第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本题共12小题，每小题60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的。
x2y2
1.椭圆??1的左右焦点分别为F1,F2，一条直线经过F1与椭圆交于A,B两点，则 163
?ABF2的周长为（ ）
A. 32 B.16C.8 D.4
2.已知命题p:x?1?2,命题q:5x?6?x2，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
x2y2x2y2
3.双曲线??1与椭圆2??1(a?0)有相同的焦点，则a的值为（） 52a9
A. 2 B.C.4 D.34
4.函数y?lnx?x在区间?0,e?上的最大值为（ ）
A. 1?e B.?1C.?eD.0
15.曲线y??在?1,?1?处的切线的斜率为（） x
11A. ?1 B.1C.D.? 22
x2
26.焦点在x轴上的椭圆C:2?y?1,过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆与A,B两点，且a
AB?1，则该椭圆的离心率为（）
A. 31B. C. D. 2 432
7.下列命题中假命题是（ ）
A. ?x?R,lgx?0B.?x?R,sinx?cosx?3
C.?x?R,x?1?2x D.?x?R,2?0
8.定积分 2x?1
?1?x2dx?（ ）
A. 1 ??B.? C. D. 24
9．函数f?x??sinx的图象大致为 （ ）
x2?1
17A. B. 5C.1 D.17或 2
10.双曲线的渐近线方程为y??4x，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 5 B.5 C或
2 D或42 11.已知P为抛物线y?4x上的动点，直线l1：x??1，直线l2:x?y?3?0，则P点到直
线l1,l2距离之和的最小值为（ ）
A. 22 B.4 C.2D.32 2
x2
12.已知函数f(x)?ln(x?2)?，（a为常数且a?0），若f(x)在x0处取得极值，且2a
x0?[e?2,e2?2]，而f(x)?0在 [e?2,e2?2]上恒成立，则a的取值范围（ ）
A．a?e4?2e2 B．a?e2?2e C．a?e2?2e D．a?e4?2e2 第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每小题5分共20分）
13.函数f?x???23x?x2?4x?5的极大值为 . 3
214.直线l:y?kx?1，抛物线C:y?4x，直线
公共点，则k? 。
15.定积分l与抛物线C只有一个?2e012xdx?
16.抛物线y=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A、B两点，直线AF，BF分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则
三、解答题（解答时要写出必要的文字说明推理过程和演算步骤）
17.（10分）已知函数F?x??xlnx.
（1）求这个函数的导数；（4分）
（2）求这个函数的图像在点x?e处的切线方程.（6分）
18.（12分）已知抛物线C:y?8x的焦点为F，过F作倾斜角为60?的直线l.
（1）求直线l的方程；（4分）
（2）求直线l被抛物线C所截得的弦长.（8分）
19.（12分）已知函数f?x??x?3x?9x?m. 3222= ．
（1）求函数f?x??x?3x?9x?m的单调递增区间；（5分） 32
（2）若函数f?x?在区间?0,2?上的最大值12，求函数f?x?在该区间上的最小值.（7分）
20.（12分）已知双曲线C:4x?y?4及直线l:y?kx?1
（1）求双曲线C的渐近线方程及离心率；（4分）
（2）直线l与双曲线C左右两支各有一个公共点，求实数k的取值范围.（8分）
21．（12分）已知椭圆的离心率为226，坐标原点O到过点A(0,?b)和3
B(a,0)的直线的距离为.又直线y?kx?m(k?0,m?0)与该椭圆交于不同的两点2
C,D．且C,D两点都在以A为圆心的同一个圆上.
（1）求椭圆的方程；（4分）
（2）求?ACD面积的取值范围.（8分）
22.（12分）已知函数f(x)?a?x?xlna(a?0,a?1).
(1)当a?1时，求证：函数f(x)在(0,??)上单调递增；（4分）
(2)若函数y?|f(x)?t|?1有三个零点，求t的值；（4分）
(3)若存在x1,x2?[?1,1]，使得|f(x1)?f(x2)|?e?1，试求a的取值范围.（4分） x2
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长春市十一高中2016-2017学年度高二上学期期中考试
数学（理）答案及评分标准
一、选择题
二、填空题 13.
351 14.k?0或1 15.e2-1 16. 32
/
三、解答题
17.解：（1）F?x??1?lnx （x>0）??4分 （2）由（1）知，切线的斜率k?F?e??2，??6分
/
代入点斜式方程得y?e?2?x?e?，即2x?y?e?0，
所以该函数的图像在x?e处的切线方程为：2x?y?e?0??10分 18.解：（1）F?2,0?，直线的斜率k?tan60??，???2分 代入点斜式方程得:y?3?x?2?,即
x?y?2?0??4分
（2）设直线与抛物线的交点为A?x1,y1?，B?x2,y2?
?2?y??x?2?由
? 消去y得3?x?2??8x，即3x2?20x?12?0??8分
2??y?8x
2032
所以 x1?x2? 由抛物线过焦点的弦长公式得AB?x1?x2?4?
33
32
即直线被抛物线所截得的弦长为 ???12分
3
?
19.解：（1）f
/
?x??3x2?6x?9?3?x?3??x?1???2分
令f/?x??0，得x?1或x??3； 令f/?x??0，得?3?x?1??5分 所以函数f?x?的增区间为：???,?3?,?1,???。 ??6分
（2）由（1）知，f
令f//?x??3x2?6x?9?3?x?3??x?1? ?x??0，得x?1,或x??3?舍???7分
/当x在闭区间?0,2?变化时，f
?x?,f?x?变化情况如下表
??????所以当x?2时，f?x?取最大值f?x?max?f?2??m?2，由已知m?2?12， m?10 所以当x?1时，f?x?取最小值f?x?min?f?1??m?5?5??12分
x2y2
20.解：（1）将双曲线的方程化为标准方程得??1，所以a?1,b?2,c?5 14
双曲线的渐近线方程为y??2x，离心率为5??4分
?y?kx?12222（2）由?2 消去得 ，即??4?kx?2kx?5?0??6??4x?kx?1?4y2?4x?y?4
分
??4?k2?0?2直线l与双曲线C有两个不同的公共点?????2k??44?k2??5??0??8分
??5??0?4?k2??
解得k?5,且k?4，所以?2?k?2，即实数k的取值范围是??2,?2?.??12分 22
21.解：（1）c113，又ab?，以及a2?b2?c2 ?a2?b2
a3222
x2
解得a?3,b?1,c?2 ∴?y2?1 -----------------4分 3222
x2
（2）?y2?1与y?kx?m(k?0,m?0)联立，消去y得 3
(1?3k2)x2?6kmx?3m2?3?0
??36k2m2?4(1?3k2)(3m2?3)?0，
∴3k2?m2?1-------① ------------------------5分 设C(x1,y1)，D(x2,y2)，C,D中点P
?6km3m2?3-----② x1?x2?,x1x2?1?3k21?3k2
依题意，可知AP?CD，可得P(
∴kAPkCD??1，代入坐标，整理得3k2?2m?1 -------③--------7分 由①③以及2m?1?0，可解得?3kmm,) ------------------6分 221?3k1?3k1?m?2 2
3?k22m?m2
由②③得 CD??kx1?x2? -------------8分 m2
点A到CD的距离d??m
?k2 ∴S?ACD?1321dCD?3??m2，且?m?2， -----------------9分 22m2
212?x2(?x?2)，求导得f/(x)??2?2x?0， x2x令f(x)?3?
∴f(x)在(,2）上单调递减， -----------------11分 ∴S?ACD?. ------------------12分 （0）
xx22.解：解：(1)f?(x)?alna?2x?lna?2x?(a?1)lna 12,94
由于a?1，故当x?(0,??)时，lna?0,a?1?0，所以f?(x)?0，
故函数f(x)在(0,??)上单调递增 --------- ---------4分
(2)当a?0,a?1时，因为f?(0)?0，且f?(x)在R上单调递增， x
故f?(x)?0有唯一解x?0 --- ------------------5分 所以x,f?(x),f(x)的变化情况如下表所示：
而t?1?t?1，所以t?1?(f(x))min?f(0)?1，解得t?2 ---------8分
(3)因为存在x1,x2?[?1,1]，使得|f(x1)?f(x2)|?e?1，
当x?[?1,1]时，|(f(x))max?(f(x))min|?(f(x))max?(f(x))min?e?1 由(2)知，f(x)在[?1,0]上递减，在[0,1]上递增，
所以当x?[?1,1]时，(f(x))min?f(0)?1,(f(x))max?max?f(?1),f(1)?， 而f(1)?f(?1)?(a?1?lna)?(?1?lna)?a?
记g(t)?t??2lnt(t?0)，因为g?(t)?1?1a1?2lna， a1
t121??(?1)2?0(当t?1时取等号)， 2ttt
所以g(t)?t??2lnt在t?(0,??)上单调递增，而g(1)?0， ------------9分 所以当t?1时，g(t)?0；当0?t?1时，g(t)?0，
也就是当a?1时，f(1)?f(?1)；当0?a?1时，f(1)?f(?1)------------11分 ①当a?1时，由f(1)?f(0)?e?1?a?lna?e?1?a?e，
②当0?a?1时，由f(?1)?f(0)?e?1?1t11?lna?e?1?0?a?， ae
综上所知，所求a的取值范围为a??0,???e,??? --------12分 e??1??
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