第二十七届（1986年）
波兰 华沙（Warsaw，Poland）
1. 设d是不等于2,5,13的任意整数。说明在集合{2,5,13,d}可以找到两个不同的数a、b，使得ab-1不是完全平方数。（联邦德国）
2. 平面上有一个三角形A1A2A3和一点P0。我们定义对于所有的s≥4都有As=As-3。我们构造一组点P1，P2，P3，…，使得Pk+1是Pk绕点Ak+1顺时针旋转120°得到的（k=0,1,2，…）。证明如果P1986=P0，那么三角形A1A2A3是等边三角形。（中国）
3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使五个整数的和为正。如果三个连续的顶点分别被赋值为x、y、z且y<0，那么执行下面的操作：数字x、y、z分别被x+y、-y、z+y代替。只要五个数中有一个数是负的，就重复执行操作。判断是否可以在有限步后结束操作。（民主德国）
4. 设A、B是平面上一个中心为O的正n边形（n≥5）的相邻顶点。一个三角形XYZ，开始与三角形OAB重合，现用如下的方式移动三角形XYZ：保持Y、Z始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。（以色列）
5. 找到所有满足条件的函数f，它定义在非负实数上，取值也为非负实数，且满足：
i) 对于所有的x,y≥0，都有f(xf(y))=f(x+y)；
ii) f(2)=0；
iii) 对于0≤x＜2有f(x)≠0。（英国）
6. 给定平面上一个有限的点集，每个点的坐标值都为整数。试问有没有可能用红色给点集中的一些点上色，并用白色给其它点上色，使得任何一条与坐标轴平行的直线L上，白点个数和红点个数的差不大于1？（民主德国）
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