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惠州市2017届第二次调研考试
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1）已知集合A?{x0?x?2},B?{xx?x?0}，
则A?B?()
（A）(??,1]?(2,??) （B）(??,0)?(1,2)
（C）[1,2) （D）(1,2]
（2）若复数z满足iz?1?2i，其中i为虚数单位，
则在复平面上复数z对应的点的坐标为（ ）
（A）(?2,?1) （B）(?2,1)（C）(2,?1)（D）(2,1)
（3）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ）
（A）0 （B）?1 （C）?213 （D）? 22
（4）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点， 那么＝()
（A）1111?（B）AB?AD 2342
1112?（D）?
3223（C）
文科数学试题第 1 页 （共 13 页）
（5）在射击训练中,某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”, 命题q是
“第二次射击击中目标”,则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示为．．
（ ）
（A）??p????q? （B）p???q? （C）??p????q? （D）p?q
（6）已知a?21.2，b?20.8，c?2log52，则a,b,c的大小关系为( )． （A）c?b?a （B）c?a?b （C）b?a?c （D）b?c?a
x2y2
（7）已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线与直线x?2y?1?0垂直，ab
则双曲线的离心率为( )
（A）3 （B） （C）5 （D）2 2
（8）等差数列{an}的前9项的和等于前4项的和，若a1?1,ak?a4?0，则k?（ ）
（A）3 （B）7 （C）10 （D）4
（9）已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,?????0)的最小正周期是?，将函数f(x)图
象向左平移?个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1)，则函数3
??
??f(x)?sin(?x??)（ ） （A）在区间[?（C）在区间[?????,]上单调递减（B）在区间[?,]上单调递增 6363,]上单调递减（D）在区间[?,]上单调递增 3636
（10）在正四棱锥P?ABCD中，PA?2，直线PA与平面ABCD所成角为60?，E为
PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（ ）
（A）90 （B）60 （C）45 （D）30 ????
?2x?y?1?0?（11）设关于x,y的不等式组?x?m?0表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足
?y?m?0?
x0?2y0?2，则m的取值范围是（ ）
文科数学试题 第 2 页 （共 13 页）
（A）(??,?) （B）(?,0) （C）(??,?) （D）(??,?) （12）定义在R上的函数y?f(x)满足f(3?x)?f(x)，(x?)f'(x)?0，若x1?x2，且x1?x2?3，则有( )
（A）f(x1)?f(x2) （B）f(x1)?f(x2) （C）f(x1)?f(x2) （D）不确定 4323132332
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知直线x?y?1?0与曲线y?lnx?a相切，则a的值为___________．
（14）已知两点A(2,0)，B(0,2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 ．
（15）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?a5?0则S5?． S2
（16）已知球O的半径为R，A,B,C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为1R，AB?AC?BC?3，则球O的表面积为． 2
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，已知tan(A?
(Ⅰ) 求A； （Ⅱ）若a?7,b?2，求△ABC的面积．
（18）（本小题满分12分）
已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如?6)?． 3
,200)时，拥挤等级为“良”下规定：当n?[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n?[100；
当n?[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n?300时，拥挤等级为“严重拥挤”。该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：
文科数学试题 第 3 页 （共 13 页）
（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a,b的值，并估计该景区6月份游客
人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
天遇到
的游客拥挤等级均为“优”的概率．
（19）（本小题满分12分）
下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD?平面ABCD，EC//PD，且
PD?AD?2EC?2，N为线段PB的中点．
（Ⅰ）证明：NE?PD； （Ⅱ）求三棱锥E?PBC的体积．
（20）（本小题满分12分）
2
动点P在抛物线x?2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设PM?
1
. 2
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点S(?4,4)，过点N(4,5)的直线l交轨迹E于A,B两点，直线SA,SB的
斜率分别为k1,k2，求k1?k2的最小值．
文科数学试题 第 4 页 （共 13 页）
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x2?(a?2)x?alnx(a?R)．
（Ⅰ）求函数y?f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当a?1时，证明：对任意的x?0，f(x)?ex?x2?x?2．
请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x??m?? 已知过点P(m,0)的直线l
的参数方程是?（t为参数）．以平面直角坐
?y?1t??2
标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??2cos?.
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A,B，且|PA|?|PB|?1，求实数m的值．
(23)（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲
设函数f(x)?|2x?3|?|x?1|.
（Ⅰ）解不等式f(x)?4； （Ⅱ）若存在x???,1?使不等式a?1?f(x)成立，求实数a的取值范围．
文科数学试题 第 5 页 （共 13 页） ?3??2?
惠州市2017届高三第二次调研考试 数 学（文科）
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数 学（文科）参考答案与评分标准
1?2i(1?2i)(?i)??2?i，故选C. 2i?i
?5?11??1??0 （3）解析：S?cos?cos??cos3322（2）解析：z=
→→→→1→（4）解析：在△CEF中，EF＝EC＋CF.因为点E为DC的中点，所以EC＝.因为点F为2
→2→→1→2→1→2→1→2→BC的一个三等分点，所以CF＝.所以EF＝DC＝AB＋＝AB，故选D. 3232323
（5） 解析：解析：因为命题?p的是“第一次射击没有击中目标”， ?q是“第二次射击没有击中目标”,所以命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”可表示??p????q?.故选A.
（6）解析：显然a?2
小，故选A. 1.2?2，b?2，1?b?2，c?log54?1，因此a最大，c最0.8
b1x，直线x?2y?1?0的斜率为?，由题a2
b1c意有?(?)??1，所以b?2a，c?a2?b2?a，故离心率e??5.故选C． a2a
（8）解析：因为S9?S4，所以S9?S4?a5?a6???a9?5a7?0，即a7?0，于是
1a10?a4?2a7?0，可知答案选C.另解：由已知直接求出d??. 6
（9）解析：依题 ??2, f(x)?sin(2x??)，平移后得到的函数是
2?2?y?sin(2x???)，其图象过（0，1）)=1，因为?????0，∴ ，∴sin(??33
?????，f(x)?sin(2x?)，故选B 66
（10）解析：如图，由题意易知?PAC?60?，因为EO//PA，所以?BEO为异面直线PA与BE所成角，又PA?2，Rt?BEO中，EO?1，BO?AO?1，得?BEO为等（7）解析：双曲线的渐近线方程为y??腰直角三角形，故选C.
文科数学试题 第 7 页 （共 13 页）
（11）解析：画出可行域，由题意只需要可行域的顶点(?m,m)在直线x?2y?2的下方即可，得到?m?2m?2，解得m??2.故选D. 3
3对称，又因为2（12）解析：由f(3?x)?f(x)知函数y?f(x)的图像关于直线x?
333(x?)f'(x)?0，所以当x?时，f'(x)?0，f(x)单调递增；当x?时，f'(x)?0，222
f(x)单调递减。因为x1?x2，且x1?x2?3，得
较近，其函数值较大。故选A。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）答案：2
解析：根据题意y?
即a?2.
(14)答案：(x?1)2?(y?1)2?2 '，易知x1距离对称轴x?321?1，求得1，从而求得切点为(1,a)，该点在切线上，得1?a?1?0，x
解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x?1)2?(y?1)2?2
（15）答案：?11
3解析：通过8a2?a5?0，设公比为q，将该式转化为8a2?a2q?0，解得q??2，代
入所求式可知答案?11。
（16）答案：16?
3?2,r?3,由解析：设平面ABC截球所得球的小圆半径为r,则2r?sin60?
RR2?r2?d2?()2?()2解得R2?4，所以球的表面积S?4?R2?16?. 2
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）解: (Ⅰ)方法一：?A?(0,?)?A?
由tan(A??6?(??5?,)?????3分 66?
6)????得A??，因此A????????6分 6633
tan(A?)?tan???????2分 方法二：tanA?tan[(A?)?]?661?tan(A?)tan66
文科数学试题 第 8 页 （共 13 页） ??
?????????4分 ?331??33
?由于0?A??，所以A????????6分 3
(Ⅱ)方法一：由余弦定理得 a2?b2?c2?2bccosA???????8分 ?而a?7,b?2，A? 3
得7?4?c2?2c，即c2?2c?3?0
因为c?0，所以c?3???????10分
13????????12分 bcsinA?22
2172方法二：由正弦定理得从而sinB? ?sinB7sin3
27又由a?b，知A?B，所以B为锐角，cosB????????8分 7
???21故sinC?sin(A?B)??B)?sincosB?cossinB??????10分 33314
133所以s?absinC?????????12分 22
(18)解：（Ⅰ）游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，
151?????????3分 故a?15，b?302
1121?350??120（百人）????6分 游客人数的平均数为50??150??250?231530故△ABC的面积s?
（Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),
(4,5)，共10种，?????9分
其中游客等级均为“优”的有(1,4),(1,5),(4,5)，共3种，故所求概率为
分
（19）解：（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF， ∵N为线段PB的中点，∴NF//PD,且NF?
分 3.????12101PD, ?????22
文科数学试题 第 9 页 （共 13 页）
又EC//PD且EC?1PD 2
∴NF//EC且NF?EC.
∴四边形NFCE为平行四边形， ???4分
∴NE//FC, 即NE//AC．
又∵PD?平面ABCD, AC?面ABCD,
∴AC?PD,
∵NE//AC, ∴NE?PD, ??????6分
（Ⅱ）∵PD?平面ABCD，PD?平面PDCE,
∴平面PDCE?平面ABCD
∵BC?CD，平面PDCE?平面ABCD?CD，BC?平面ABCD， ∴BC?平面PDCE.??????8分
三棱锥E?PBC的体积VE?PBC?VB?PEC?1S?PEC?BC??????10分 3
112??(?1?2)?2???12分 323
20.解：（Ⅰ）设点M(x,y),P(x0,y0)，则由PM??x0?x1得?，因为点P在抛物2?y0?2y线x2?2y上，?x2?4y???????????4分
（Ⅱ）方法一：由已知，直线l的斜率一定存在，设点A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?k(x?4)?52x?4kx?16k?20?0 得2?x?4y
由韦达定理得x1?x2?4k,x1x2?16k?20???????????6分
（1）当直线l经过点S即x1??4或x2??4时，当x1??4时，直线SA的斜率看作抛物
117线在点A处的切线斜率，则k1??2,k2?，此时k1?k2?；当x2??4时，同理可88
17得k1?k2?.???7分 8
y?4y?4（2）当直线l不经过点S即x1??4且x2??4时，k1?1，???8分 ,k2?2
x1?4x2?4联立?
x1x2?4?4y1?4y2?411(x1?x2)2?4x1x2 k1?k2?????x1?x2?4x1?4x2?4x1?4x2?44
?????????10分
文科数学试题 第 10 页 （共 13 页） 22
1k2?4(16k?20)?k2?4k?5?(k?2)2?1?1 4
所以k1?k2的最小值为1.?????????12分 ?
方法二：同上
?k1k2?(kx1?4k?1)(kx2?4k?1)????????8分 (x1?4)(x2?4)
1kx1x2?(k?4k2)(x1?x2)?16k2?8k?11?8k?????????10分 ?32k?44x1x2?4(x1?x2)?16
故k1?k2?k1?k2?2k1k2?2
221?1，所以k1?k2的最小值为1?????12分 4xx方法三：设点A(x1,1),B(x2,2)，由直线l过点N(4,5)交轨迹E于A,B两点得： 44
22x1x2?5?5化简整理得：?????6分 ?x1?4x2?4
x1x2?4(x1?x2)?20，令x1?x2?t，则x1x2?4t?20???????8分
x1x2?4?4y1?4y2?41k1?k2?????x1?x2???????10分 x1?4x2?4x1?4x2?44
1121(x1?x2)2?4x1x2?t?16t?20?(t?8)2?16?1???????12分 444
（21）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域是(0,??) ?22
a2x2?(a?2)x?a(x?1)(2x?a)f(x)?2x?(a?2)???????????2分 xxx
当a?0时，
f'(x)?0对任意x?(0,??)恒成立，
所以，函数f(x)在区间(0,??)单调递增；????????4分
当a?0时，
aa''由f(x)?0得x?，由f(x)?0得0?x? 22
2a所以，函数在区间(,??)上单调递增，在区间(0,)上单调递减。????????6分 22
2x2（Ⅱ）当a?1时，f(x)?x?x?lnx，要证明f(x)?e?x?x?2，
xx只需证明e?lnx?2?0，设g(x)?e?lnx?2，
则问题转化为证明对任意的x?0，g(x)?0????????8分 '
文科数学试题 第 11 页 （共 13 页）
令g(x)?e?'x11?0得ex?， xx
x0容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e
当x变化时，g'(x)和g(x)变化情况如下表 ?1 x0
x
g'(x)
g(x) (0,x0) － 递减 x0 0 (x0,??) ? 递增
g(x)min?g(x0)?ex0?lnx0?2?1?x0?2????????10分 x0
因为x0?0，且x0?1，所以g(x)min?2?2?0，因此不等式得证。??????12分
?x??m??（22）解：（Ⅰ）直线L
的参数方程是?，（t为参数），
?y?1t??2
消去参数t
可得x??m．????????2分
2由??2cos?，得??2?cos?，
22可得C的直角坐标方程：x?y?2x．????????5分
?x??m??22（Ⅱ）把?（t为参数），代入x?y?2x，
?y?1t??2
得t2?t?m2?2m?0，????????7分
由??0，解得?1?m?3．
∴t1t2?m2?2m． ∵|PA|?|PB|?1?t1t2，∴m?2m??1，
解得m?1?1．又满足??0．
∴实数m?11．????????10分
（23）解：（Ⅰ）∵f(x)?|2x?3|?|x?1|. 2
3??3x?2x???2?3??f(x)??x?4??x?1 ………………2分 2?x?1?3x?2??
文科数学试题 第 12 页 （共 13 页）
3??3x??????x?1?x?1 ………4分 f(x)?4??或或?2?2?3x?2?4???3x?2?4??x?4?4
?x??2或0?x?1或x?1 ………………5分
综上，不等式f(x)?4的解集为：???,?2??(0,??) ………6分 ?3?
?2?
?3?由（Ⅰ）知，x???,1?时，f(x)?x?4 ?2?
35?x??时，(f(x))min? ……………………8分 22
53 a?1??a? …………………9分 22
?3?∴实数a的取值范围为?,??? …………………10分 ?2?
（Ⅱ）存在x???,1?使不等式a?1?f(x)成立?a?1?(f(x))min…………7分 文科数学试题 第 13 页 （共 13 页）
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