2016年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
2 【2016浙江（理）】已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x≥4}，则P∪（?RQ）=（）
A．[2，3] B．（﹣2，3] C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
【答案】B
2【解析】解：Q={x∈R|x≥4}={x∈R|x≥2或x≤﹣2}，
即有?RQ={x∈R|﹣2＜x＜2}，
则P∪（?RQ）=（﹣2，3]．
【2016浙江（理）】已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【答案】C
【解析】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或m?β或m⊥β，l?β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
【2016浙江（理）】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）
A．2 B．4 C．3 D．6
【答案】C
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，
而R′Q′=RQ， 由由得得，即Q（﹣1，1）， ，即R（2，﹣2），
==3， 则
|AB|=|QR|=*2 【2016浙江（理）】命题“?x∈R，?n∈N，使得n≥x”的否定形式是（） *2*2A．?x∈R，?n∈N，使得n＜x B．?x∈R，?n∈N，使得n＜x
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C．?x∈R，?n∈N，使得n＜x D．?x∈R，?n∈N，使得n＜x
【答案】 D
*2【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x∈R，?n∈N，使得n≥x”的*2否定形式是：?x∈R，?n∈N，使得n＜x．
2 【2016浙江（理）】设函数f（x）=sinx+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【答案】B
2【解析】解：∵设函数f（x）=sinx+bsinx+c，
∴c是图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，
当b=0时，f（x）=sinx+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T=
当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，
∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，
∴f（x）的最小正周期为2π，
故f（x）的最小正周期与b有关，
【2016浙江（理）】如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，**An≠An+1，n∈N，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ） 2*2*2=π，
A．{Sn}是等差数列
C．{dn}是等差数列
【答案】A
【解析】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b，
|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，
由于a，b不确定，则{dn}不一定是等差数列， 2{dn}不一定是等差数列，
设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn， 由三角形的相似可得=
=
==， =2， =，
2B．{Sn}是等差数列 2D．{dn}是等差数列 两式相加可得，即有hn+hn+2=2hn+1，
由Sn=d?hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，
即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，
则数列{Sn}为等差数列．
故选：A．
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【2016浙江（理）】已知椭圆C1：+y=1（m＞1）与双曲线C2：2﹣y=1（n＞0）的2
焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1
【答案】A
【解析】解：∵椭圆C1：
222D．m＜n且e1e2＜1 +y=1（m＞1）与双曲线C2：2﹣y=1（n＞0）的焦点重合， 2∴满足c=m﹣1=n+1， 2222即m﹣n=2＞0，∴m＞n，则m＞n，排除C，D
222222则c=m﹣1＜m，c=n+1＞n，
则c＜m．c＞n，
e1=，e2=，
则e1?e2=?
=
2， 2则（e1?e2）=（）?（）
2==＞1， ==1+=1+=1+
∴e1e2＞1，
【2016浙江（理）】已知实数a，b，c．（ ） 22222A．若|a+b+c|+|a+b+c|≤1，则a+b+c＜100
22222B．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
22222C．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
22222D．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
【答案】D
22222【解析】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a+b+c|+|a+b+c|=0≤1，a+b+c＞100；
22222B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a+b+c|+|a+b﹣c|=0≤1，a+b+c＞100；
22222C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c|+|a+b﹣c|=0≤1，a+b+c＞100；
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
2 【2016浙江（理）】若抛物线y=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 ．
【答案】9
【解析】解：抛物线的准线为x=﹣1，
∵点M到焦点的距离为10，
∴点M到准线x=﹣1的距离为10，
∴点M到y轴的距离为9．
2 【2016浙江（理）】已知2cosx+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=b=．
【答案】
；1．
第3页（共3页）
【解析】解：∵2cosx+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+=（cos2x+sin2x）+1 2sin（2x+）+1，
∴A=，b=1，
【2016浙江（理）】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）
，则该几何体的表面积是 23cm，体积是 cm．
【答案】 72，32
【解析】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，
22则其表面积为2×（24﹣6）=72cm，
3其体积为4×2=32，
ba 【2016浙江（理）】已知a＞b＞1，若logab+logba=，a=b，则a= ，b= ．
【答案】 4；2．
【解析】解：设t=logba，由a＞b＞1知t＞1，
代入logab+logba=得
2， 即2t﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），
所以logba=2，即a=b，
ba2ba2因为a=b，所以b=b，则a=2b=b，
解得b=2，a=4，
* 【2016浙江（理）】设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N，则a1=，
S5=．
【答案】 1，121．
【解析】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，
又S2=4，即a1+a2=4，
即有3a1+1=4，解得a1=1；
由an+1=Sn+1﹣Sn，可得
Sn+1=3Sn+1，
由S2=4，可得S3=3×4+1=13，
S4=3×13+1=40，
第4页（共4页） 2
S5=3×40+1=121．
【2016浙江（理）】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD
的体积的最大值是 ．
【答案】
【解析】解：如图，M是AC的中点．
①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，
DM=﹣t，由△ADE∽△
BDM，可得
，∴h=， V=
②当AD=t＞AM==，t∈（0，） 时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，
DM=t﹣
∴
h=，由等面积，可得， ，∴
， ∴V==，t∈
（，2） 综上所述，V=，t
∈（0，2） 令m=∈[1，2），则V=，∴m=1时，Vmax=．
， 【2016浙江（理）】已知向量，，||=1，||=2
，若对任意单位向量，均有
|?|+|?|≤
则
?的最大值是
． 【答案】
【解析】
解：∵|（+）?|=|?+?|≤
|?|+|
?|≤∴|
（+）
?|≤|+|≤
22， ， 平方得：
||+||+2?≤6， 第5页（共5页）
22即1+2+2?≤6， 则?≤， 故?的最大值是，
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【2016浙江（理）】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
【解析】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=2=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B=A﹣B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=
∴bcsinA=
2， ， ∴2bcsinA=a，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°．
【2016浙江（理）】如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：EF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
【解析】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，
∠ACB=90°，
∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK， ∴BF⊥平面ACFD．
（II）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，
∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角．
在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=
在Rt△BQF中，
BF=，FQ=． ． ．可得：cos∠
BQF=
第6页（共6页）
∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为．
方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形，
取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，
以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz． 可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，
．
=（0，3，0），
=，（2，3，0）．
，），A（﹣1，﹣3，0），
，设平面ACK的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABK的法向量为=（x2，y2，z2），由
可得
取=
由∴，可得==．
．
， ． ，取=． ∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为
2 【2016浙江（理）】已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，
q）=
2（Ⅰ）求使得等式F（x）=x﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）
【解析】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时， 22x﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x+2（a﹣1）（2﹣x）＞0； 22当x＞1时，x﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），
第7页（共7页）
则等式F（x）=x﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是（2，2a）；
2（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x﹣2ax+4a﹣2，
2则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a+4a﹣2． 2由﹣a+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），
由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，
即m（a）=； 2
（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；
当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}
=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．
则M（a）=．
+y=1（a＞1） 2 【2016浙江（理）】如图，设椭圆C：
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：，可得：（1+ak）x+2kax=0， 2222
得x1=0或x2=，
=． 直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：（Ⅱ）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，
记直线AP，AQ的斜率分别为：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知
|AP|=，|AQ|=， 故：22=，所以，（k1﹣k2）[1+k1+k2+a（2﹣a）222222k1k2]=0，由k1≠k2，
222222k1，k2＞0，可得：1+k1+k2+a（2﹣a）k1k2=0， 因此a（a﹣2）①，
2222因为①式关于k1，k2；的方程有解的充要条件是：1+a（a﹣2）＞1，
第8页（共8页）
所以a＞．
因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜2， e=
=得，所求离心率的取值范围是：
|≤1，n∈N．
**． 【2016浙江（理）】设数列满足|an﹣（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1
n（|a1|﹣2）（n∈N） **（Ⅱ）若|an|≤（），n∈N，证明：|an|≤2，n∈N．
【解析】解：（I）∵|an﹣
∴∴﹣≤=（*|≤1，∴|an|﹣|an+1|≤1， ，n∈N， ﹣）+（﹣）+…+（﹣）
≤++
n﹣1+…+=*=1﹣＜1． ∴|an|≥2（|a1|﹣2）（n∈N）．
*（II）任取n∈N，由（I）知，对于任意m＞n，
﹣=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
≤++…+=＜．
∴|an|＜（+）?2≤[n+?（）]?2=2+（）?2．① mnmn
由m的任意性可知|an|≤2． *否则，存在n0∈N，使得|a
取正整数m0＞
log|＞2， 且m0＞n0，则 2?（）＜2
*?（）
=|a|﹣2，与①式矛盾． 综上，对于任意n∈N，都有|an|≤2．
2016年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
21．【2016浙江（理）】已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x≥4}，则P∪（?RQ）=（ ）
A．[2，3] B．（﹣2，3] C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
第9页（共9页）
2．【2016浙江（理）】已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，
则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．【2016浙江（理）】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的
投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=
（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6 *24．【2016浙江（理）】命题“?x∈R，?n∈N，使得n≥x”的否定形式是（ ） *2*2A．?x∈R，?n∈N，使得n＜x B．?x∈R，?n∈N，使得n＜x *2*2C．?x∈R，?n∈N，使得n＜x D．?x∈R，?n∈N，使得n＜x 25．【2016浙江（理）】设函数f（x）=sinx+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
6．【2016浙江（理）】如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，**An≠An+1，n∈N，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，
Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
A．{Sn}是等差数列
C．{dn}是等差数列 2B．{Sn}是等差数列 2D．{dn}是等差数列
7．【2016浙江（理）】已知椭圆C1：+y=1（m＞1）与双曲线C2：2﹣y=1（n＞0）的2
焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
8．【2016浙江（理）】已知实数a，b，c．（ ） 22222A．若|a+b+c|+|a+b+c|≤1，则a+b+c＜100
22222B．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
22222C．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
22222D．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
29．（【2016浙江（理）】若抛物线y=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离
是 ．
210．【2016浙江（理）】已知2cosx+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，
b=．
11．【2016浙江（理）】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 23cm，体积是 cm．
第10页（共10页）
ba12．【2016浙江（理）】已知a＞b＞1，若logab+logba=，a=b，则a=
，
b= ． *13．【2016浙江（理）】设数列{an}的前
n项和为Sn，若S
2=4，
an+1=2Sn+1，n∈N，则a1= ，S5= ．
14．（【2016浙江（理）】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 ．
15．（【2016浙江（理）】已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有
|?|+|?|≤，则?的最大值是．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16． 【2016浙江（理）】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
17．【2016浙江（理）】如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：EF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
218．【2016浙江（理）】已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，
q）=
2（Ⅰ）求使得等式F（x）=x﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）
19．【2016浙江（理）】如图，设椭圆C：+y=1（a＞1） 2
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
第11页（共11页）
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
20．【2016浙江（理）】设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．
（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（Ⅱ）若|an|≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．
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