题型一：三角形解的个数问题
题目：在△ABC中，AC=2，∠B=45°，若△ABC有2解，则边长BC长的范围是______. 分析：将BC看成已知边，则该问题是已知两边及一角，可以应用正弦定理，也可用余弦定理。
????????????解法一：由正弦定理得????????=????????则????=????????????????=2 ????????.
若△ABC有2解，则sinA取同一值时，角A有两个与之对应。这里我们作出y=sinA,A∈(0,
3π4内
的图象，可以发现，当2<????????<1时，A的取值有两个。故BC的取值范围是(2,2 。
点评：解决三角形解得个数问题时，我们可以运用正弦定理，转化为三角函数图象问题处理。详细内容可以参照《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明。
解法二：由余弦定理AC2=????2+????2?2????.????.????????得c2?2 ????+a2?4=0,它是关
?= 2 ?4 ??2?4 >0
,于b的一元二次方程，由题意该方程有两个不等正根。则有 ??+??=2 >0
??1.??2=??2?4>0
解得2<??<2 ，故BC的取值范围是(2,2
点评：一般地，△ABC中的边长a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2?2??????????.??+??2???2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
解法三：如图，作出角B，以C点为圆心作半径为2的圆，由
于BC长度不定，可以将点C看成在BC’上运动的点,点C(从
B点开始,不含B点）从左向右运动，至圆C与B点重合时(此
时BC=2)，圆C与射线BA’有且只有一个交点，此时三角形
只有一解；点C继续向右运动，至圆C与射线BA’相切时（注
意相切时， BC=2 ,圆C与射线BA’有
且只有两个交点，此时三角形有2解；点C继续向右运动，
至圆C与射线BA’无交点，此时三角形无解。由上可得BC的
取值范围是(2,2
点评：数形结合解三角形是一种很好的方法。已知△ABC中，A为已知角（≠90°），先画出A，确定顶点A，再在A的一边上确定顶点C，使AC边长为已知长度，最后以顶点C为圆心，以CB边长为半径画圆，看该圆与A的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．
巩固训练
1.在?ABC中，?A?60?
，a?b?3，则?ABC解的情况（）
（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定
2.在△ABC中，AB=1，BC=2，则角C的取值范围是() πππππ（A）(0,6（B）(0,3（C）(6,2（D）[6,??)
3.在?ABC中，a=x,b=2,B=45°，若?ABC只有一解，则x的取值集合为______;若?ABC只有两解，则x的取值集合为______
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