第二十四届（1983年）
法国 巴黎（Paris，France）
1. 找出所有的函数f，它定义域和值域为正实数集，并满足以下要求： i) 对于所有正数x、y都有f(xf(y)) = yf(x)；
ii) 当x→∞时，f(x)→0。（英国）
2. 设A是同一平面上不全等的两个圆心分别为O1和O2的圆C1和C2的两个交点的其中一个。一条公切线分别切C1于P1，切C2于P2；另一条分别切C1于Q1，切C2于Q2。设M1是P1Q1的中点，M2是P2Q2的中点。证明∠O1AO2=∠M1AM2。（苏联）
3. 设a、b、c为正整数，它们两两互质。说明2abc-ab-bc-ca是不能用xbc+yca+zab表示的最大的整数，其中x、y、z是非负整数。（联邦德国）
4. 设ABC是一个等边三角形，ε是在三条线段AB、BC、CA（包括A、B、C）上所有点的集合。判断是否对于ε划分的两个不相交的子集，两个子集中至少有一个包括一个直角三角形的三个顶点。证明你的判断。（比利时）
5. 选择1983个不同的正整数，它们都小于或等于105，没有任何三个数字成等差数列。有可能吗？证明你的答案。（波兰）
6. 设a、b、c是三角形的三边。求证：a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0，并判断何时等号成立。（美国）
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