山东师大附中20l4级高三第二次模拟考试
数学(理科)试卷
命题人：孔蕊
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共21题，共150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第I卷
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数Z?2?i的共轭复数对应的点在复平面内位于 1?i
B.第二象限C.第三象限D.第四象限 A.第一象限
22.设集合A?xx?1?3，集合B?xx?x?6?0，则A?B? ????
A. x2?x?3
C. x?2?x?? ??B. x?2?x?3 D. x?4?x?3 ??????
3.设a?R，则“a?1”是“直线l1:ax?2y?1?0与l2:x??a?1?y?4?0平行”的
A.充分不必要条件
C.充要条件
4.已知f?x??x?
A. ?4B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1?1,f?a??2，则f??a?? xB. ?2 C. ?1D. ?3
5.在?ABC中，AB?2,BC?3,?ABC?60?，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若??????????AO??AB??BC，则????
A.1 B. 1 2 C. 4 3 D.2 3
6.在等差数列?an?中，a9?
A.21 B.48 1a12?3，则数列?an?的前11项和S11? 2 C.66 D.132
xy?2x?y?0?1??1?,则z??????的最小值为 7.已知正数x,y满足??4??2??x?3y?5?0
A.1
B. C. 1 16D.1 32
8.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，S表示?ABC的面积，若S?12b?c2?a2?，则?A? ?4
B. 60?
2A. 90? C. 45? 2D. 30? 9.直线y?kx?3与圆?x?3???y?2??4相交于M、N
两点，若MN?k的
取值范围是 ?3?A. ??,0? ?4??3??B. ???,????0,???
C. ?? 334????D. ???2?,0? 3??
10.设函数f?x?是定义在?0,???上的单调函数，且对?x??0,???都有f?f??x?ln?x?
A. ?0,? ?e，则方程1f?x??f??x??e的实数解所在的区间是 ?1?
?e? C. ?1,e? D. ?e,3? ?
?1?e? B. ?,1?
第II卷
二、填空题：本题共5小题，每小题5分。
11.
已知由曲线y?，直线y?2?x和x轴所围成图形的面积为S，则S?_______.
?????2??,a?2,b?1，则a?2b?___________. 12.已知平面向量a,b的夹角为3
213.已知过点P?2,2?的直线与圆?x?1??y?5相切，且与直线ax?y?1?0垂直，则a?2
__________.
?14.若cos75?????1?，则sin?60?2???__________. 3
15.已知函数f?x??lg?x?a??，实数a,b满足：a?b,且f???b?1?f???，则?b?2?f?8a?2b?1?1取最小值时，a?b的值为__________.
三、解答题：答应在写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分12分）
已知函数f?x???Asinx???,?A0?,?????0?,0?????2??x,R??f,的x最小值为?4,f?
0???.
（I）当x???????,?时，求函数f?x?的最大值和最小值； 22??
（II）若x??5??????,??，且f?x??1，求cos?x??的值. 12??2??
17. （本小题满分12分）
数列?an?的前n项和为Sn,已知Sn?1?Sn?an?2,a1,a2,a5成等比数列. （I）求数列?an?的通项公式；
（II）若数列?b
n?满足bn?an1?an，求数列?bn?的前n项和Tn.
18. （本小题满分12分）
??已知m?????x,cosx,n??cosx,cosx?,x?R，设f?x??m?n. ?
（I）求f?x?的解析式及单调递增区间；
（II）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a?1,b?c?2,f?A??1，求?ABC的面积.
19. （本小题满分12分）
已知等差数列?an?的前n项和为Sn,且a1?2,S5?30，数列?bn?的前n项和为Tn，且Tn?2n?1.
（I）求数列?an?，?bn?的通项公式；
（II）设cn?lnbn???1?lnSn，求数列?cn?的前n项和Mn. n
20. （本小题满分13分）
已知经过P?4,?2?,Q??1,3?两点的圆C半径小于5，且在y
轴上截得的线段长为 （I）求圆C的方程；
（II）已知直线l//PQ，若l与圆C交于A,B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程.
21. （本小题满分14分）
已知函数f?x??e,g?x??mx?n. x
（I）设h?x??f?x??g?x?.
①若函数h?x?在x?0处的切线过点?1，0?，求m?n的值；
②当n?0时，若函数h?x?在??1，???上没有零点，求m的取值范围；
（II）设函数r?x??1nx?，且n?4m?m?0?，求证：当x?0时，r?x??1. fxgx
山东师大附中2014级高三第二次模拟考试
数学（理科）参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、选择题
二、填空题 （11）
771
；（12）2；（13）2；（14）；（15）?. 692
三、解答题
16.【解析】（Ⅰ）由题意知f(x)?4sin(x?
?
4
)…………3分
当x?[?
??
??3??2
,]时，x??[?,]，?sin(x?)?[?,1]…………5分 2244442
?f(x)min??22,f(x)max?4。…………6分
（Ⅱ）?f(x)?4sin(x?
?
4
)?1，?sin(x?
?
4
)?
1
， 4
??3?5???x?(,?),?x??(,)，?cos(x?)??…………8分
244444
?cos(x?
5????1?
)?cos(x??)?cos(x?)?sin(x?)，………10分 12462424
?
311?35?1
………12分 ?(?)???
24248
17.【解析】（Ⅰ）?Sn?1?Sn?an?2?an?1?Sn?1?Sn?an?2 ?数列{an}是公差为2的等差数列；…………2分
又a1,a2,a5成等比数列，?a1?(a1?4d)?(a1?d)2?a1?(a1?8)?(a1?2)2 ?a1?1，?an?2n?1(n?N*)…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：bn?(2n?1)?22n?(2n?1)?2n…………8分 ?Tn?b1?b2?b3???bn?1?bn
?1?21?3?22?5?23???(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n
?2Tn?1?22?3?23?5?24???(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1 错位相减得：?Tn?2?2(22?23???2n)?(2n?1)?2n?1
4(1?2n?1)?2?2??(2n?1)?2n?1…10分 1?2
?2?2n?2?8?(2n?1)?2n?1??6?(2n?3)?2n?1
?Tn?(2n?3)?2n?1?6…12分
18.【解析】（Ⅰ）?f(x)?sinx?cosx?cos2x…………1分 ??11?cos2x?sin(2x?)?…………3分 sin2x?6222
令??
2?2k??2x??
6??
2?2k????
3?k??x??
6?k?，(k?Z)
?f(x)的单调递增区间为[??
3?k?,?
6?k?](k?Z)…………6分 ?1?1（Ⅱ）由f(A)?sin(2A?)??1?sin(2A?)?， 6262
??13?) 又?A?(0,?),?2A??(,666
?5???2A???A?…………8分 663
?a2?b2?c2?2bc?cosA?(b?c)2?2bc?(1?cosA)…………10分
13?bc?1，?S?ABC?bc?sinA?…………12分 24
19.【解析】（Ⅰ）?{an}是等差数列，?S5?5a1?5?4d?30?5?2?10d?d?2 2?an?2n…………3分
数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn?2n?1.
?b1?1,n?2时bn?Tn?Tn?1?2n?1，?bn?2n?1(n?N*)…………6分 （Ⅱ）Sn?2?n(n?1)?n(n?1)…………7分 2
cn?lnbn?(?1)nlnSn?ln(2n?1)?(?1)nln[n(n?1)] ?(n?1)ln2?(?1)n[lnn?ln(n?1)]…………8分
?Mn?ln2?[0?1?2???(n?1)]?Nn?n(n?1)ln2?Nn 2
其中Nn??(ln1?ln2)?(ln2?ln3)?(ln3?ln4)???(?1)n[lnn?ln(n?1)] ?(?1)nln(n?1)…………10分
?Mn?n(n?1)ln2?(?1)nln(n?1) …………12分 2
20.【解析】（Ⅰ）设圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0， 令x?0?y2?Ey?F?0?y1?y2??E,y1?y2?F， ?4?|y1?y2|?(y1?y2)2?4y1?y2?E2?4F ?E2?4F?48…………①…………2分
又圆过P(4,?2)，Q(?1,3)两点，
?16?4?4D?2E?F?0?4D?2E?F??20?2E?F??12…………② ?????1?9?D?3E?F?0??D?3E?F??10
?D?2?D??10??由①②得：?E?0或?E??8…………4分
?F??12?F?4??
?圆的半径小于5，?圆的方程为x2?y2?2x?12?0…………6分 3?(?2)??1，?设l的方程为：x?y?m?0…………7分 （Ⅱ）kPQ??1?4
?x?y?m?022由?2?2x?(2m?2)x?m?12?0， 2?x?y?2x?12?0
m2?12设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?1?m,x1?x2?…………9分 2
?以AB为直径的圆过原点，?OA?OB，即OA?OB?0…………10分 ?x1?x2?y1?y2?x1?x2?(?x1?m)?(?x2?m)?0 整理得：m2?m?12?0?m?3或m??4，…………11分 ??
且m?3或m??4均满足??0………12分
?l的方程为x?y?3?0或x?y?4?0…………13分
21.【解析】（Ⅰ）①由题意得h?(x)?ex?m，?k?h?(0)?1?m
又h(0)?1?n，?函数h(x)在x?0处的切线方程为y?(1?n)?(1?m)x， 将点(1,0)代入，得m?n?2。…………4分
x②当n?0时，可得h?(x)?ex?m，?x??1,?e?1， e
1时，h?(x)?ex?m?0，?函数h(x)在(?1,??)上单调递增，而h(0)?1， e
1111所以只需h(?1)??m?0?m??，???m?。…………6分 eeee
1当m?时，h?(x)?ex?m?0?x?lnm?(?1,??)， e当m?
x?(?1,lnm)，h?(x)?0，h(x)单调递减；x?(lnm,??)时，h?(x)?0，h(x)单调递增， ?h(x)在(?1,??)上有最小值，h(x)min?h(lnm)?m?mlnm， 令m?mlnm?0?m?e，所以
综上可知：?1?m?e，…………,8分 e1?m?e…………9分 e
nx1nx114x（Ⅱ）由题意，r(x)?， ??x??x?nf(x)g(x)eex?4x?m
14x?1等价于ex(3x?4)?x?4，…………,9分 而r(x)?x?ex?4
令F(x)?ex(3x?4)?x?4，则F(0)?0，
且F?(x)?ex(3x?1)?1，F?(0)?0，……………11分
令G(x)?F?(x)，则G?(x)?ex(3x?2)，
?x?0,?G?(x)?0，?F?(x)在[0,??)上单调递增，?F?(x)?F?(0)?0， ?F(x)在[0,??)上单调递增，即F(x)?F(0)?0，即r(x)?1……………14分
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