绵阳南山中学2016年秋季高2017届12月月考
数学（理科）试题2016年12月
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。
一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1.设集合A?xx?2?2,x?R??，B??y|y??x,?1?x?2?，则C(A?B)等（） 2
R
A.RB.?xx?R,x?0? C.?0? D.?
1
218182.抛物线y?2x2的焦点坐标是 （） A.(0,)B.(,0)C.(0,) D.(,0) 1
2
11?x?2x2”的 （） 3.“”是“
A.充分不必要条件
C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
4.
函数y?sin2xx的图象的一条对称轴方程为 （）
πππx?x??x??6D.12C.6 A. B.
aa?2，则a1?（） 5.已知各项均为正数的等比数列?n?满足a3?a5?64，2x?π12
A.4B. 2 C.1D.1 2
6.在?ABC中，若a?2bcosC，则?ABC一定是（）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形
7.定义在R上的函数
（）
A.(?2,1) B.[?2,1)C.[?1,2)D.(?1,2) f(x)?e?cosx?xx，则满足f(2x?1)?f(3)的x的取值范围是
8.某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有 （ ）
A.20 种B.22 种 C.24 种 D.36 种
??log5(1-x)，x<1f(x)??2?(x?2)+2，x?1则关于x的方程f(x)?a(a?R)实根个数不可能为 ??9.已知函数
（ ）
A.2 个 B..3个 C.4个D.5个
?????1???????a?b?1,a?b??,?a?c,b?c??60?c210.设向量a,b,c满足，则的最大值
等于（ ）
A.2 B.3 2 D.1
??)上的函数，其导函数为11.已知f(x)是定义在区间(0，f?(x)，且不等式
xf?(x)?2f(x)恒成立，则 （ ）
A.4f(1)?f(2) B.4f(1)?f(2) C.f(1)?4f(2) D.f(1)?4f?(2)
12.已知A(?1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y?kx?m(k?0)将?ABC分割为面积相等的两部分，
则m的取值范围是（ ）
111[,)(1?](0,1)23 A. B.32 C
.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） D
.(1?1,)22
注意： 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卷上。
?1x1?()，x≤0，13.已知f(x)??2则f(8)?f(log2)? 4??log2x，x?0，???????14.已知a,b为正实数，向量m?(a，a?4)，向量n?(b，1?b)，若m//n，则a?b最小
值为
02132n?1n123n3C?3C?3C?......?3C?3072C?C?C?......?Cnnnnnn? 15.已知：n，则n
x2y2222F(?c,0)16.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为x?y?a??1(a?0,b?0)22ab
????1????????2E，延长FE交抛物线y?4cx于点P，O为坐标原点，若OE?(OF?OP)，则双曲2
线的离心率为
三、解答题：本大题共7小题，其中17～21题每题12分，22、23题选作题10分，共70分，解
答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题12分）已知向量?(sin2x,cos2x),?(cos?4 ,sin?
4，函数
)
??f(x)??n+2。
(1)求函数f(x)的最小正周期；
?
(2)将函数y?f(x)的图象向右平移24个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在
18.（本小题12分）已知直线l:y?x?m,m?R。
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
2C:x?4y是否相切？并说(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线[??，?]上零点。
明理由。
19.（本小题12分）已知公差不为0的等差数列{an}中，a1?2，且
a2?1,a4?1,a8?1 成等比数列。
(1)求数列?an?通项公式；
?bn}满足(2)设数列bn?345bb?bb?...?bb?23nn?1求适合方程12的正整数nan，32
的值。
20.（本小题12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x
轴上，离心率为2且经过点M(2,1)，
平行于OM的直线
ll在y轴上的截距为m(m?0)，直线交椭圆于A、B两个不同点。
(1)求椭圆的方程； (2)求?OAB面积的最大值；
(3)若直线MA、MB与x轴交于C、D两点，求证：MC?MD。
21.（本小题12分）已知函数f(x)?lnx?mx(m?R)
(1)若曲线y?f(x)过点P(1,?1)，求曲线y?f(x)在点P处的切线方程；
(2)用g(m)表示函数f(x)在区间[1,e]上的最大值，求g(m)的表达式；
2x,xx?x?ef(x)1212(3)若函数有两个不同的零点，求证：。
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目涂黑。
22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l
的的极坐标方程为：??sin(??)?42，曲线C的参数方程为：
?x?2(sint?cost)(t为参数)??y?4(1?sin2t)。
(1)写出直线l和曲线C的普通方程；
(2)若直线l和曲线C相交于
23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?|x?1|?|m?x|（其中m?R）。
(1)当m?3时，求不等式
(2)若不等式
A,B两点，求线段|AB|的长。 f(x)?6的解集； f(x)?8对任意实数x恒成立，求m的取值范围。
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数学试题（理科） 参考答案
一、选择题答案： BCABC ADCDA BD
91?二、填空题答案：13.714.2
15.31 16.2
三、解答题答案：
17. (1)
∵f(x)??2(sin2xcos????cos2xsin)?2sin(2x?)444?4分 ?f(x)的最小正周期T?2???2 ????????????6分
??f(x)?x?)4，将函数f(x)的图象向右平移24个单位，
(2) 由(Ⅰ)
知
???h(x)?x?)?]x?)2446，将所得图象上各点得到图象的解析式
?g(x)?x?)6???????10分 的横坐标伸长为原来的2
倍，得到
??x??k?，k?Zx?k??66， 由，得
?????]时，函数g(x)的零点为6和6 ?????????12分 故当x?[??，
0－m18. (1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以1＝－1，解得m＝2， 2－0
即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝?2－0?＋?0－2?＝22，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. ???????????????6分
(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.
??y＝－x－m，由?2得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m) ????10分 ?x＝4y?
①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；
②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；
当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切?????????12分
2{a}a?1,a?1,a1?(3?3)d(3??)(3d7),?ddn24819.(1)设等差数列的公差为，由，得 解
得da?a1?(n?1)d?2?3(n?1)?3n?1. ??6分 ?3或d?0（舍），故n
9113bb??3(?).bn?nn?1(3n?1)(3n?2)3n?13n?2?8分 3n?1，(2)由（1）知
111111119nb1b2?b2b3?...?bnbn?1?3(?+?+??)?3(?)?,25583n?13n?223n?26n?4
9n45?,依题有6n?432解得n?10. ???????????????12分
?a?2b?a2?8??解得?2?41x2y2
??2?1(a?b?0)?2?2?1?b?22ab?b20.(1)设椭圆方程为a则???2分
x2y2
??12 ∴椭圆方程8 ?????????????????3分
(2)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又
KOM?1
2∴l的方程为：y?1x?m2，由
1?y?x?m??2?22?x?y?1?2?8
∵直线?x2?2mx?2m2?4?0 ???4分 lA(x1,y1)、与椭圆交于A、B两个不同点，设
?x1?x2??2m?则?x1?x2?2m2?4
22??(2m)?4(2m?4)?0???(2m)2?4(2m2?4)?0,∴mB(x2,y2) ??
的取值范围是{m|?2?m?2且m?0}??????????????5
分
?S?OAB?11mx1?x2??22故?OAB面积的最大值为2 ???????????????7分
(3) 设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0
则k1?
设y1?1y?1,k2?2
x1?2x2?2 ???????????????8分 k1?k2?
而y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2),??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)
11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)?(x1?2)(x2?2)
x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)??(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)
2m2?4?2m2?4m?4m?4??0(x1?2)(x2?2) ∴k1＋k2=0
故?MCD??MDC,?MC?MD ?????????12分
21.(1)因为点p(1,?1)在曲线y?f(x)上，所以?m??1，解得m?1 因为f'(x)?1?1?0x，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y??1?3分
11?mx?m?xx （2）因为f'(x)?
'x?(1,e),f(x)?0，所以函数f(x)在(1,e)上单调递增， m?0①当时，
则f(x)max?f(e)?1?me。 11?e0?m?'x?(1,e),f(x)?0， me②当，即时，
f(x)max?f(e)?1?me 所以函数f(x)在(1,e)上单调递增，则
1?111?e?m?1(1,)m，即e时，函数f(x)在m上单调递增，在 ③当
(11,e)f(x)max?f()??lnm?1m上单调递减，则m。 1?1'④当m，即m?1时，x?(1,e),f(x)?0，函数f(x)在(1,e)上单调递减，则f(x)max?f(1)??m。 1?1?me m??e?1?g(m)??-lnm-1 ?m?1e???m m?1??综上，????????????????8分
(3)不妨设x1?x2?0因为f(x1)?f(x2)?0所以lnx﹣mx=0，lnx﹣mx=0， 1122
可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2），要证明x1x2＞e，即证明lnx1+lnx22＞2，也就是m(x1?x2)?2。因为m=，所以即证明＞
，即ln＞．令=t，则t＞1，
于是lnt＞。令f(t)=lnt﹣（t＞1），
则f(t)=﹣=＞0，故函数f(t)在（1，+∞）上是增函数，所以f(t)＞f(1)?0，即lnt＞
成立．所以原不等式成立．?12分
2C:x?y,x?[? ????????????5分
l:x?y?
1?022. (1)
(2)AB??????????????????????????10分
23. (1)当m?3时，f(x)≥6即|x?1|?|x?3|≥6．
①当x??1时，得?x?1?x?3≥6，解得x≤?2；
②当?1≤x≤3时，得x?1?x?3≥6，不成立，此时x??；
③当x?3时，得x?1?x?3≥6成立，此时x≥4.
综上，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤?2或x≥4}???????????6分
(2)因为|x?1|+|m?x|≥|x?1?m?x|＝|m?1|， 由题意
m?1≥8，即m?1≤?8或m?1≥8,解得m≤?9或m≥7， ?9]?[7，??)????????????????10分 即m的取值范围是(??，
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