高中毕业班第二次模拟考试试卷
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合U?{y|y?log2x,x?1},P?{y|y?1,x?2}，则CUP?x
111A．(0,) B．(0,??) C．[,??) D．(??,0)?[,??)222
2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是
A．y?2 B．y?tanx C．y?x D．y?log3x
3、已知复数z满足(1?i)z?i2015(其中i为虚数单位)，则z的虚部为
A．?x31111 B．? C．i D．?i2222
4、等比数列?an?的前n项和为Sn，已知S3?a2?5a1,a7?2，则a5?
A．11 B．? C．2 D．?222
?x?y?3?5、设变量x,y满足约束条件?x?y??1，则目标
?2x?y?3?
函数z?2x?3y的最小值为
A．6 B．7 C．8 D．23
6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为
A．1215 B． C． D．6151236
10520 B． C． D．43337、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．
8、执行右下方的程序框图，如果输入的N?4，那么输出的S的值为
111111??B．1???23423?24?3?2
11111111??C．1????D．1??234523?24?3?25?4?3?2A．1?
9、在平面直角坐标系中，角?的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半 轴重合，终边过点P(sin?,cos)，则sin(2??)? 8812??
A
11
．． D．? 2210、在四面体S-ABC中，SA?平面ABC,?BAC?120?,SA?AC?2,AB?1， 则该四面体的外接球的表面积为
A．11? B．7? C．
210?40? D． 3311、已知F是抛物线x?4y的焦点，直线y?kx?1与该抛物线交于第一象限
内的零点A,B，若AF?3FB，则k的值是
A
C
数12、设函f1?x??x2,f2?x??2(x?x2),ai?
ki,i?0,1,2,?,9999，记Sk?|1kf(?a)0kf(?a)2k |?f|a(f)a()|
???|fk(a99)?fk(a98)|,k?1,2，则下列结论正确的是
A．S1?1?S2 B．S1?1?S2 C．S1?1?S2 D．S1?1?S2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
?????13、已知向量a?(2,1),b?(x,?1)，且a?b与b共线，则x的值为
14、已知x8?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2???a8(x?1)8，则a7??x15、设点P、Q分别是曲线y?xe(e是自然对数的底数）和直线y?x?3上的动点，则P、
Q 两点间距离的最小值为
16、在平面直角坐标系中有一点列Pn1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn),?对?n?N，点P在函数y?a(0?a?1)的图象上，又点An(n,0),P且n(an,bn),An?1(n?1,0)构成等腰三角形，x?
PnAn?PnAn?1
若对?n?N，以bn,bn?1,bn?2为边长能构成一个三角形，则a的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足bcosA?(2c?a)cos(??B)
（1）求角B的大小；
（2）若b?4,?
ABCa?c的值。
18、（本小题满分12分）
4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”
?
（1）根据已知条件完成下面2?2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）
19、（本小题满分12分）
已知PA?平面ABCD,CD?AD,BA?AD,CD?AD?AP?4,AB?1。
（1）求证：CD?平面ADP；
（2）M为线段CP上的点，当BM?AC时，求二面角C?AB?M的余弦值。
20、（本小题满分12分）
x2y2 已知椭圆C:2?2?1(a?b?
0)经过点 ab
（1）求椭圆C的方程；
（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点
11P(0,)，若cos?APB?，求直线l的方程。 33
21、（本小题满分12分）
已知函数f?x??e?ax?2,(e是自然对数的底数，a?R)。 x
（1）求函数f?x?的单调递增区间；
（2）若k为整数，a?1，且当x?0时，
导函数，求k的最大值。
请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图：?O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于
点P，E为?O上一点，?AE??AC,DE交AB于点F。
（1）求证：O,C,D,F四点共圆；
（2）求证：PF?PO?PA?PB.
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 k?xf??x??1恒成立，其中f??x?为f?x?的x?1
1?x?2?t?2?(t为参数） 在平面直角坐标系xOy中，直线l
的参数方程?，以坐标原点为极点，
?y???x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：??4cos?。
（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；
（2）求直线l的曲线C交点的极坐标（??0,0???2?）
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f?x??2x?a?2x?(a?0),g?x??x?2。
（1）当a?1时，求不等式f?x??g?x?的解集；
（2）若f?x??g?x?恒成立，求实数a的取值范围。
2015年石家庄市高三数学第二次模拟考试
（理科答案）
一、选择题：
1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB
二、填空题：
13. ?2 14. 8
15 32?1?a?1 16. 22
三、解答题：
17.解: （Ⅰ） QbcosA?(2c?a)cos???B?
?bcosA?(?2c?a)cosB…………………………1分
?sinBcosA?(?2sinC?sinA)cosB…………………………3分 ?sin(A?B)??2sinCcosB
∴ cosB??…………………………5分 1
2
2?…………………………6分 3
1 (Ⅱ)
由S?ABC=acsinB?a c＝4…………………………8分. 2∴ B?
由余弦定理得b＝a＋c+ac222?(a+c )2?ac?16…………………10分 ∴ a＋
c ?…………………………12分
18．解（1）完成下面的2?2列联表如下
……………… 3分
100(40?25?15?20)2
K?≈8.249 60?40?55?452
8.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。...……………..6分
（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为知X～B（3，2. 由题意可52i2i33?i），P(x=i)=e （i=0，1，2，3）………………8分 3()()555
从而分布列为
.……………… 10分
E(x)=np=618 (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分 525
19.（1）证明：
因为PA⊥平面ABCD，PA?平面ADP，
所以平面ADP⊥平面ABCD. …………………………………………2分
又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADP. ……………………………………………………4分
（2）AD，AP，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系，
则A（0，0，0），B（0，0，1），
z
C（4，0，4），P（0，4，0），则?(0,0,1)，?(4,0,4)，
AP?(0,4,0)，PC?(4,?4,4).………………………………6分
设M（x, y , z), PM??PC(0???1)，则x
PM?(x,y?4,z).
y
?x?4??所以(x,y?4,z)??(4,?4,4)，?y?4?4?，
?z?4??
M(4?,4?4?,4?)，BM?(4?,4?4?,4??1).
因为BM⊥AC，所以??0，(4?,4?4?,4??1)?(4,0,4)?0，解得??所以M?,,?，. …………………………………………8分 1， 8?171?
?222?
设n1?(x1,y1,z1)为平面ABM的法向量， ??n1??0?171?则?，又因为?(0,0,1)，??,,? ?222???n1?AM?0
?z1?0?所以?1. 71x1?y1?z1?0?22?2
令y1?1得n1?(?7,1,0)为平面ABM的一个法向量.
又因为AP⊥平面ABC，所以n2?(0,4,0)为平面ABC的一个法向量.…………………10分
cos?n1,n2??12?42， ?45010
2.…………………………12分 10 所以二面角C—AB—M的余弦值为
法2：
在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，
在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分， 因为AP⊥平面ABCD，
所以HM⊥平面ABCD.
又因为AC?平面ABCD，
所以HM⊥
AC.
又BH∩HM=H, BH?平面BHM，HM?平面BHM，
所以AC⊥平面BHM.
所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分 在直角?ABH中，AH=22AB?， 22
AH1?. AC8
PM1?. 又HM∥AP，所以在?ACP中，PC8又AC=CD2?DA2?42，所以
在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在?PCD中，
因为AB∥CD，所以MN∥BA.
连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.
所以AB⊥AD，AB⊥AN.
所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分
在?PAD中，过点N作NS∥PA交DA于S，则PN1?. PD8AS1?， AD8
所以AS=52771，NS?PA?，所以NA=. 8222
所以cos?DAN?cos?SAN?AS2?. NA10
2. …………………………………………12分 10所以二面角C—AB—M的余弦值为
?c=??220．解：
（Ⅰ）由题意得?a，解得a=2，b?1．
?1?3?1??a24b2
x2
?y2?1． ……………………… 4分 所以椭圆C的方程是4
（Ⅱ）设直线l的方程设为y?kx?t，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?kx?t?222联立?x2消去得(1?4k)x?8ktx?4t?4?0 y2??y?1?4
?8kt4t2?4则有x1?x2?，x1x2?， 221?4k1?4k
由??0?4k?1?t； 22
2t …………… 6分 21?4k
x?x2y1?y2?4ktt?n??设A,B的中点为D?m,n?，则m?1， 21?4k221?4k2
1?nt11??因为直线PD于直线l垂直，所以kPD???得 ………… 8分 21?4k9k?my1?y2?kx1?t?kx2?t?k(x1?x2)?2t?
??0?4k2?1?t2??9?t?0 因为cos?APB?2cos?APD?1??
21所以cos?APD?
,?tan?APD?
33
AB所以?
PD?，
PDAB?
?
?………10分
AB
t1??由
?解得 ?21?4k9PDt?
?1???9,0?，k?
直线l的方程为y
?1或y??1. ………… 12分
解法二
（Ⅱ）设直线l的斜率为k，设A(x1,y1),B(x2,y2)，A,B的中点为D?x0,y0?， 所以k?x?x2y1?y2 ，x0?1
2x1?x2，y0?y1?y2 2
?x12?y12?1??4由题意?2?x2?y2?12??4
(1)式?(2)式得(1)， (2)?x1?x2??x1?x2??4?y1?y2??y1?y2??0?
y11?y1?y2??y1?y2???0??k0?0 4x04x1?x2x1?x2y0?
x01?k??1 又因为直线PD与直线l垂直，所以
y0?1?k?01??4x0y??0???9由?解得? …………… 6分 1?x?4k?y0?0?k??1??9?x?0
因为cos?APB?2cos?APD?1??
21所以cos?APD?
,?tan?APD?
3AB
所以? ………8分
PD
PD?
??4k2?1设直线l的方程设为y?y0?k?x?x0??y?kx?， 9
?4k2?122y?kx?2?8k4k?1????4k?1?922x?4联立?消去y得(1?4k)x????4?0 29?9??x?y2?1??4
?4k2?1?4???49?8x1?x2?2x0?k，x1x2??， 91?4k2
由??0?k?20
AB?
?
22
?
………10分 AB?PD
?k???0?k2?20. 4k2?1
，由y?kx?得直线l
的方程为y??1或y??1. ……… 12分 9
21.解析：（1）f(x)?e?a,x?R.
/若a?0，则f(x)?0恒成立，所以，f(x)在区间???,???上单调递增.........2分
/若a?0，当x??lna,???时，f(x)?0，f(x)在?lna,???上单调递增. /x
综上，当a?0时，f(x)的增区间为???,???；当a?0时，f(x)的增区间为?lna,??? . ........................................................ 4分
k?xf?(x)?1?(k?x)(ex?1)?x?1 x?1
x?1xx当x?0时，e?1?0，故(k?x)?e?1??x?1?k?xx ————①......6分 e?1（2）由于a?1，所以，
x?1?xex?1ex(ex?x?2)/?x(x?0)，则g?x??令g?x??x?1?. 22xxe?1e?1e?1
函数h(x)?ex?x?2在?0,???上单调递增，而h(1)?0,h(2)?0.
所以h(x)在?0,???上存在唯一的零点，
故g(x)在?0,???上存在唯一的零点. .............................8分 /
设此零点为?，则???1,2?.
当x??0,??时，g/(x)?0；当x???,???时，g/(x)?0；
所以，g(x)在?0,???/上的最小值为g(?).由g(?)?0,可得e????2, .........................................................10分
所以，g(?)???1??2,3?.由于①式等价于k?g(?).
故整数k的最大值为2. .............................................12分
22．解析：（1）连接OC，OE，
1因为?AE??AC，所以?AOC??AOE??COE，.................2分 2
又因为?CDE?1?COE， 2
则?AOC??CDE，
所以O,C,D,F四点共圆.………………5分
（2）因为PBA 和PDC是?O的两条割线，
所以PD?PC?PA?PB，……………7分
因为O,C,D,F四点共圆,
所以?PDF??POC，又因为?DPF??OPC，
则?PDF∽?POC， 所以PDPF，即PF?PO?PD?PC ?POPC
则PF?PO?PA?PB.………………10分
1?x?2?t?2?23．解析：（1）将直线l:
?（t为参数）消去参数t，化为普通方
程
?y????y??0，……………………2分
将??x??cos??y??
0cos???sin???0.…………4分 ?
y??sin?
（2）方法一：C的普通方程为x2?y2?4x?0.………………6分
由?y??0解得：??x?1??x?38分 ??22???
x?y?4x?0?
y???y?5??)
，).………………10分
36所以l与C交点的极坐标分别为：(2,
cos???sin???0方法二：由，……………6分 ??4cos???
得：sin(2???
3)?0，又因为??0,0???2?………………8分 ??????2??所以?5?或?? ??????3?
6?
所以l与C交点的极坐标分别为：(2,5??)
，).………………10分 36
24．解析：（1）当a?1时，|2x?1|?|2x?1|?x?2
1??x??2?无解， ????4x?x?2
1?1??x?1?， ?0?x?2?22??2?x+2
1?12?x?2??x?………………………3分 ?23?4x?x?2?
综上，不等式的解集为{x0?x?.………………5分 2
3
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