高中毕业班第二次模拟考试试卷
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合M?{?1,0,1,2,3},N?{?2,0}，则下列结论正确的是
A．N?M B．M?N?N C．M?N?M D．M?N??0?
2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是
A．y?2 B．y?tanx C．y?x D．y?log3x
3、已知复数z满足(1?i)z?i2015(其中i为虚数单位)，则z的虚部为
A．?x31111 B．? C．i D．?i2222
4、等比数列?an?为等差数列，且a1?a7?a13?4，则a2?a12的值为
A．48 B． C．2 D．433
?x?y?3?5、设变量x,y满足约束条件?x?y??1，则目标函数z?2x?3y的最小值为
?2x?y?3?
A．6 B．7 C．8 D．23
6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为
A．1215 B． C． D．6151236
7、在平面直角坐标系中，角?的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半
轴重合，终边过点P(?1)，则sin(2???
2)?
A
11
．． D．?228、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．10520 B． C． D．4333
9、执行右下方的程序框图，如果输入的N?4，那么输出的S的值为
111111?? B．1??? 23423?24?3?2
11111111??C．1????D．1?? 234523?24?3?25?4?3?2A．1?
SA?平面ABC,?BAC?120?,SA?AC?2,AB?1，10、在四面体S-ABC中，
则该四面体的外接球的表面积为
A．11? B．7? C．10?40? D． 33
11、已知F是抛物线x2?4y的焦点，直线y?kx?1与该抛物线交于第一象
限内的零点A,B，若AF?3FB，则k的值是
A
． C
． D
． 323
x?1??1?1?xx?(??,2)12、已知函数f?x???，设方程f?x??22的根从小到大依次为??2f(x?2)x?[2,??)
x1,x2,?,xn,?,n?N?，则数列{f(xn)}的前n项和为
nn?122A．n B．n?n C．2?1 D．2?1
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
?????13、已知向量a?(2,1),b?(x,?1)，且a?b与b共线，则x的值为
14、函数f?x??sin2x?4sinxcosx(x?R)的最小正周期为3
15、已知条件p:x?3x?4?0；条件q:x?6x?9?m?0，若?q是?p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是
?x16、15、设点P、Q分别是曲线y?xe(e是自然对数的底数）和直线y?x?3上的动点，222
则P、Q 两点间距离的最小值为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足bcosA?(2c?a)cos(??B)
（1）求角B的大小；
（2）若b?4,?
ABCa?c的值。
18、（本小题满分12分）
4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”
（1）求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（经频率视为频率）
（2）根据已知条件完成下面2?2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
19、（本小题满分12分）
已知PA?平面ABCD,CD?AD,BA?AD,CD?AD?AP?4,AB?1。
（1）求证：CD?平面ADP；
（2）若M为线段PC上的点，当BM?PC时，求三棱锥B?APM的体积。
20、（本小题满分12分）
x2y2，离心率为 已知椭圆C:2?2?1(a?b?
0)经过点(1,。 ab2
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P(0,?)，求直线l的方程。
21、（本小题满分12分）
已知函数f?x??e?x?2,(e是自然对数的底数)。 x32
（1）求函数f?x?的图象在点A(0,?1)处的切线方程；
（2）若k为整数，且当x?0时，(x?k?1)f??x??x?1?0恒成立，其中f??x?为f?x?的导函数，求k的最大值。
请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图：?O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于
点P，E为?O上一点，?AE??AC,DE交AB于点F。
（1）求证：O,C,D,F四点共圆；
（2）求证：PF?PO?PA?PB.
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
1?x?2?t?2?(t为参数） 在平面直角坐标系xOy中，直线l
的参数方程?，以坐标原点为极点，
?y???x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：??4cos?。
（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；
（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（??0,0???2?）
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f?x??2x?a?2x?(a?0),g?x??x?2。
（1）当a?1时，求不等式f?x??g?x?的解集；
（2）若f?x??g?x?恒成立，求实数a的取值范围。
2015年石家庄市高三数学第二次模拟考试
（文科答案）
一、选择题：
1-5 DCABB 6-10 ADBBC 11-12 DC
二、填空题：
14.13. -2 ?2
3215.m?4或m??4
三、解答题：
16. 2
17． 解: （Ⅰ） QbcosA?(2c?a)cos???B?
?bcosA?(?2c?a)cosB…………………………1分
?sinBcosA?(?2sinC?sinA)cosB…………………………3分 ?sin(A?B)??2sinCcosB
∴ cosB??…………………………5分 1
2
2?…………………………6分 3
1 (Ⅱ)
由S?ABC=acsinB?a c＝4…………………………8分. 2∴ B?
由余弦定理得b＝a＋c+ac222?(a+c )2?ac?16…………………10分 ∴ a＋
c ?…………………………12分
18.解：(Ⅰ)由已知可得：（0.01+0.02+0.03+x+0.015）*10=1, 可得x=0.025
……………………2分
因为（ 0.025+0.015）*10=0.4，将频率视为概率，由此可以估算出全校3000名学生中读书迷大概有1200人……………………4分
(Ⅱ) 完成下面的2?2列联表如下
……………………8分
K2?100(40?25?15?20)2
60?40?55?45≈8.249 ……………………10分
8.249 > 6.635，
故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。 ……………………12分
19. (1)证明：
因为PA⊥平面ABCD，PA?平面ADP，
所以平面ADP⊥平面ABCD. ………………………………2分 又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADP. ………………………………………4分
(2)取CD的中点F，连接BF，
在梯形ABCD中，因为CD=4，AB=2，
所以BF⊥CD.
又BF=AD=4，所以BC=25.
在?ABP中，由勾股定理求得BP=2.
所以BC=BP. ………………………………………………………7分 又知点M在线段PC上，且BM⊥PC，
所以点M为PC的中点. ………………………………………9分 在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q，连接QB，QA， 则
V三棱锥B—APM?V三棱锥M—APB?V三棱锥Q—APB?V三棱锥B—APQ
=1
3?(1
2?4?2)?2?8
3.……12分
?c=??2文20．解：
（Ⅰ）由题意得?a，解得a=2，b?1． ?1?3?1??a24b2
x2
?y2?1． …………… 4分 所以椭圆C的方程是4
（Ⅱ）设直线l的方程设为y?kx?t，设A(x1,y1),B(x2,y2)， ?y?kx?t?222联立?x2消去得(1?4k)x?8ktx?4t?4?0 y2??y?1?4
?8kt4t2?4则有x1?x2?，x1x2? …………… 6分 1?4k21?4k2
??0?4k2?1?t2
y1?y2?kx1?t?kx2?t?k(x1?x2)?2t?2t 1?4k2y1y2??kx1?t??kx2?t??k2x1x2?kt?x1?x2??t2
22t2?4??2kt?24t?4k ?k?kt??t?22?24?k4?k?4?k?2
uuruuur因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以OAgOB?0?x1x2?y1y2?0
t2?44t2?4k2
x1x2?y1y2???0?5t2?4?4k2 …………… 8分 221?4k1?4k
??0?4k2?1?
t2?t?
或t?， x1?x2y1?y2?4ktt?n??， 21?4k221?4k2
3??nt11?得 ………… 10分 ???1?4k22k?m又设A,B的中点为D?m,n?，则m?因为直线PD于直线l垂直，所以kPD
1?t?t1?1???由?1?4k22解得?3， t2???5t2?4?4k2?5??
3时，??0不成立. 5
1当t?1时，k??， 2
11所以直线l的方程为y?x?1或y??x?1.… 12分 22当t??
解法二
（Ⅱ）设直线l的斜率为k，设A(x1,y1),B(x2,y2)，A,B的中点为D?x0,y0?， 所以k?x?x2y1?y2 ，x0?1
2x1?x2，y0?y1?y2 2
?x122?y?1?1?4由题意?2?x2?y2?12??4
(1)式?(2)式得(1)， (2)?x1?x2??x1?x2??4?y1?y2??y1?y2??0?
y11?y1?y2??y1?y2???0??k0?0 4x04x1?x2x1?x2y0?
x03?k??1 又因为直线PD与直线l垂直，所以
y0?1?k?0?41x0???y0?由?解得?2 …………… 6分 3?y0???x0??2k?k??1??x0
设直线l的方程设为y?y0?k?x?x0??y?kx?2k?21， 2
1?2y?kx?2k??2?22222(1?4k)x?4kk?1x?4k?1?4?0 联立?消去y得????2?x?y2?1??4
x1?x2?2x0??4k，x1x2??4k2?1??42
1?4k2
2?21?2242k??4k22??4k?1??42??21??2?22?2k4k?1?2k?= y1y2?k????224?k1?4k2??
???????因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以0A?OB?0?x1x2?y1y2?0
?21?2242k??4k2??4k?1??42?2??2x1x2?y1y2???0?5?4k?1??16?1?k2? 221?4k4?k
解得k??21， 2
所以直线l的方程为y?
11x?1或y??x?1.… 12分 22
21.解析：（1）f(x)?e?x?2,x?R，f(x)?e?1,x?R， .............2分 x/x
f/(0)?0 曲线f(x)在点A(0,?1)处的切线方程为y??1. ………………4分
（2）当x?0时，e?1?0，所以不等式可以变形如下： x
(x?k?1)f/(x)?x?1?0?(x?k?1)(ex?1)?x?1?0?k?
①.................6分
x?1?x?1ex?1
?xex?1ex(ex?x?2)x?1/令g?x??x?1?. ?x?1，则g?x??22xxe?1e?1e?1函数h(x)?e?x?2在?0,???上单调递增，而h(1)?0,h(2)?0. x
所以h(x)在?0,???上存在唯一的零点，故g(x)在?0,???上存在唯一的零点. /
设此零点为?，则???1,2?.
当x??0,??时，g(x)?0；当x???,???时，g(x)?0； //
所以，g(x)在?0,???/上的最小值为g(?).由g(?)?0,可得
e????2,....................10分
所以，g(?)???2??3,4?.由于①式等价于k?g(?).
故整数k的最大值为
3. .................12分
22．解析：（1）连接OC，OE，
1因为?AE??AC，所以?AOC??AOE??COE，.................2分 2
又因为?CDE?1?COE， 2
则?AOC??CDE，
所以O,C,D,F四点共圆.………………5分
（2）因为PBA 和PDC是?O的两条割线，
所以PD?PC?PA?PB，……………7分
因为O,C,D,F四点共圆,
所以?PDF??POC，又因为?DPF??OPC，
则?PDF∽?POC， 所以PDPF，即PF?PO?PD?PC ?POPC
则PF?PO?PA?PB.………………10分
1?x?2?t?2?23．解析：（1）将直线l:
?（t为参数）消去参数t，化为普通方
程
?y????y??0，……………………2分
将??x??cos??y??
0cos???sin???0.…………4分 ?
y??sin?
（2）方法一：C的普通方程为x2?y2?4x?0.………………6分
由?y??0解得：??x?1??x?38分 ??22x?y?4x?0y?????
?
?y?5??)
，).………………10分
36所以l与C交点的极坐标分别为：(2,
方法二：由cos???sin???0，……………6分 ??4cos???
得：sin(2???
3)?0，又因为??0,0???2?………………8分 ??????2??所以? 5?或????????3?
6?
所以l与C交点的极坐标分别为：(2,5??)
，).………………10分 36
24．解析：（1）当a?1时，|2x?1|?|2x?1|?x?2
1??x??2?无解， ????4x?x?2
1?11???x?， ?0?x?22?2??2?x+2
1?12?x?2??x?………………………3分 ?23??4x?x?2
综上，不等式的解集为{x0?x?.………………5分
（2）|2x?a|?|2x?1|?x?2，转化为|2x?a|?|2x?1|?x?2?0 令h(x)?|2x?a|?|2x?1|?x?2， 23
1??5x?a?3,x???2?1a?因为a>0,所以h(x)???x?a?1,??x?， 22?a?3x?a?1,x??2?
………………8分
在a>0下易得h(x)min?
aa?1,令?1?0,a得a?2.a………………10分 22
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