第三届（1961年）
匈牙利 维斯普雷姆（Veszprém，Hungary）
1. 设a，b为常数，解方程组
?x?y?z?a?2222?x?y?z?b，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的?xy?z2?
正数。（匈牙利）
2. 设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S。证明a2?b2?c2?4S并说明何时取等号。（波兰）
3. 解方程cosnx?sinnx?1，n是自然数。（保加利亚）
4. 设P是三角形P1P2P3内一点。直线P1P，P2P，P3P分别与其对边相交于Q1，Q2，Q3。证明数字
（民主德国）
5. 作三角形ABC满足AC=b，AB=c，且∠AMB=ω，其中M是线段BC的中点且ω<90°。证明：当且仅当btan
立。（捷克斯洛伐克）
6. 三个不共线的点A、B、C在平面ε的同一侧；假设平面ABC不与平面ε平行。在平面ε上任取三个点A’、B’、C’。设L、M、N分别为线段AA’，BB’，CC’的中点，G为三角形LMN的重心（不考虑使L、M、N不能构成三角形的情况）。问：当A’、B’、C’各自变化时，G的轨迹是什么？（罗马尼亚）
PPPPP1P,2,3至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。PQ1PQ2PQ3?2?c?b时可作出此三角形，并说明何时等号成
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