2016年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题
【2016天津（理）】已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
【答案】D
【解析】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}， ∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}，
【2016天津（理）】设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）
A．﹣4 B．6 C．10
【答案】B D．17
【解析】解：作出不等式组表示的可行域，
如右图中三角形的区域，
作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，
平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
故选：B．
【2016天津（理）】在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，
222AB=BC+AC﹣2AC?BCcosC，
2可得：13=9+AC+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
【2016天津（理）】阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
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A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，
第二次判断不满足条件n＞3：
第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，
第四次判断n＞3不满足条件，
第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，
第六次判断满足条件n＞3，
故输出S=4，
【2016天津（理）】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，
若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+
（﹣）=＞0；
而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，
【2016天津（理）】已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
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A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【答案】D
22【解析】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x+y=4，双曲线的
两条渐近线方程为y=±x，
设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，
∴2x?bx=2b，
∴x=±1
将A（1，）代入x+y=4，可得1+22=4，∴b=12， 2
∴双曲线的方程为﹣=1，
【2016天津（理）】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则
A．﹣ B． C． D． 的值为（ ）
【答案】B
【解析】解：由DD、E分别是边AB、BC的中点，DE=2EF，可得
=（=
（=
（=
=．
2
+）?（﹣﹣2﹣） ）
） ++﹣）?（）?（?
﹣=﹣?1?1?﹣
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【2016天津（理）】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
【答案】 C
【解析】解：y=loga（x+1）+在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则则：
； 解得，；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a＞时，联立|x+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，
则△=（4a﹣2）﹣4（3a﹣2）=0，
解得a=或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[，]∪{}，
22
二、填空题
【2016天津（理）】已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．
【答案】2
【解析】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R， ∴，
第4页（共4页）
解得：
∴=2， ， 【2016天津（理）】（x﹣）的展开式中x的系数为 （用数字作答）
【答案】 -56
【解析】解：Tr+1
=
令16﹣3r=7，解得r=3．
∴（x﹣）的展开式中x的系数为287287=x16﹣3r， =﹣56．
【2016天津（理）】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单
3
位：m），则该四棱锥的体积为 m
【答案】 2
【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
2棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m，
棱锥的高h=3m，
故体积V==2m， 3
【2016天津（理）】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为 ．
【答案】
【解析】解：如图，
过D作DH⊥AB于H，
第5页（共5页）
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
2∴DH=AH?BH=2，则DH=，
在Rt△DHE中，则
由相交弦定理可得：CE?DE=AE?EB， ∴
故答案为：．
． ，
【2016天津（理）】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是 ．
【答案】（，）
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
则f（2）＞f（﹣），等价为f（2
|a﹣1|即﹣＜2＜，
则|a﹣1|＜，即＜a＜， |a﹣1||a﹣1|）＞f（）， 【2016天津（理）】设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3
【答案】
【解析】解：抛物线，则p的值为 ． （t为参数，p＞0）的普通方程为：y=2px焦点为F
（，0），2
如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|， |CF|=3p，
|AB|=|AF|=p，A（p，
△ACE的面积为3可得，）， ， =S△ACE．
第6页（共6页）
即：解得p=．
=3，
三、计算题
【2016天津（理）】已知函数f（x）=4tanxsin（
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣， ﹣x）cos（x﹣）﹣． ]上的单调性．
﹣x）cos（x﹣，k∈Z}，
）﹣． 【解析】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+sinx）﹣
则f（x）=4tanxcosx?（cosx+=2sinx（cosx+
=sinxcosx+
=sin2x+
=sin2x﹣
=sin（2x﹣2sinx）﹣ sinx﹣（1﹣cos2x）﹣cos2x﹣）﹣
；
≤2x﹣ 则函数的周期T=（2）由2kπ﹣
得kπ﹣≤2kπ+，k∈Z， ，kπ+]，k∈Z， ≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣
，]，k∈Z，
，]，
当k=0时，增区间为[﹣∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣第7页（共7页）
由2kπ+
得kπ+≤2x﹣≤x≤kπ+≤2kπ+，k∈Z， ，kπ+]，k∈Z， ，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+
，﹣]，k∈Z，
，﹣]，
，﹣当k=﹣1时，减区间为[﹣∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，即在区间[﹣]上，函数的减区间为∈[﹣]，增区间为[﹣，]．
【2016天津（理）】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
【解析】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，
事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；
共有+=15种，
∴事件A发生概率：P==．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）=
=
P（X=1）=
=，
P（X=2）=
=，
第8页（共8页）
∴EX=0×+1×+2×=1． 【2016天津（理）
】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，
∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，
∵G，I是中点，
∴GI∥BD，GI=BD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OB=BD．
∴EF∥GI，EF=GI，
∴四边形EFIG是平行四边形，
∴EG∥FI，
∵EG?平面ADF，FI?平面ADF，
∴EG∥平面ADF；
（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣
﹣，2），
F（0，0，2），
设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则
∵OC⊥平面OEF，
∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），
第9页（共9页）
，0），C（，0，0），E（0，，取=（，0，1）
∵|cos＜，＞
|=
=
=（，0，）．
，0，）． ； ∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为（3）解：AH=HF，∴
设H（a，b，c），则
∴a=﹣
∴=（﹣==（a+，b，c）=（，b=0，c=， ，，），
∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．
+ 【2016天津（理）】已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N，bn
是an和an+1的等比中项．
（1）设cn=b﹣b，n∈N，求证：数列{cn}是等差数列；
k2*
+（2）设a1=d，Tn=（﹣1）bk，n∈N，求证：．
+ 【解析】证明：（1）∵{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N，bn是
an和an+1的等比中项．
∴cn=b﹣b=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，
2∴cn+1﹣cn=2d（an+2﹣an+1）=2d为定值；
∴数列{cn}是等差数列；
（2）Tn=（﹣1）bk=c1+c3+…+c2n﹣1=nc1+
222k2?4d=nc1+2n（n﹣1）d，①n∈N， 22*由已知c1=b2﹣b1=a2a3﹣a1a2=2da2=2d（a1+d）=4d，
22将c1=4d，代入①得Tn=n（n+1）d，
第10页（共10页）
∴
==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．
即不等式成立．
【2016天津（理）】设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A
．已知+
=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
【解析】解：（1）由+=，得， 即
222， ∴a[a﹣（a﹣3）]=3a（a﹣3），解得a=2． ∴椭圆方程为；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），
设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），
∵∠MOA≤∠MAO，
∴x0≥1，
再设H（0，yH）， 联立
22，得（3+4k）x﹣16kx+16k﹣12=0． 222222△=（﹣16k）﹣4（3+4k）（16k﹣12）=144＞0． 由根与系数的关系得， ∴，，
MH所在直线方程为，
第11页（共11页）
令x=0，得
∵BF⊥HF， ∴， ，
即1﹣x1+y1yH
=， 整理得：，即8k≥3． 2
∴或．
3 【2016天津（理）】设函数f（x）=（x﹣1）﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．
【解析】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）﹣ax﹣b的导数为
2f′（x）=3（x﹣1）﹣a，
当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
当a＞0时，当x＞1+
当1﹣＜x＜1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0， 3，f′（x）＜0，
），（1+
2可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣，+∞），减区间为（1﹣，1+）； （2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）=a，
322由f（x0）=（x0﹣1）﹣3x0（x0﹣1）﹣b=（x0﹣1）（﹣2x0﹣1）﹣b，
32f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）﹣b
22=（x0﹣1）（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）（﹣2x0﹣1）﹣b，
即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），
即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；
（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，
第12页（共12页）
即证在[0，2]上存在x1，x2，使得g（x1）﹣g（x2）≥．
当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；
当0＜a＜3时，f（1﹣
=
f（1+
=﹣﹣a﹣b， ）=（）﹣a（1+3）=（﹣）﹣a（1﹣3）﹣b=
﹣﹣a+a﹣b
）﹣
b=﹣a﹣a﹣b ﹣a﹣b，
f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（2）﹣f（0）=2﹣2a，
若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；
若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）
=＞成立．
综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．
2016年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题
1．【2016天津（理）】已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
2．【2016天津（理）】设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（ ）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
3．【2016天津（理）】在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．【2016天津（理）】阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
第13页（共13页）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．【2016天津（理）】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．【2016天津（理）】已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
7．【2016天津（理）】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则
A．﹣ B． C． D． 的值为（ ）
8．【2016天津（理）】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
二、填空题
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