2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
【2016山东（理）】若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【答案】B
【解析】解：复数z满足2z+=3﹣2i，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i． x2【2016山东（理）】设集合A={y|y=2，x∈R}，B={x|x﹣1＜0}，则A∪B=（）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
【答案】C
x【解析】解：∵A={y|y=2，x∈R}=（0，+∞），
2B={x|x﹣1＜0}=（﹣1，1），
∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
【2016山东（理）】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）
A．56 B．60 C．120 D．140
【答案】D
【解析】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
【2016山东（理）】若变量x，y满足
A．4 B．9
【答案】 C C．10 D．12 ，则x+y的最大值是（） 22
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
第1页（共1页）
∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|， 联立
∵
22 ，解得B（3，﹣1）． ， ∴x+y的最大值是10．
【2016山东（理）】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
A．+π B．+π C．+π D．1+π
【答案】 C
【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．
故R=，故半球的体积为：=π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=， 故组合体的体积为：+π，
【2016山东（理）】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第2页（共2页）
【答案】A
【解析】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，
当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，
【2016山东（理）】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
A． B．π C． D．2π
【答案】B
【解析】解：数f（x）=（
（2x+）， sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）?2cos（x+）=2sin
∴T=π，
【2016山东（理）】已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t
+），则实数t的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
【答案】B
【解析】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+）， ∴?（t+）=t
?+2=t||?||
?+||=（2）||=0， 2
解得：t=﹣4，
3 【2016山东（理）】已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0
【答案】 D D．2
【解析】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
3∵当x＜0时，f（x）=x﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
【2016山东（理）】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
x3A．y=sinx B．y=lnx C．y=e D．y=x
【答案】 A
【解析】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′
=＞0恒成立，不满足条件；
第3页（共3页）
当y=e时，y′=e＞0恒成立，不满足条件；
32当y=x时，y′=3x＞0恒成立，不满足条件；
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．【2016山东（理）】执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为 ． xx
【答案】3
【解析】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2； 第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，
故输出的i值为：3，
【2016山东（理）】若（ax+
【答案】﹣2
【解析】解：（ax+
令10﹣
∵（ax+
∴3222 ）的展开式中x的系数是﹣80，则实数a= ． 55）的展开式的通项公式Tr+1=5（ax）25﹣r=a5﹣r， =5，解得r=2． ）的展开式中x的系数是﹣80 55a=﹣80，
得a=﹣2．
【2016山东（理）】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
【答案】2
【解析】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b
由题意可设A（﹣c，
由2|AB|=3|BC|，可得
=±， ）， ），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，第4页（共4页）
2?
2=3?2c，即为2b=3ac， 2222由b=c﹣a，e=，可得2e﹣3e﹣2=0，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．
22 【2016山东（理）】在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）+y=9
相交”
发生的概率为 ．
【答案】
【解析】解：圆（x﹣5）+y=9的圆心为（5，0），半径为3．
圆心到直线y=kx的距离为
2222， ＜3，解得﹣＜k＜．
22要使直线y=kx与圆（x﹣5）+y=9相交，则∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）+y=9相交相交的概率为
=．
【2016山东（理）】已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．
【答案】（3，+∞）
【解析】解：当m＞0时，函数f（x）=
222的图象如下： 2∵x＞m时，f（x）=x﹣2mx+4m=（x﹣m）+4m﹣m＞4m﹣m，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
2必须4m﹣m＜m（m＞0），
2即m＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
第5页（共5页）
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．【2016山东（理）】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）证明：由
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理，
∴； ，带入（1）得：； 得：
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
2222∴（a+b）=a+b+2ab=4c；
2222∴a+b=4c﹣2ab，且4c≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0； ∴； =； ∴由余弦定理，
∴cosC的最小值为．
【2016山东（理）】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
第6页（共6页）
【解析】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，
∵G、H为EC、FB的中点，
∴GQ
又∵EF，QH∥BO，∴
GQ， BO，
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），
由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3）， ，3），
设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量， 则，即
），
=﹣． ， 取x0=1，则=（1，﹣1，﹣∴cos＜，＞=
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，
∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．
2 【2016山东（理）】已知数列{an}的前n项和Sn=3n+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
2，求数列{cn}的前n项和Tn． 【解析】解：（Ⅰ）Sn=3n+8n，
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，
n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；
∵an=bn+bn+1，
第7页（共7页）
∴an﹣1=bn﹣1+bn，
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2，
∴11=2b1+3，
∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；
（Ⅱ）cn=2=n=6（n+1）?2， n∴Tn=6[2?2+3?2+…+（n+1）?2]①， 23nn+1∴2Tn=6[2?2+3?2+…+n?2+（n+1）?2]②，
①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+2+2+…+2﹣（n+1）?2
n+1n+223nn+1]=12+6×﹣6（n+1）?2n+1=（﹣6n）?2=﹣3n?2，
n+2∴Tn=3n?2．
【2016山东（理）】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
【解析】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，
故概率P==，
（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）=P（X=1）=2×[P（X=2）=+P（X=3）=2×P（X=4）=2×[+
++=+
+=+， ]=， +
==， +， ]= 第8页（共8页）
P（X=6）=
∴数学期望EX=0×
+1×
= +3×
+4×
+6×
=
=
+2×
【2016山东（理）】已知f（x）=a（x﹣lnx）+（I）讨论f（x）的单调性；
，a∈R．
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立． 【解析】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+得f′（x）=a（1﹣）+=
2
，
（x＞0）．
=
若a≤0，则ax﹣2＜0恒成立，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当a＞
0，若0＜a＜2，当
x∈（0，1）和（当x∈（1，
，+∞）时，f′（x）＞0
，f（x）为增函数，
）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数； 若a＞2，当x∈（0，当x∈（
）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（Ⅱ）解：∵a=1，
令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx令g（x）=x﹣lnx，h（x）=
﹣1．
=x﹣lnx+
．
则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）， 由又
，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；
，设φ（x）=﹣3x﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，
2
且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，
∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0） 时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0， ∴函数φ（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，
由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，
第9页（共9页）
∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，
∴F（x）＞恒成立．
即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
【2016山东（理）】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求
及取得最大值时点P的坐标．
的最大值
【解析】解：（I）由题意可得e==
即有b=，a﹣c=，
解得a=1，c=，
2222，抛物线E：x=2y的焦点F为（0，）， 2可得椭圆的方程为x+4y=1； 2（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x0=2y0，
由y=x的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，
则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），
可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，
222可得（1+4x0）x﹣8x0y0x+4y0﹣1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=，即有中点D（，﹣）， 2
直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．
即有点M在定直线y=﹣上；
（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），
则S1=|FG|?|x0
|=x0?（+y0）=x0（1+x0）；
S2=|PM|?|x0﹣|=（y0+）?
2=x0?， 第10页（共10页）
则=，
令1+2x0=t（t≥1），则
==2+﹣2==﹣（﹣）+，
取得最大值， 2= 则当t=2，即x0=时，此时点P的坐标为（
，）．
2016年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．【2016山东（理）】若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i x22．【2016山东（理）】设集合A={y|y=2，x∈R}，B={x|x﹣1＜0}，则A∪B=（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）
3．【2016山东（理）】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），
[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
4．【2016山东（理）】若变量x，y满足，则x+y的最大值是（ ） 22
A．4 B．9 C．10 D．12
5．【2016山东（理）】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
第11页（共11页）
A．+π B．+π C．+π D．1+π
6．【2016山东（理）】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．【2016山东（理）】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）
A． B．π C． D．2π
8．【2016山东（理）】已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
39．【2016山东（理）】已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x﹣1；当﹣1≤x≤1
时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
10．【2016山东（理）】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
x3A．y=sinx B．y=lnx C．y=e D．y=x
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．【2016山东（理）】执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．
第12页（共12页）
12．【2016山东（理）】若（ax+2）的展开式中x的系数是﹣80，则实数a= ．
﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶5513．【2016山东（理）】已知双曲线E：
点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
2214．【2016山东（理）】
在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）+y=9
相交”发生的概率为 ．
15．【2016山东（理）】已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．
三、解答题,：本大题共6小题，共75分.
16．【2016山东（理）】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
17．【2016山东（理）】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．
218．【2016山东（理）】已知数列{an}的前n项和Sn=3n+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
第13页（共13页）
19．【2016山东（理）】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
20．【2016山东（理）】已知f（x）=a（x﹣lnx）+
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．
21．【2016山东（理）】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：是，抛物线E：x=2y的焦点F是C的一个顶点． 2，a∈R． +=1（a＞b＞0）的离心率（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求
及取得最大值时点P的坐标．
的最大值
第14页（共14页）
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