无锡市梁溪区2016年秋学期期中学业质量抽测九年级数学试卷及分析
一．选择题（共9小题）
1．若方程（m﹣2）x+3x=2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠2 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义，列出不等式m﹣2≠0，求出m的取值范围即可．
2【解答】解：∵方程（m﹣2）x+3x=2是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，即m≠2． 2
【易失分点】一元二次方程的一般形式是：ax+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.（2013秋?裕华区校级月考）方程x=3x的解是（）
A．1 B．3 C．1或3 D．0或3
【题目来源】2013秋?裕华区校级月考
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】求出一元二次方程的解直接选择答案即可． 22
【解答】解：x=3x
2x﹣3x=0
x（x﹣3）=0
x1=0，x2=3．
故选：D．
【点评】此题考查利用因式分解法解一元二次方程，注意方程的特点，选用适当的方法解答．
3．（2015秋?庄浪县期中）以3和﹣1为两根的一元二次方程是（）
2222A．x+2x﹣3=0 B．x+2x+3=0 C．x﹣2x﹣3=0 D．x﹣2x+3=0
【题目来源】2015秋?庄浪县期中
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】由题意，可令方程为（x﹣3）（x+1）=0，去括号后，直接选择C；
或把3和﹣1代入各个选项中，看是否为0，用排除法选择C； 2
或利用两根之和等于，和两根之积等于来依次判断．
【解答】解：以3和﹣1为两根的一元二次方程的两根的和是2，两根的积是﹣3，据此判断．
A、两个根的和是﹣2，故错误；
B、△=2﹣4×3=﹣8＜0，方程无解，故错误；
C、正确；
D、两根的积是3，故错误．
故选C．
【点评】本题解答方法较多，可灵活选择解题的方法．
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2
4．（2011秋?金坛市校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．90°的角所对的弦是直径
C．等弧所对的弦相等 D．圆的切线垂直于半径
【题目来源】2011秋?金坛市校级月考
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】准确理解圆心角，圆周角，等弧，圆的切线这些基本概念，作出正确的选择．
【解答】解：A，要强调在同圆或等园，相等的圆心角所对的弧才相等；
B，90°的圆周角所对的弦是直径，要强调这个90°的角是圆周角；
C，等弧所对的弦相等，这个命题是正确的；
D，圆的切线垂直于过切点的半径，不是垂直于所有的半径．
故选C．
【点评】对基本概念的准确理解和灵活运用，特别是个别的字眼一定要理解透彻．
5．（2014?同安区质检）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C=80°，则∠A等于（ ）
A．120° B．100° C．80° D．90°
【题目来源】2014?同安区质检
【考点】圆内接四边形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠C=180°，然后把∠C的度数代入计算即可．
【解答】解：根据题意得∠A+∠C=180°，
所以∠A=180°﹣80°=100°．
故选B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．
6．（2010秋?石景山区校级期中）在⊙O中，AB是弦，圆心到AB的距离为1，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．2
【题目来源】2010秋?石景山区校级期中
【考点】垂径定理．
【分析】按题意画出图形，如下图，过O点作OM⊥AB于M，根据题意可知，OB=2，OM=1，由勾股定理可求得BM，再根据垂径定理可知，AB=2BM，即AB=2．
【解答】解：根据题意画出图形，
OM为圆心到AB的距离，即OM=1，OB=2，
在Rt△OBM中，BM=
根据垂径定理可知，
AB=2BM=2．
=，
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故选D．
【点评】本题考查勾股定理和垂径定理的综合使用．
7．（2005?吉林）图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
A．12πm B．18πmC．20πmD．24πm
【题目来源】2005?吉林
【考点】弧长的计算．
【分析】游泳池的周长即两段弧的弧长，每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则可知短弧所对的圆心角是120度，所以根据弧长公式就可得．
【解答】解：．
故选：D．
【点评】本题的关键是根据弧长公式计算，在计算的过程中首先要利用圆的半径的关系求出圆心角．
8．（2016秋?无锡校级月考）已知⊙O的半径为r，圆心到点A的距离为d，且r，d分别是
2方程x﹣4x+3=0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ ）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
【题目来源】2016秋?无锡校级月考
【考点】点与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先解方程求出x的值，再根据点与圆的位置关系即可得出结论．
2【解答】解：∵解方程x﹣4x+3=0得，x1=1，x2=3，
∴当r=1，d=3时，点A在圆外；
当r=3，d=1时，点A在圆内，
∴点A不在⊙O上．
故选D．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
9．（2016?潍坊）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【题目来源】2016?潍坊
【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP=AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上．
【解答】解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
故选D．
【点评】本题考查了轨迹，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
10．（2016?嘉善县校级一模）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
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A．
【题目来源】2016?嘉善县校级一模
【考点】圆的综合题．
【专题】综合题．
【分析】连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D B． C． D．时，点F所经过的路径长
的度数，进而确定出
出的长． ，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求
【解答】解：连接AC，AG，
∵GO⊥AB，
∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，
∵G（0，1），即OG=1，
∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO=
∴AB=2AO=2，
又CO=CG+GO=2+1=3，
∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC==2， =，
∵CF⊥AE，
∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，
当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，
∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长
在Rt△ACO中，tan∠ACO==，
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，
∴∠ACO=30°，
∴度数为60°，
，
=π，
π． ∵直径AC=2∴的长为则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长
故选B
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长是解本题的关键．
二．填空题（共9小题）
211．（2014秋?番禺区期末）方程x=25的根是
【题目来源】2014秋?番禺区期末
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【专题】计算题．
【分析】直接开平方即可求解．
22【解答】解：x=（±5）
x=±5．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x=a（a≥0）；ax=b（a，b同号
22且a≠0）；（x+a）=b（b≥0）；a（x+b）=c（a，c同号且a≠0）．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
12．（2016?菏泽）已知m是关于x的方程x﹣2x﹣3=0的一个根，则2m﹣4m= 6 ．
【题目来源】2016?菏泽
【考点】一元二次方程的解．
【专题】推理填空题．
22【分析】根据m是关于x的方程x﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m﹣4m值，
本题得以解决． 2222
【解答】解：∵m是关于x的方程x﹣2x﹣3=0的一个根，
2∴m﹣2m﹣3=0，
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2
∴m﹣2m=3，
2∴2m﹣4m=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．（2014?北海）若一元二次方程x﹣6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 9 ．
【题目来源】2014?北海
【考点】根的判别式．
2【分析】满足△=b﹣4ac=0，得到有关m的方程即可求出m的值．
2【解答】解：∵关于x的一元二次方程x﹣6x+m=0有两个相等的实数根，
2∴△=b﹣4ac=36﹣4m=0，
解得：m=9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
14．（2004?上海）已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为 5 cm．
【题目来源】2004?上海
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．
【解答】解：∵直角边长分别为6cm和8cm，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5cm．
【点评】熟练运用勾股定理计算直角三角形的未知边．注意：直角三角形的外接圆的半径是其斜边的一半．
15．（2016?扬州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长22
【题目来源】2016?扬州
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
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【分析】连接CD，由∠ABC=∠DAC可得，得出则AC=CD，又∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠B=∠DAC，
∴，
∴AC=CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=4，
∴AC=CD=
故答案为：2AD=． ×4=2，
【点评】本题主要考查略圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；由圆周角定理得到，得出AC=CD是解题的关键．
16．（2015春?无锡期中）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是 ．
【题目来源】2015春?无锡期中
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 2【解答】解：圆锥的侧面积=?2π?2?5=10π（cm）．
故答案为10πcm．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（2016?攀枝花）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O
的半径为 ． 22
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【题目来源】2016?攀枝花
【考点】切线的性质．
【分析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．
【解答】解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD=S△ACD，
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴AB?OE+BD?OF=CD?AC，即5×OE+2×0E=2×3，
解得OE=，
∴⊙O的半径是．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
18．（2016?南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 mm．
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【题目来源】2016?南充
【考点】垂径定理的应用．
【分析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．
【解答】解：如图，设圆心为O，
连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40，
2222∵CM+OM=AN+ON，
2222∴30+OM=40+（70﹣OM），
解得：OM=40，
∴OC==50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
故答案为：50．
21.【点评】本题考查的圆内接四边形，是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合进行解答是解答此题的关键．
（2016?扬州）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 0＜a≤5 ．
【考点】二次函数的应用．
【专题】推理填空题．
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a
化简，得
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y=﹣4t+（260﹣4a）t+1400﹣20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴ 2
解得，a≤5，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a≤5．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意t为正整数所包含的意义，找出所求问题需要的条件．
22.（2016?江西）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是
四边形？说明理由． 的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊于点F，交过点C的切线于点D．
【考点】切线的性质；垂径定理．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和PE⊥OE以及∠OAC=∠OCA得∠APE=∠DPC，然后结合对顶角的性质可证得结论；
（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵∠OAC=∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，
∴∠APE=∠PCD，
∵∠APE=∠DPC，
∴∠DPC=∠PCD，
∴DC=DP；
（2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是
的中点，
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∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形OACF为菱形．
【点评】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．
24.（2016?扬州）如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：=；
（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T
（A）=
①理解巩固：T（90°
）=，如T（60°）=1． 若α是等腰三角形的顶角，则T（α）T（120°）的取值范围是 0＜T（α）＜2 ；
②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．
（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
【考点】相似形综合题．
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【分析】（1）证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵AB=AC，DE=DF，
∴=，
又∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF，
∴=；
（2）①如图1，∠A=90°，AB=AC，
则=，
∴T（90°）=，
如图2，∠A=90°，AB=AC，
作AD⊥BC于D，
则∠B=60°，
∴BD=AB，
∴BC=AB，
∴T（120°）=；
∵AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
∴0＜T（α）＜2，
故答案为：；；0＜T（α）＜2；
②∵圆锥的底面直径PQ=8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则=8π，
解得，n=160，
∵T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.6．
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【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T（A）的定义，正确理解T（A）的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25.（2012?镇江二模）如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，请在边AB上作出C，D两点的所有勾股点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上． ①当t=4、t=5时，直接写出点H的个数．
②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．
【考点】相似形综合题；勾股定理．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）以CD为直径作圆O，与AB的交点就是C、D的勾股点．
（2）①当t=4或t=5时，分别作出图形，当∠MHN=90°时，当∠H''NM=90°时，当∠H'MN=90°时在l上的勾股点分别为个或2个；
②利用①的结果可以探究满足条件的点H的个数及相应t的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，尺规作图正确（以线段CD为直径的圆与线段AB的交点）；
（2）①如图2，当t=4时，当∠MHN=90°时，当∠H''NM=90°时，当∠H'MN=90°时，有3个勾股点H，H′，H″；
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