三角形导学案
1、 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45．
2、 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可以为钝角(或直角)． ?
b?a． 2
?4、 等腰三角形的三角关系：设顶角为?A，底角为?B,?C，则有：?A?180?2?B，
180??A?B??C?． 23、 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
2.等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成：等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
注意：
推论1，推论2常用于证明一个三角形是等边三角形；推论3常证明线段的倍分．
??
1
一、课前小测试：
1.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE
的长度为（
） A.6 B.3 C. D.
2.如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和
点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（ ）.
A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm
3.梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边
的直线被两腰所截得的线段长为（ ）
m?n2mnmnm?nA． B. C. D. mnm?nm?n2mn
4.已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中
点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长
为______________．
5.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一动点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为______________．
三角形的基本概念
2
三角形的主要线段：
三角形的角平分线．这里我们要注意两点：一是三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点（叫做三角形的内心）；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．
三角形的中线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点（叫做三角形的外心）；二是三角形的中线是一条线段．
三角形的高线(简称三角形的高)．这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线．
三角形的稳定性：
三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
①三角形有三条线段；
②三条线段不在同一条直线上；
③首尾顺次连接．
“三角形” 用符号“?” 表示，顶点是A,B,C的三角形记作“?ABC” ，读作“三角形ABC” ．
三角形的分类及角边关系
1. 三角形的分类
三角形按边的关系可以如下分类：
?不等边三角形?三角形?角形 ?底和腰不相等的等腰三
?等腰三角形?等边三角形??
三角形按角的关系可以如下分类：
形)?直角三角形(有一个角为直角的三角?三角形?形) ?锐角三角形(三个角都是锐角的三角斜三角形??形)?钝角三角形(有一个角为钝角的三角?
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形．它是两条直角边相等的直角三角形．
注意：一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角．
2. 三角形的三边关系定理及推论
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形两边之差小于第三边．
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形．
②当已知两边时，可确定第三边的范围．
③证明线段不等关系．
④用于化简求值。
⑤用来判别一元二次方程中的?
3. 三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180．
推论：
①直角三角形的两个锐角互余．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．
4. 三角形的面积
3 ?
三角形的面积＝1×底×高． 2
全等三角形
1. 全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．
2. 全等三角形的表示和性质
“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”
注意:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
全等三角形的对应边相等，对应角相等．这是全等三角形的性质．
3. 三角形全等的判定
三角形全等的判定公理：
三角形全等的判定公理有下面几个：
(1)边角边公理：可以简写成“边角边”或“SAS”．
(2)角边角公理：可以简写成“角边角”或“ASA”．这个公理还有下面的推论：可以简写成“角角边”或“AAS”．
(3)边边边公理：可以简写成“边边边”或“SSS”．
直角三角形全等的判定：
对于直角三角形，判断它全等时，用HL公理即斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写为“斜边、直角边”或“HL”)．
注意：
①HL公理是直角三角形独有的，它对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定公理同样适用于直角三角形．
②有两边和其中一边的对角(直角或钝角)对应相等，则这两个三角形全等．
等腰三角形
1. 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于AD60?．
等腰三角形的其它性质：
5、 等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互
相重合．即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．
例题１：如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：CF=CH；②判断△CFH?的形状并说明理由．（10分）
4
例题２：如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB?的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，则：
①图中有几个等腰三角形？为什么？②BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．
E
BC
D
练习：
1.如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC?交AB于E。 求证：AE=BE．
2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是.
ADEF 5
３.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在
AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ A
E N P
C B Q D M
作业：
6
7
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