2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（理科）
（使用地区：广西、云南、贵州）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【2016新课标Ⅲ】设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）
A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，2]∪[3，+∞）
【答案】D
【解析】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），
∵T=（0，+∞），
∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），
【2016新课标Ⅲ】若z=1+2i，则
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【答案】C
【解析】解：z=1+2i，则 【2016新课标Ⅲ】已知向量==（，），=（==i． =（） ，），则∠ABC=（）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】A
【解析】解：，； ∴；
又0≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
【2016新课标Ⅲ】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）
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A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
【答案】D
【解析】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，
【2016新课标Ⅲ】若tanα=，则cosα+2sin2α=（ ）
A． B． C．1 D． 2
【答案】A
【解析】解：∵tanα=，
∴cosα+2sin2α=2===．
【2016新课标Ⅲ】已知a=2，b=3，c=25，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】 A
【解析】解：∵a=2b=3， =， 第2页（共20页）
c=25=，
综上可得：b＜a＜c，
【2016新课标Ⅲ】执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】 B
【解析】解：模拟执行程序，可得
a=4，b=6，n=0，s=0
执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2
不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4
满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．
【2016新课标Ⅲ】在△ABC中，B=
A． B． C．﹣ ，BC边上的高等于BC，则cosA=（ ） D．﹣
【答案】 C
【解析】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，
第3页（共20页）
∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，
∴BD=AD=a，CD=a，
在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，
∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．
【2016新课标Ⅲ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A．18+36 B．54+18 C．90 D．81
【答案】 B
【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱， 其底面面积为：3×6=18，
前后侧面的面积为：3×6×2=36，
左右侧面的面积为：3××2=18，
故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．
【2016新课标Ⅲ】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C．6π D．
【答案】 B
【解析】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
第4页（共20页）
故三角形ABC的内切圆半径r=
又由AA1=3， =2，
故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，
此时V的最大值=，
【2016新课标Ⅲ】已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，
可得P（﹣c，），
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM， 即为=， =，即为a=3c， 化简可得可得e==．
【2016新课标Ⅲ】定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
【答案】 C
【解析】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；
第5页（共20页）
0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
【2016新课标Ⅲ】（2015?新课标II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为 ．
【答案】
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大， 由得D（1，），
所以z=x+y的最大值为1+；
【2016新课标Ⅲ】函数y=sinx﹣
平移 个单位长度得到． 【答案】
cosx=2in（x+），y=sinx﹣cosx=2in（x﹣）， cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右【解析】解：∵y=f（x）=sinx+
∴f（x﹣φ）=2in（x+
令2in（x+
则﹣φ）（φ＞0）， ）， ﹣φ）=2in（x﹣（k∈Z）， ﹣φ=2kπ﹣
即φ=﹣2kπ（k∈Z），
第6页（共20页）
当k=0时，正数φmin=，
【2016新课标Ⅲ】已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是 ．
【答案】 2x+y+1=0．
【解析】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），
当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有
x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，
可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，
则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），
即为2x+y+1=0．
22 【2016新课标Ⅲ】已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x+y=12交于A，B两点，过A，
B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=
【答案】4
【解析】解：由题意，
|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3， ∴=3，
∴m=﹣
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴
|CD|==4．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【2016新课标Ⅲ】已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5=，求λ．
【解析】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0．
∴an≠0．
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，
即（λ﹣1）an=λan﹣1，
∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1， 即=，（n≥2），
∴{an}是等比数列，公比q=
当n=1时，S1=1+λa1=a1， ，
第7页（共20页）
即a1=
∴an=
（2）若S5=， ?（，
?（
﹣1=﹣）=， 4）n﹣1． 则若S5=1+λ（即（
则）=5， =﹣，得λ=﹣1．
【2016新课标Ⅲ】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注： 参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．
参考公式：r=， 回归方程=
+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
第8页（共20页）
=，=
﹣．
【解析】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下： ∵r==
≈
≈≈0.996，
∵0.996＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；
（2）==≈≈0.10，
=
﹣≈1.331﹣0.10×4≈0.93，
∴y关于t的回归方程=0.103+0.93，
2016年对应的t值为9， 故=0.10×9+0.93=1.83，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨．
【2016新课标Ⅲ】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，
∵N为PC的中点，
∴NG∥BC，且NG=，
第9页（共20页）
又AM=，BC=4，且AD∥BC，
∴AM∥BC，且AM=BC，
则NG∥AM，且NG=AM，
∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，
∵AG?平面PAB，NM?平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
法二、
在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，
在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=
∵AD∥BC，
∴cos，则sin∠EAM=， ，
在△EAM中，
∵AM=，AE=，
=， 由余弦定理得：EM=∴cos∠AEM=，
而在△ABC中，cos∠BAC=，
∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，
∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，
∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．
∵NE∩EM=E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；
（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM=AC+AM﹣2AC?AM?cos∠MAC=
222222． ∴AM+MC=AC，则AM⊥MC，
∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．
第10页（共20页）
在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==， 在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得
AF=， ∴sin．
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．
【2016新课标Ⅲ】已知抛物线C：y=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【解析】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PRF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
F
（，0），准线为 x=﹣，
S△PQF
=
|PQ|=|y1﹣y2|，
设直线AB与x轴交点为N，
∴S△ABF
=|FN||y1﹣y2|，
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，
∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．
第11页（共20页）
2
设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2）， 又=
2， ∴=，即y=x﹣1．
2∴AB中点轨迹方程为y=x﹣1．
【2016新课标Ⅲ】设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记f（x）的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）； （Ⅱ）求A； （Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
【解析】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．
（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．
2当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acosx+（a﹣1）cosx﹣1，
2令g（t）=2at+（a﹣1）t﹣1，
则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，
且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣， 令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．因此A=3a﹣2
g（﹣1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，∴t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2．
综上可得：t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2． ∴A=3a+2．
①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，
∴A=2﹣3a，
②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（又|g（）﹣g（﹣1）|=＞0， ），
第12页（共20页）
∴A=|g（）
|=，
综上，A=．
（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，
当0＜a≤时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A， 当＜a＜1时，A==++≥1，
∴|f′（x）|≤1+a≤2A，
当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，
综上：|f′（x）|≤2A．
请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
【2016新课标Ⅲ】如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
【解析】（1）解：连接PA，PB，BC，
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F共圆，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
第13页（共20页）
（2）证明：由C，D，E，F共圆，
由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G
可得G为圆心，即有GC=GD，
则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，
则OG⊥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
【2016新课标Ⅲ】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
【解析】解：（1）曲线C1的参数方程为
移项后两边平方可得
即有椭圆C1：2（α为参数）， +y=cosα+sinα=1， 222+y=1；
）=2， 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
即有ρ（sinθ+cosθ）=2，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，
即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值．
设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 联立可得4x+6tx+3t﹣3=0，
2222由直线与椭圆相切，可得△=36t﹣16（3t﹣3）=0，
解得t=±2，
显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，
即有
|PQ|=
=，
第14页（共20页）
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