1． 用Newton 迭代法解方程f?x??x3?3x2?4?0的根x?2，讨论迭代法的收
敛阶，设计修正的方法提高迭代法的收敛阶；并对初值
果保留3位小数。
解：设 f(x)?x3?3x2?4 x0?1.5迭代二步，结
f?(x)?3x2?6x
f??(x)?6x?6
f(2)?0,f?(2)?0,f??(2)?0
所以2是f(x)?0的二重根，故Newton迭代在2附近是线性收敛；构造修正的Newton迭代：
322f(xn)2(xn?3xn?4) xn?1?xn??xn?2?f(xn)3x?6x
2xn?2xn?4 ?3xn
2x0?2x0?4x1??37/18 3x0
x12?2x1?4x2??3997/1998?2.001 3x1
2．给定线性方程组Ax?b，其中
4?2??2?8??b??20?A??49?2????????2?27??，?1??
（1）利用Doolittle（杜利特尔）三角分解求解此线性方程组；
(0)TAv?(1,0,0)（2）使用乘幂法计算矩阵的特征值和对应的特征向量。（初值取。
只需计算前三次迭代，给出计算过程和结果，计算结果保留四位小数。）
U为上三角阵，解：（1）由Doolittle三角分解A?L?U，其中L为单位下三角阵，
得
?a11?a?21??a31
a12a22
a32
a13??10
?la23????211a33????l31l320??u11u12
?0u0??22??1?0???0u13?
u23?? u33??
?24?2??100??24?2?
???210???012? 49?2即???????
???2?27?????121????001??
?Ly?bTT
原方程变为?，解得y??8,4,1?,x??1,2,1?。
?Ux?y（2）v0?(1,0,0)T,u0?
v0T
??1,0,0???1
max(v0)
T
v1?Au0??2,4,?2?，u1?v2?Au1??6,12,?6.5?，u2?
T
T
v1T
??0.5,1,?0.5???4
max(v1)
v2T
??0.5,1,?0.5417???12
max(v2)
v3T
??0.5035,1,?0.5621?，
max(v3)
v3?Au2??6.0834,12.0834,?6.7919?，u3?
??12.0834
3．已知s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定
?1?2x?x30?x?1s(x)??23
?2?b(x?1)?c(x?1)?d(x?1)1?x?2
中的参数b，c和d。
解：记
s1(x)?1?2x?x3
s2(x)?2?b(x?1)?c(x?1)?d(x?1)
由三次样条和自然边界条件的定义，有
2
3
，
s1(1?0)?s2(1?0),s'1(1?0)?s'2(1?0),s''1(1?0)?s''2(1?0)
s''1(0)?0,s''2(2)?0
解得，b??1,c??3,d?1。
4．
确定两点求积公式?2-2f(x)dx?A0f(?A1f系数A0,A1,使求积公式有
?
2
0尽可能高的代数精度。是否是Gauss型的？并用此公式计算积分?
保留四位小数)
解： 令f(x)?1,x求积公式准确成立，有：
sinxdx,(结果
A0?A1?4?? ?A(?A?01?0?
得： A0?A1?2
求积公式：
?f(x)dx?2f(?22?2f 令f(x)?x2,x3 求积公式准确成立的，f(x)?x4求积公式不是准确成立的， 求积公式代数精度为3，是Gauss型的；
?作变换x?(t?2),t?[?
2,2] 8
?
?2
0sinxdx??
?2?8?2sin?8(t?2)dt??8?2?2sin?8(t?2)dt?222 ?
88
?0.9985
[2sin?(??2)?2sin?2))]85．已知函数f(x)满足数表：
-1,2?1）试求f(x)在?上的Hermite插值多项式H(x),使之满足下列条件：
H(xi)?f(xi),i?0,1,2，H?(x1)?0
f(4)(?)R(x)?f(x)?H(x)?(x?1)x2(x?2)(4)4!2）设f(x)?C[0,2]，证明余项，
??(-1,2)
解：(1)设H(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3,由
H(?1)?a0?a1?a2?a3?1
H(0)?a0?0
H(2)?a0?2a1?4a2?8a3?16
H'(0)?a1?0
得H(x)?2x2?3x3
（2）设余项R(x)?f(x)?H(x)?k(x)(x?1)x2(x?2)，k(x)为待求函数。
2?(t)?f(t)?H(t)?k(x)(t?1)t(t?2)，则 构造
?(?1)?0,?(0)?0,?(2)?0,?'(0)?0,?(x)?0
故?(t)有5个零点，?(4)(t)至少有一个零点?：
?(4)(?)?f(4)(?)?4!k(x)?0 f(4)(?)所以k(x)?，余项表达式为 4!
f(4)(?)R(x)?f(x)?H(x)?(x?1)x2(x?2)4!
2?x12?x2?4?0?22x1?x2?1?0x0??1.6,1.2??6．利用逆Broyden迭代法，解方程组，取初值迭代
二步，结果保留3位小数。
逆Broyden秩1方法：
?xi?1?xi?HiF(xi)?(ri)THi ?ii?Hi?1?Hi?(r?Hiy)(ri)THyi
i?
2?x12?x2?2x12x2??4?F'(x)?解：记F(x)??2?2x?2x? ?，则2x?x?1?12??12?
0.15625??0.15625x0?[1.6,1.2]，H0?F'[x0]?1?? ??0.208333?0.208333?
x1?[1.58125,1.225]
y0?[0.000976562,?0.120273]
r0?[?0.01875,0.025]
?0.1543450.154345?H1????0.206428?0.210238?
x2?[1.58114,1.22474]
y1?[?0.000977866,0.000291477]
r1?[?0.000108524,?0.000259077]
?0.1501450.150145?H2????0.202228?0.214438?
?1,2?,?0,1?,?1,2?,?2,4???x??a0?a1x2?7．求数据的最小二乘拟合多项式
解：法方程为
?46??a0??9??618??a???20? ???1???
?a0??7/6?得????。 ?a?1??13/18?
8．应用差分方法：
hyn?1?yn?[K1?3K2]4
?K1?f(xn,yn)?h2?K?f(x+,y?hK1)2nn?33?
?y??-y?y(0)?y0解初值问题?时，讨论步长应取何值方能保证方法的绝对稳定性？
解：应用差分格式为：
K1??yn
K2?(?1?2/3h)yn
yn?1?(1?h?h2/2)yn
h需要满足|1?h?h2/2|?1 ，
所以0?h?2.
9．给定线性多步法：
yn?1?412??1yn?yn?1?hyn333
（1）求出该格式的局部截断误差首项和首项系数；
（2）分析该格式的收敛性；
（3）讨论该格式的绝对稳定性，指出绝对稳定区间。 pp?1?rCr??1?[?(?i)ai?r?(?i)r?1bi]?,r?2,3,?r!?i?0i??1?（在局部截断误差中）
2x?1,x2?1xxx21（参考定理：设和是实系数二次方程?bx?c?0的根，则1的充要条件是
b?1?c,c?1。）
412解：a0?,a1??0,b?1? 333
（1） 把局部截断误差Tn在xn处Taylor展开：
Tn?c0y(xn)?c1hy?(xn)???crhry(r)(xn)??
c0?c1?c2?0
c3??2?0 9
2h3
(3)2h3
(3)Tn??y(xn)????y(?n),?n?(xn,xn?1) 99
（2）c0?c1?0，方法是相容的；
411 第一特征多项式：?(r)?r2?r?，两根为：r0?1,r1?, 333
方法满足根条件；由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。
(3)稳定多项式：?(r;)?(1?)r2?r?234313， 2由绝对稳定性要求知?0, 故1??0 3
由参考定理知：?(r;h)?0的两根r0,1()?1?
?41????1??1?1?33???0 ?1???1?1??3?即方法是无条件绝对稳定的。
1
1． 对于位数有限的实数a?0，给出一个不用除法运算求倒数a的二阶收敛的
1
x迭代公式；分析迭代初值0可以选取的范围；若a?0.324，试求a（迭代4
次，计算结果保留四位小数）。
解：（1）考虑方程f(x)?111?a?0，为此方程的根, f'(x)??2， xax利用Newton法建立迭代公式
xk?1?xk?
迭代函数?(x)?x(2?ax)。 f(xk)?xk(2?axk) f'(xk)
由1?axk?1?1?axk(2?axk)?(1?axk)2有
所以 xk?k1(1?(1?ax0)2) a1?axk?(1?ax0)2 k
22k当0?x0?时，|1?ax0|?1，因此lim(1?ax0)?0，即 k??a
limxk?k??1 a
11又因为?'()?0,?''()?0,所以格式是二阶收敛的。 aa
（2）当a?0.324，0?x0?2/a?6.17284，可取x0?5
x1?x0(2?ax0)?1.9
x2?x1(2?ax1)?2.6304
x3?x2(2?ax2)?3.0190
x4?x3(2?ax3)?3.0845
3467(0,2),(1,),(2,),(4,),(5,)（x）251726。3．利用反差商方法，求有理插值函数R通过
解：构造反差商表如下
所以R(x)?2
?
x2?x
?2
1?x?2?
3?
??5?5
1
4. 确定数值积分公式??1
f(x)dx?A(f(x0)?f(x1)?f(x2))
中的求积系数A和求积
4
1
dx2?x,x,x?4
结点012，使得该公式具有最高代数精度。利用该公式计算积分1?x的近似值。（计算结果精确到四位小数）。
解：（1）由代数精度的定义，分别令f(x)?1,x,x2,x3.使积分公式精确成立，有
3A?2
A(x0?x1?x2)?0A(x?x?x)?2/3
33
A(x0?x13?x2)?02
21
22
2解得，A?,x0?。令f(x)?x4，积分公式不成立，故代数x1?0,x2?
3精度为3。
（2）
1??41?x2dx
11?4?dx
?11?16x2 ?4?A(f(x0)?f(x1)?f(x2))
4
?
88
?3.259327
5．利用共轭梯度法求解线性方程组Ax?b，其中
?2?1?1??0??b??1?A???120????????101??，?0??
(0)Tx?(1,0,0)初值取，给出计算中间过程和结果。
已知的计算过程为：
给定
对x(0)，计算r(0)?b?Ax(0),p0?r(0) k?0,1,?计算
,x(k?1)?x(k)??kpk
,,r(k?1)?r(k)??kApk(r(k),r(k))?k?(pk,Apk)(r(k?1),r(k?1))?k?(r(k),r(k))pk?1?r(k?1)??kpk
解：计算过程如下
r0?[?2,2,1],p0?[?2,2,1],?0?9/29
x1?[11/29,18/29,9/29]
r1?[5/29,4/29,2/29],?0?5/841
p1?[135/841,126/841,63/841],?1?145/81
x2?[2/3,8/9,4/9]
r2?[0,?1/9,2/9],?1?841/729
p2?[5/27,5/81,25/81],?2?9/5
x3?[1,1,1]
r3?[0,0,0]
6．设f(x)充分光滑，给出的带有余项的中矩形求积公式
?
误差。
baa?bf??(?)f(x)dx?(b?a)f()?(b?a)3,??[a,b]224 将[a,b]区间n等分，试导出复化中矩形求积公式；分析复化中矩形求积公式的
解：记分点xk?kh,h?b?a,k?0,1,?n。则在每个单元上用中矩形求积公式：n
?b
af(x)dx???k?0n?1xk?1xkf(x)dx?h?f(k?0n?1xk?xk?1)?Rn(f) 2复化中矩形求积公式h?f(
k?0n?1xk?xk?1) 2
余项为
Rn(f)??k?0n?1f??(?k)3h3n?1h??f??(?k) 2424k?0
1n?1
存在??(a,b)，使得f"(?)??f??(?k)，所以 nk?0
Rn(f)?(b?a)2hf"(?) 24
7．考虑下面的Hermite插值问题：
x,xx?x1）f(x0),f(x1)和在x0的导数值f?(x0)。 已知函数f(x)在01（0的函数值
（1）构造二次多项式H2(x)满足条件：
?(x0)?f?(x0)H2(x0)?f(x0),H2(x1)?f(x1),H2
f(x)?H2(x)。 （2）若f(x)充分光滑，试分析误差
解：(1)设H2(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?A(x?x0)(x?x1), ?(x0)?f?(x0),得 由H2
A?f[x0,x1]?f'(x0) x1?x0
（2）设余项R(x)?f(x)?H2(x)?k(x)(x?x0)2(x?x1)，k(x)为待求函数。 构造?(t)?f(t)?H2(t)?k(x)(t?x0)2(t?x1)，则
?(x0)?0,?(x1)?0,?'(x0)?0,?(x)?0
故?(t)有4个零点，?(3)(t)至少有一个零点?：
?(3)(?)?f(3)(?)?6k(x)?0
f(3)(?)所以k(x)?，余项表达式为 6
f(3)(?)R(x)?f(x)?H2(x)?(x?x0)2(x?x1)， 6
0.8．取h?2利用四阶经典Runge-Kutta格式求解下面初值问题（计算到x?0.6，结果保留四位小数）
?y???y?x?1,0?x?1??y(0)?1
四阶经典Runge-Kutta公式:
hyn?1?yn?(K1?4K2?4K3?K4) 6
?K1?f(xn,yn)??K2?f(xn?,yn?hK1)?2??K?f(x,y?hK)n2n??32?K?f(x,y?hK)n?1n3?4
解：(1)方法为
hyn?1?yn?(K1?4K2?4K3?K4) 6
K1?h(?yn?xn?1)??K?h(?(y?0.5hK)?(x?0.5h)?1)?2n1n ?K?f(?(y?0.5hK)?(x?0.5h)?1)n2n?3
??K4?f(?(yn?hK3)?(xn?h)?1,)
结果为
n?1,K1?0,K2?0.1,K3?0.09,K4?0.182,y1?1.0124
n?2,K1?0.1876,K2?0.26884,K3?0.260716,K4?0.335457,y2?1.04749n?3,K1?0.352513,K2?0.417262,K3?0.410787,K4?0.470356,y3?1.10252 x?0.6,y3?1.10252
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