1.解：（I）由题意得，a?2，b?1．
x2
?y2?1学科网．
所以椭圆C的方程为4
又c??
所以离心率e?c． ?a22（II）设??x0,y0?（x0?0，y0?0），则x0?4y0?4．
又??2,0?，??0,1?，所以，
直线??的方程为y?y0?x?2?． x0?2令x?0，得y???2y02y0，从而???1?y??1?． x0?2x0?2
y0?1x?1． x0直线??的方程为y?
令y?0，得x???x0x0，从而???2?x??2?． y0?1y0?1所以四边形????的面积
S?1????? 2
x??2y0?1???2?0??1?? 2?y0?1??x0?2?
22x0?4y0?4x0y0?4x0?8y0?4 ?2x0y0?x0?2y0?2?2x0y0?2x0?4y0?4 x0y0?x0?2y0?2
?2．
从而四边形????的面积为定值．
3、
解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，
由题意知2a?4,2c?
所以a?2,b??
x2y2
??1. 所以椭圆C的方程为42
(Ⅱ)(i)设P?x0,y0??x0?0,y0?0?，
由M(0,m)，可得P?x0,2m?,Q?x0,?2m?.
所以直线PM的斜率k?2m?mm?， x0x0
?2m?m3m. ??x0x0直线QM的斜率k'?
k'??3， k
k'所以为定值-3. k此时
(ii)设A?x1,y1?,B?x2,y2?，
直线PA的方程为y=kx+m，
直线QB的方程为y=-3kx+m. ?y?kx?m?联立?x2y2， ?1???42
222整理得2k?1x?4mkx?2m?4?0. ??
2?m2?2?2m2?4由x0x1?可得x1?， 222k?12k?1x0
所以y1?kx1?m?2k2?1x0
,y2?2k?m2?2??m， 同理x2?18k?1x
2?m?2?2?m?2??32k?m?2???所以x?x?， 18k?1x2k?1x18k?12k?1x
?6k?m?2?2?m?2??8k?6k?1??m?2?y?y??m??m?， 18k?1x2k?1x18k?12k?1x22022222122220002222212222
00018k2?m2?2??1x0?6k?m2?2??m.
所以kABy2?y16k2?11?1?????6k??. x2?x14k4?k?
由m?0,x0?0，可知k>0，
所以6k?1?
k?时取得.
k6
?m?. 7所以直线AB
4、
解析：（1）设??x?,y??．
2224由题意，F2?c
,0?，c，y??bc?1?b， ??
因为?F1??
是等边三角形，所以2c?，
242即41?b?3b，解得b?2．
??
故双曲线的渐近线方程为y?．
（2）由已知，F2?2,0?．
设??x1,y1?，??x2,y2?，直线l:y?k?x?2?． ?2y2
?1?x?2222由?，得?k?3?x?4kx?4k?3?0． 3
?y?k?x?2??
22因为l与双曲线交于两点，所以k?3?0，且??361?k?0． ??
36?k2?1?4k24k2?32由x1?x2?2，x1x2?2，得?x1?x2??， 22k?3k?3?k?3?
故
???
?1?x2?6?k2?1?
k2?3?4，
2解得k?
3，故l的斜率为． 5
5、
解：
（I）由已知，a=2b. 1
xy13又椭圆2?2?1(a?b?
0)过点P)，故2??1，解得b2?1. 22ab4bb22
x2
?y2?1. 所以椭圆E的方程是4
（II）设直线l的方程为y?1x?m(m?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)， 2
?x2
?y2?1,??422由方程组?得x?2mx?2m?2?0，①
?y?1x?m,??2
2方程①的判别式为??4(2?m)，由???，即2?m?
0，解得?m?2
由①得x1?x2??2m,x1x2?2m2?2.
所以M点坐标为(?m,m1)，直线OM方程为y??x， 22
?x2
?y2?1,??4由方程组?得C(D?.
22?y??1x,??
2
所以MC?MD?
又MA?MB?5(?m?m)?(2?m2). 2241152AB?[(x1?x2)2?(y1?y2)2]?[(x1?x2)2?4x1x2] 4416
55?[4m2?4(2m2?2)]?(2?m2). 164
所以MA?MB=MC?MD.
x2y2
6、（2016年天津高考）设椭圆2??1（a?3）的右焦点为F，右顶点为A，已a3
知113e，其中O为原点，e为椭圆的离心率. ??|OF||OA||FA|
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF?HF，且?MOA??MAO，求直线的l斜率.
解析：（1）解：设F(c,0)，由113c113c222，即??，可得a?c?3c，??|OF||OA||FA|caa(a?c)
2x2y2
??1. 又a?c?b?3，所以c?1，因此a?4，所以椭圆的方程为432222
（2）设直线的斜率为k(k?0)，则直线l的方程为y?k(x?2)，
?x2y2
?1,??设B(xB,yB)，由方程组?4消去y， 3?y?k(x?2),?
8k2?6整理得(4k?3)x?16kx?16k?12?0，解得x?2或x?， 4k2?32222
?12k8k2?6y?由题意得xB?，从而， B224k?34k?3
????9?4k212k????,)， 由（1）知F(1,0)，设H(0,yH)，有FH?(?1,yH)，BF?(24k?34k2?3
????????4k2?912kyH?2?0， 由BF?HF，得BF?HF?0，所以24k?34k?3
9?4k219?4k2
解得yH?，因此直线MH的方程为y??x?， 12kk12k
?19?4k2
,20k2?9?y??x?设M(xM,yM)，由方程组?， k12k消去y，得xM?212(k?1)?y?k(x?2),?
在?MAO中，?MOA??MAO?|MA|?|MO|，
20k2?9即(xM?2)?y?x?y，化简得xM?1，即?1，
212(k?1)22
M2M2M
解得k?
或k?， 或k?. 所以直线l
的斜率为k?
7、（2016年全国I卷高考）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2?2px(p?0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H. （I）求OH
ON；
（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
t2
【解析】（Ⅰ）由已知可得M(0,t)，P(,t) 2p
t2
又∵N与M关于点P对称，故N(,t) p
∴直线ON的方程为y?
22px，代入y2?2px，得： t2t2
px?2tx?0解得：x1?0，x2?p
2t2
∴H(,2t)． p
∴N是OH的中点，即OH
ON?2．
（Ⅱ）直线MH与曲线C除H外没有其它公共点．理由如下：
直线MH的方程为y?t?2tpx，即x?(y?t)，代入y2?2px，得 2tp
y2?4ty?4t2?0，解得y1?y2?2t，
即直线MH与C只有一个公共点，所以除H外没有其它公共点．
x2y2
?1的左顶点，8、（2016年全国II卷高考）已知A是椭圆E?斜率为k?k＞0?43
的直线交E与A，M两点，点N在E上，
MA?NA. （Ⅰ）当AM?AN时，求?AMN的面积； （Ⅱ）当AM?
AN?k?2.
解析：（Ⅰ）设M(x1,y1)，则由题意知y1?0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为
又A(?2,0)，因此直线AM的方程为y?x?2. ?， 4
x2y2
将x?y?2代入??1得7y2?12y?0， 43
1212，所以y1?. 77
11212144?因此?AMN的面积S?AMN?2???. 27749解得y?0或y?x2y2
??1得 （2）将直线AM的方程y?k(x?2)(k?0)代入43
(3?4k2)x2?16k2x?16k2?12?0. 16k2?122(3?4k2)由x1?(?2)?得x1?，故|AM|?x1?2|?3?4k23?
4k21由题设，直线AN的方程为y??(x?
2)，故同理可得|AN|?. k由2|AM|?|AN|得
322k32?4k?6k?3k?8?0. ，即223?4k4?3k22设f(t)?4t?6t?3t?8，则k是f(t)的零点，f'(t)?12t?12t?3?3(2t?1)?0，
所以f(t)在(0,??
)单调递增，又f?26?0,f(2)?6?0，
因此f(t)在(0,??)有唯一的零点，且零点k
在
?k?2.
9、（2016年全国III卷高考）已知抛物线C：y?2x的焦点为F，平行于x轴的两2
条直线l1,l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR?FQ；
（II）若?PQF的面积是?ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
（Ⅱ）设l与x轴的交点为D(x1,0)，
则S?ABFa?b111?b?aFD?b?ax1?,S?PQF?.
2222
11a?bb?ax??由题设可得，所以x1?0（舍去），x1?1. 1222
设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时，由kAB?kDE可得2y?(x?1). a?bx?1
而a?b?y，所以y2?x?1(x?1). 2
2当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y?x?1. ....12分
10、（2016年浙江高考）如图，设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
（I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围. 2
解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得p?1，即p=2. 2
2(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为y?4x,F?1,0?，可设At2,2t,t?0,t??1. ??
?y2?4x因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,?s?0?,由?消去x得 x?sy?1?
?12?y2?4sy?4?0，故y1y2??4，所以B?2,??. t??t
t2?12t又直线AB的斜率为2?1，故直线FN的斜率为?， 2tt
t2?12从而的直线FN:y???x?1?，直线BN:y??， 2tt
?t2?32?,??， 所以N?2t?1t??
2
2t， 设M(m,0),由A,M,N三点共线得：2?2t?m2t?3t?2t?12t?
2t2
于是m?2，经检验，m<0或m>2满足题意. t?1
综上，点M的横坐标的取值范围是???,0???2,???.
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