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高等数学研究??????????????????????
STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSVol.13,No.6Nov.,2010
原函数存在性与可积性概念辨析
方晓峰,李应岐
(第二炮兵工程学院数学与军事运筹教研室,西安,710025)
摘
要??讨论函数可积性和原函数存在性问题,并结合具体实例分析原函数存在性和可积性之间
中图分类号??O172
的相互关系.
关键词??可积函数;原函数;间断点
在高等数学中,原函数和定积分概念虽建立的背景不同,但通过微积分基本公式的建立,将两者有机的结合起来.与此同时,在学习过程中,许多学生会认为??一个函数可积,则它的原函数必定存在??或??一个函数的原函数存在,则该函数必定可积??,其实这两个结论是不正确的.
本文将结合具体例子,讨论了原函数存在性与可积性之间并没有必然联系.
1??函数可积性与原函数存在性基本结论
在数学分析教材中,函数f(x)在区间[a,b]上的可积性,有以下结论:
定理1??若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在[a,b]上可积.
定理2??若函数f(x)在区间[a,b]上有界,且有有限个间断点,则函数f(x)在[a,b]上可积.
定理3??若函数f(x)在[a,b]上单调,则函数f(x)在[a,b]上可积.
而关于函数f(x)在[a,b]上原函数的存在性问题,则有以下定理:
定理4??若函数f(x)在[a,b]上连续,则积分上限函数
F(x)=
在[a,b]上可导,且
F??(x)=f(x),
即积分上限函数F(x)是其被积函数的原函数.
该定理表明,只要函数是连续函数肯定存在原函数.据此不难得到下面推论:
推论1??基本初等函数在其定义域内原函数存在.
收稿日期:2010-05-18;修改日期:2010-09-04.
作者简介:方晓峰(1977-),男,安徽歙县人,博士在读,讲师,主要从
事机器学习等研究,Email:fangxf_2010@163.com;李应岐(1965-),男,陕西蓝田人,博士,教授,主要从事武,[1??2]
推论2??初等函数在其定义区间内原函数存在.显然,初等函数在其定义域内不一定存在原函数.例如
f(x)=cosx-1,
它的定义域由孤立点构成,所以不存在原函数.
其实,我们还可以进一步证明以下定理.定理5??在区间[a,b]上,每一个具有第一类间断点的函数的原函数一定不存在.
证明??设f(x)在[a,b]上有定义,x0??(a,b)为f(x)的第一类间断点,如果f(x)在[a,b]上有一个原函数F(x),则有
f(x),????x0<x??b,
F??(x)=
f(x0),f(x),
x=x0,a??x<x0.
(??)当x0为可去间断点时,存在
x??x
limf(x)=I,
但是,
I??f(x0).
由拉格朗日中值定理,得
F??(x0)=xlim??x
x??x
??f(t)dt
a
x
F(x)-F(x0)
=
x-x0
limF??(??)=xlimf(??)=I,??x
I??f(x0),
由于所以
F??(x0)??f(x0),
即当x0为可去间断点时,f(x)在[a,b]上的原函数不存在.
(??)当x0为跳跃间断点时,
x??x+
limf(x)=I0,
x??x
limf(x)=I1,-0
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