, C1030C1010
1203C4C61C4C1P(X?2)?3?,P(X?3)?36?. ……8分 C102C106
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B……………10分 事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 1131?()?. ……………13分 303810
51?， 2分 2.【解析】（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是306
11所以选中的“高个子”有12??2人，“非高个子”有18??3人．????3分 66所以，P(B)?
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”，
8
2C337? 则P(A)?1?2 ?1?．??5分 因此，至少有一人是“高个子”的1010C5
概率是7．?6分 10
（Ⅱ）依题意，?的取值为0,1,2,3． ??????7分
32C8C114284C8 P(??0)?3?， P(??1)?3?， C1255C1255
1C212C314C8 P(??2)?3?， P(??3)?34?． ???????9分 C1255C1255
?E??0?1428121?1??2??3??1． ????12分 55555555
3.【解析】（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10?a)人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A， 10?a2?，解得a?6，从而b?40?(32?a)?40?38?2. 则P(A)?405
k3?kC24C16(k?0,1,2,3).?的可能取值为0、1、2、3. （Ⅱ）P(??k)?3C40
03C24C1614P(??0)?3?C40247,12C24C1672P(??1)?3?C40247,21C24C16552P(??2)??3C401235,
30C24C16253P(??3)?3?， C401235
4.【解析】（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则P(A)?1?(1?)?(1?
所以，该产品不能销售的概率为1611)?. 1041. ??????????????4分 4
（Ⅱ）由已知，可知X的取值为?320,?200,?80,40,160. ?????????5分
1113331P(X??320)?()4?，P(X??200)?C4?()??， 42564464
13273327231P(X??80)?C4?()2?()2?，P(X?40)?C4??()?， 441284464
381P(X?160)?()4?. ??????????????10分 4256
11272781?200??80??40??160?E(X)??320??40， 2566412864256
9
5.【解析】（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A,………分
1由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是， ……………………………3分 3
?2?65 .……………………………6分 则P(A)?1?P(A)?1?????3?81
(Ⅱ) X的可能取值为0,1,2,3,4, ………………………7分
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为41，且每个人下电梯互不影响，所以31X?B(4,).…9分
3
14E(X)?4??.………………………13分 33
116.【解析】（Ⅰ）P?(C2??)(C2??)?(?)(?)?21
331122221133221---------6分 3
（Ⅱ）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 211222842)[C?p(1?p)?p)?? p22222333399
842而??B(12,P)，所以E??12P,由E??5知12(p2?p2)?5, 99
3解得?p2?1.-------12分 41 P?(C27.（Ⅰ）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2； Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2 依题意有
124224111111P(A1)?2???,P(A2)???,P(B0)???,P(B1)?2???, 339339224222
1414144所求的概率为P?P(B0A1)?P(B0A2)?P(B1A2)??????? 4949299
4k4k53?k（Ⅱ）?的可能取值为0，1，2，3，且 ?~ B(3,9), P(??k)?C3()(),k?0,1,2,3 99
所以数学期望E??3?44?. 93
10
32C411（10,)， 8.【解析】（Ⅰ）p?2=（Ⅱ）（i）由题意知??B15C1015
141011411)?C10??()9? 1515157
1146 （ii）设?为在一局中的输赢，则E???10??2??, 15155
6 所以E(10?)?10E??10?(?)??12,即这10人所得钱数的期望为?12. 5则P(??1)?1?P(??0)?P(??1)?1?(
课后巩固参考答案
1.解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．????????????????????1分
所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天． （2）X的取值为0，1，2，
021C5C103C1C10510PX?0??PX?1??因为?，?， ??22C157C1521
20C5C231022P?X?2??210?．所以数学期望EX?0??1??2??． C1521721213
2.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 P?
（2）随机变量?的可能取值为0,1,2,
2112C26C4C26104C4652?P??2??,P???1??, 则P???0??2???22C3087C30435C3014561?.---------------------4分 305
3.解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分）
……………（5分） 众数的估计值为75分
所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分）
（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）
（II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C62?15，
10×80=4（人）有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×，
2?6， 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C4
62?. ……………（8分） 155
随机变量?的可能取值为0、1、2、3，则有． 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P?
11
∴P(??k)?C3k()k()3?k,k?0,1,2,3
∴变量?
2535…………（10分）
83654546E??0? …………（12分） ?1??2??3?? 1251251251255
4． (1) 解：由题意，得?0.02?0.032?x?0.018??10?1， 解得x?0.03. 2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为
X?0.2?10?0.32?20?0.3?30?0.18?40?24.6（克）. ?????3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ?????4分
（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在?5,15?内的概率为0.2，则??B?3,?. ?????5分 ?5?
?的取值为0,1,2,3， ?1?
6448?4?1?1??4? P???0??C???，P???1??C3， ??????125?5??5??5?1250
3
2332121?4?2?1?3?1? P???2??C3. ?????10分 ，??P??3?C???3???????5??5?125?5?125
∴E??0?6448121313?1??2??3??. （或者E??3??） 125125125125555
5.解：（1）解法一：由题意知，?的可能取值为0，1，2，3，且 ????1分
2?12?2?20?1，P(??1)?C3P(??0)?C3??1??????1???，????3分 3?3?9?3?27
8?2??2?43?2?．????5分 P(??2)?C?????1???，P(??3)?C3?????3??3?9?3?272
32332
?的数学期望为E??0?1248?1??2??3??2．????7分 279927
解法二：根据题设可知，?~B?3?，????3分 ?
?2?3?
12
?2??2?k因此?的分布列为P(??k)?C3?????1???3??3?
因为?~B?3?，所以E??3?k3?k2k1，2，3．??5分 ?C?3k?0，3k3?
?2?3?2?2．????7分 3
（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB?C?D，且C，D互斥，又????8分
22???2??211121111?10P(C)?C32?????1??????????????4，?10分 ?3??3??332332332?3
?2??111?4P(D)?C?????????5，????11分 ?3??332?33
33
由互斥事件的概率公式得P(AB)?P(C)?P(D)?
6.解：(1)由茎叶图可得中位数是45
(2) 依据条件，?服从超几何分布：
其中N?15,M?5,n?3，?的可能值为0,1,2 1043434?5?5?．???12分 4333243
2?k2C5k?C10C50?C103p(??0)??由p(??k)?，得， 22C157C15
011C52?C10C5?C10210p(??2)??p(??1)?? ，， 22C1521C1521
31022?E??0??1??2?? 721213
(2)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为p?
一年中空气质量达到一级或二级的天数为?，则?～B(360,) 102? 1532
3
?E??360?
2?240 3?一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级
13
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