2016年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
【2016江苏（理）】已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．
【答案】{﹣1，2}
【解析】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B={﹣1，2}，
【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．
【答案】5
【解析】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，
则z的实部是5，
【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线【答案】 2
﹣=1中，a=，b=， ﹣=1的焦距是 【解析】解：双曲线∴c==， ∴双曲线﹣=1的焦距是2．
【2016江苏（理）】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．
【答案】0.1
【解析】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：
=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，
∴该组数据的方差：
S=[（4.7﹣5.1）+（4.8﹣5.1）+（5.1﹣5.1）+（5.4﹣5.1）+（5.5﹣5.1）]=0.1．
【2016江苏（理）】函数
y=的定义域是． 222222
【答案】[﹣3，1]
22【解析】解：由3﹣2x﹣x≥0得：x+2x﹣3≤0，
解得：x∈[﹣3，1]，
【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．
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【答案】9
【解析】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，
当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5
当a=9，b=5时，满足a＞b，
故输出的a值为9，
【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】
【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，
基本事件总数为n=6×6=36，
出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，
出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，
∴出现向上的点数之和小于10的概率：
p=1﹣
=．
2 【2016江苏（理）】已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a2=﹣3，S5=10，则a9
的值是 ．
【答案】20
【解析】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a2=﹣3，S5=10， ∴， 2
解得a1=﹣4，d=3，
∴a9=﹣4+8×3=20．
【2016江苏（理）】定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 ．
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【答案】7
【解析】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：
由图可知，共7个交点．
【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，直线
y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】
【解析】解：设右焦点F（c，0），
将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a，
可得B（﹣a，），C（a，），
由∠BFC=90°，可得kBF?kCF=﹣1， 即有
22?2=﹣1， 化简为b=3a﹣4c，
22222由b=a﹣c，即有3c=2a，
由e=，可得e=
2=，
可得e=，
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【2016江苏（理）】设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=
【答案】﹣
【解析】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=， ，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是
∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，
f（）=f（）=|﹣
|=
∴a=，
∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣， ，
【2016江苏（理）】已知实数x，y满足，则x+y的取值范围是 ． 22
【答案】[，13]
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=x+y，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象知A到原点的距离最大，
点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小， 由得，即A（2，3），此时z=2+3=4+9=13， 2222
点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d=
22=， 则z=d=（）=，
故z的取值范围是[，13]，
故答案为：[，13]．
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【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD
上的两个三等分点，?=4，
?=﹣1，则?的值是
【答案】
【解析】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ∴=∴?∴
又∵∴?2=++3，，2=﹣=﹣2++3，
， ?==92﹣2=﹣1，
﹣2=4， =，=+2=4=， ，=﹣2+2， 2﹣=，
【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 ．
【答案】8
【解析】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC， 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，
又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣
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②，
则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，
tanAtanBtanC=﹣=﹣，
=（）﹣，由t＞1得，﹣≤2＜0，
因此tanAtanBtanC的最小值为8，
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，
解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．
二、解答题（共6小题，满分90分）
【2016江苏（理）】在△ABC中，AC=6，cosB=，C=
（1）求AB的长； （2）求cos（A﹣）的值． ．
【解析】解：（1）∵△ABC中，cosB=，
∴sinB=， ∵，
∴AB==5；
（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣
∵A为三角形的内角，
∴sinA=
∴cos（A﹣， ）=cosA+sinA=． ．
【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
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【解析】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，
∴AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F，
∴DE∥A1C1F；
（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，
∵DE∥A1C1，
∴DE⊥平面AA1B1B，
又∵A1F?平面AA1B1B，
∴DE⊥A1F，
又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE，
∴A1F⊥平面B1DE，
又∵A1F?平面A1C1F，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F．
【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
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【解析】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． ∴O1O=8m，
∴仓库的容积V=×6×2+6×8=312m，
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，
设PO1=xm，
则O1O=4xm，A1O1=
则仓库的容积V=×（＜6），
∴V′=﹣26x+312，（0＜x＜6），
当0＜x＜2时，V′＞0，V（x）单调递增；
当2＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减；
故当x=2时，V（x）取最大值；
即当PO1=2m时，仓库的容积最大．
22 【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x+y﹣
12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得范围．
+=，求实数t的取值2223m，A1B1=?）?x+（2m， ?）?4x=2x+312x，（0＜x3
【解析】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），
222∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）+（y﹣n）=n，n＞0，
2222又圆N与圆M外切，圆M：x+y﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）+（x﹣7）=25，
∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，
22∴圆N的标准方程为（x﹣6）+（y﹣1）=1．
（2）由题意得OA=2，kOA=2，设l：y=2x+b，
则圆心M到直线l的距离：d==，
则
|BC|=2=2，BC=2，即2=2， 解得b=5或b=﹣15，
∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．
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（3）|
又||==，即， ，即||=||，
|≤10，即
，2+2≤10，解得t∈[2﹣2]，欲使， ，2+2]， 对于任意t∈[2﹣2
此时，||≤10，
只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，
必然与圆交于P、Q两点，此时||=||
，即，
因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2，2+2]，．
xx 【2016江苏（理）】已知函数f（x）=a+b（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=．
①求方程f（x）=2的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．
xx 【解析】解：函数f（x）=a+b（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=．
①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．
≥m（）﹣6恒成立． ②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即
令t=，t≥2．
不等式化为：t﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或
22 即：m﹣16≤0或m≤4，
∴m∈（﹣∞，4]．
实数m的最大值为：4．
xx（2）g（x）=f（x）﹣2=a+b﹣2，
g（′x）=axlna+bxlnb=ax[+]，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=时，h（x0）=0，
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因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，alnb＞0，则g′（x）＜0．
xx∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，alnb＞0，则g′（x）＞0，
则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）． ①若g（x0）＜0，x＜loga2时，a＞xx=2，b＞0，则g（x）＞0， x
因此x1＜loga2，且x1＜x0时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，
则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．
②若g（x0）＞0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，
00由g（0）=a+b﹣2=0，
因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1． 可得ab=1．
* 【2016江苏（理）】记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N）和U的子集T，若T=?，
定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST=*++…+．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；
（3）设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．
【解析】解：（1）当T={2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，
因此a2=3，从而a1=
故an=3n﹣1=1， ，
2k﹣1（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+3+…+3=＜3=ak+1， k
（3）设A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），则A∩B=?，
分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，
因此原命题的等价于证明SC≥2SB，
由条件SC≥SD，可得SA≥SB，
①、若B=?，则SB=0，故SA≥2SB，
②、若B≠?，由SA≥SB可得A≠?，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，
若m≥l+1，则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，
因为A∩B=?，所以l≠m，则l≥m+1，
SB≤a1+a2+…am=1+3+3+…+32m﹣1=＜=，即SA≥2SB，
综上所述，SA≥2SB，
故SC+SC∩D≥2SD．
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】
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【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD．
【解析】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，
因为E为BC的中点，所以DE=CE=BC，
则：∠EDC=∠C，
由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，
由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，
因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，
所以，∠EDC=∠ABD．
B.【选修4—2：矩阵与变换】
【2016江苏（理）】已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B=﹣1，求矩阵AB．
【解析】解：∵B=﹣1，
∴B=（B）=﹣1﹣1=，又A=，
∴
AB=
=．
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】
【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为
点，求线段AB的长． （θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两
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【解析】解：由，由②得，
代入①并整理得，
由，得， ． 两式平方相加得． 联立，解得或．
∴
|AB|=．
【2016江苏（理）】设a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求证：|2x+y﹣4|＜a．
【解析】证明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|
＜，
可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|
≤2|x﹣1|+|y﹣2|
＜
+=a，
则|2x+y﹣4|＜a成立．
附加题【必做题】
【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：2y=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p的取值范围．
【解析】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），
即抛物线的焦点坐标（2，0）． ∴，
2∴抛物线C：y=8x．
第12页（共18页）
（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：， 即：，kPQ==，
又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴， 又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p， ∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）． ∴，即 ∴
2，即关于y+2py+4p﹣4p=0，有两个不相等的实数根， 222∴△＞0，（2p）﹣4（4p﹣4p）＞0，
∴p∈．
﹣4C的值；
+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+ 【2016江苏（理）】（1）求7C*（2）设m，n∈N，n≥m，求证：（m+1）C
（n+1）C=（m+1）C．
* 【解析】解：（1）7=﹣4×=7×20﹣4×35=0． 证明：（2）对任意m∈N，
①当n=m时，左边=（m+1）
右边=（m+1）=m+1， =m+1，等式成立．
②假设n=k（k≥m）时命题成立，
即（m+1）C
+（m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1）， 第13页（共18页）
当n=k+1时，
左边=（m+1）
=
右边=
∵
=（m+1）[=（m+1）×
=（k+2）
=（k+2）
∴
∴左边=右边，
∴n=k+1时，命题也成立，
∴m，n∈N，n≥m，（m+1）C
（m+1）C．
*+（m+2）+（m+3）， ++（k+1）+（k+2） ﹣[k+3﹣（k﹣m+1）] ， =（m+1）， ] +（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=
2016年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．【2016江苏（理）】已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=．
2．【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是 ．
3．【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是．
4．【2016江苏（理）】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是．
5．【2016江苏（理）】函数y=的定义域是
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