行胜于言
专题能力训练20 概率、统计与统计案例
能力突破训练
1.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()
1214A. B.C. D.2.已知x与y之间的一组数据:
9939
^已求得关于y与x的线性回归方程为??=2.1x+0.85,则m的值为()
A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5
3.(2015重庆高考)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下: 则这组数据的中位数是()
A.19 B.20 C.21.5 D.23
4.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=7.069,则认为“学生性别与支持该活动有关系”犯错误的概率为()
附:
A.0.999 B.0.99 C.0.01 D.0.001
5.(2015福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
^^^^^^根据上表可得回归直线方程??=bx+??,其中??=0.76,??=???据此估计,该社区一户年收入
为15万元家庭的年支出为()
A.11.4万元
B.11.8万元
C.12.0万元
D.12.2万元
6.
1
行胜于言
(2015福建高考)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .
7.(2015山东临沂调研)有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 .
8.若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为10,方差为8.5,则数据3x1+5,3x2+5,3x3+5,…,3xn+5的平均数为 ,方差为 .
9.某地区2008年至2014
)的数据如下表:
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入.
n
^∑(????-????-^^
i=1
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为??=,??=??? 2
10.(2015广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表:
??=1
∑(????-(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的均值s2;
(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
2
行胜于言
11.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:t)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据.
64
(1)请画出上表数据的散点图;
^^^(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程??=bx+??;
(3)已知该厂技术改造前生产100 t甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
3
行胜于言
思维提升训练
12.(2015陕西高考)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( )
A.+413113.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表
^^^^所示:由表可得回归直线方程??=??x+??中的??=-4,据此模型预测零售价为15元时,每天的销售量
为( )
C.2?π2π1B.+ D.4?2π 21π111A.51个 B.50个 C.49个 D.48个
14.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球,现在不放回地取2次球,每次取出一个球,记“第1次取出的是白球”为事件A,“第2次取出的是白球”为事件B,则事件A与B同时发生的概率是( )
5545A.8 B.16C.7 D.1415.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .
16.记集合A={(x,y)|x+y≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为
Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为 .
17.(2015吉林第三次调研)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图: 22
(1)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5
.0
以下的人数;
(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1 000名的学生进行了调查,得到如下数据:
年级951~1 1~50 000 4
行胜于言
41 32 9 18
根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? (3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:
K2=(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)其中n=a+b+c+d.
18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.
人)
??(????-????)
2
(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5至7 min,乙每次解答一道几何题所用的时间在6至8 min,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
附表及公式
K2=(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)其中n=a+b+c+d.
5
??(????-????)
2
行胜于言
19.某地区2008年至
)的数据如下表:
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入.
n
^∑(????-????-^^
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:??=,??=???. 2
参考答案
能力突破训练
5
1
??=1
∑(????-1.A 解析:个位数与十位数之和为奇数的两位数中,其个位数与十位数有一个为奇数,一个为
11111
偶数,共有C5C5+C4C5=45个,其个位数为0包括的结果有C5=5个,所求概率为45=9.
2.D 解析:由题意,得1.5,=(m+3+5.5+7)=
4
1??+15.54
,将()代入线性回归方程
^
??=2.1x+0.85,得m=0.5.
20+20
3.B 解析:由茎叶图可知,这组数据的中位数为2=20.
4.C 解析:因为K2=7.069>6.635,所以P(K2>6.635)=0.010,所以说在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“学生性别与支持该活动有关系”.
8.2+8.6+10+11.3+11.96.2+7.5+8+8.5+9.8
5.B 解析:∵=10,==8, 55
^
∴??=0.76=8-0.76×10=0.4.
6
行胜于言
^
∴y=0.76x+0.4.
^
??阴影
当x=15时,??=0.76×15+0.4=11.8.
2552
6.12解析:∵S阴影=∫ (4-x)dx=,S矩形ABCD=4, 13
∴P=??
2
=
5
矩形????????
12
.
1
4π
2π
7.3解析:设“点P到点O的距离大于1”为事件A,则表示事件“点P到点O的距离小于或等于1”.在圆柱内以O为球心,以1为半径作半球,则半球的体积V半球=2×
又V圆柱=π×1×2=2π,由几何概型,P(=??
2
??半球
圆柱
3
×1=3, 3
=3故所求事件A的概率P(A)=1-P(=1-3=3.
112
8.35 76.5 解析:由已知,3x1+5,3x2+5,…,3xn+5的平均数为3×10+5=35,方差为32×8.5=76.5.
1
9.解:(1)由所给数据计算得=7+2+3+4+5+6+7)=4,
=7(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,∑(ti-2=9+4+1+0+1+4+9=28,
i=1
1
7
∑(ti-yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
7
7
??=1
^∑(????-)(????-)14^^^??==280.5,??=???4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为??=0.5t+2.3.
2
^
(2)由(1)知,??=0.5>0,则2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加约0.5千元.
^
将2016年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得??=0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
10.解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由(1)可得其样本的均值
44+40+36+43+36+37+44+43+37==40, 9
方差s2=[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)]=9[4+0+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=
(3)由(2)知s=3210
2
??=1
∑(????-19
1
22
1009
所以-s=363,+s=433
1
因为年龄在与之间共有23人,
23
所以其所占的百分比是≈63.89%. 11.解:(1)由题设所给数据,可得散点图如图.
36
2
(2)由对照数据,计算得∑xi=86,=
4
3+4+5+6
4
已知∑xiyi=66.5,
i=1
4
??=1
=4.5(t),=
2.5+3+4+4.5
4
3.5(t).
7
行胜于言
所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为
4
^∑????????-·66.5-4×4.5×3.5??=??=1=86-4×4.50.7, ^^
??=???3.5-0.7×4.5=0.35.
^
因此,所求的线性回归方程为??=0.7x+0.35.
(3)由(2)的回归方程及技术改造前生产100 t甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤).
思维提升训练
12.D
??=1
∑??2??-解析:由|z|≤1,得(x-1)+y≤1.
不等式表示以C(1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y≥x表示直线y=x左上方部分(如图所示).
111π1
则阴影部分面积S=4π×12-S△OAC=4π-2×1×1=4?2
故所求事件的概率P=??=π×12=4?2π.
圆
22
??阴
π1-11
^^
13.C 解析:由题意知=17.5,39,代入回归直线方程得??=109,即得回归直线方程y=-^
4x+109,将x=15代入回归方程,得??=-4×15+109=49,故选C.
14.D 解析:从装有大小相同的5个白球和3个红球共8个球的袋中先后不放回地各取出一个球的方法共有A28=56种,事件A与B同时发生,即两次中第1次取出的是白球,第2次取出的还
205
是白球,这样的取法有A25=20种,由古典概型的概率计算公式得所求概率为56=14.
x1
15.e2解析:∵S阴=2∫ (e-ex)dx=2(ex-e)|0=2,S正方形=e2,∴P=e2 0
212
16.2π解析:
1
作圆O:x+y=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π.
1
区域Ω2就是图中△OAB内部(含边界),且S△OAB=×22=2.
2
2
由几何概型,点M落在区域Ω2的概率P=??
??△??????
圆??
2
=2π.
1
17.解:(1)设各组的频率为fi(i=1,2,3,4,5,6),
由前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,可得前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,则f1=0.15×0.2=0.03,f2=0.45×0.2=0.09,f3=??=0.27,
所以由
(??+??)·4
2
1
??22
1-(0.03+0.09)得f6=0.17,所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83,
故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×0.83=830.
8
行胜于言
(2)K2的观测值k=100×(41×18-32×9)250×50×73×27=300734.110>3.841. 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
(3)依题意9人中年级名次在1~50名和951~1 000名分别有3人和6人,
X可取0,1,2,3,
P(X=0)=C6;P(X=1)==21
P(X=2)=92C16C3
C9C351C26C3C9=28, 18415=314;P(X=3)==C9C33.
3
X的分布列为
X的数学期望E(X)=021+128+2143841. 51531
18.解:(1)由表中数据得K2的观测值k=50×(22×12-8×8)2
30×20×30×20=5095.556>5.024. 所以根据统计,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为视觉和空间能力与性别有关.
(2)
5≤??≤7,设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x,y min,则基本事件满足的区域为{(如图). 6≤??≤8
设事件A为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为x>y,
故由几何概型P(A)=12
2×2=8, 11
2(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有C8=28种,其中甲、乙
2112两人没有一个人被抽到有C6=15种;恰有一人被抽到有C2·C6=12种;两人都被抽到有C2=1种,
15则X可能取值为0,1,2,P(X=0)=28即乙比甲先解答完的概率为8.
P(X=1)=12
28=P(X=2)= 7283
1X的分布列为
2
故E(X)=012=.
19.解:(1)由所给数据计算得
1=+2+3+4+5+6+7)=4, 7128728215311=7(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
??=17
i=1∑(ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28, 7∑(ti-yi-)
=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
9
^??= 行胜于言 7∑(ti-)(yi-)^^^14i=1∑(????-)2=280.5,??=???=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为y=0.5t+2.3.
^(2)由(1)知,??=0.5>0,故2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每^年增加0.5千元.将2016年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得??=0.5×9+2.3=6.8,故预测该
地区2016年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
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