三角变换常用方法与技巧
在解决三角函数的求值、化简与应用问题中，常需要进行三角变换。而三角变换的切入点，不外乎从角度、函数名称以及式子的结构特征（“角”、“名”、“形”）等方面着手。但具体到每一问题，又需要根据具体情形来考虑。下面就一些常见的三角函数的问题谈谈三角变换的一些常用方法与技巧。
一、 角的变换
在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：??(???)??；2??(???)?(???)；2????(???)??；??2?
2等等。
例1 已知sinα＝Ａsin（α＋β）(其中cosβ≠A)， 试证明：tan（α＋β）＝sin? cos??A
证明：已知条件可变为：sin[(α＋β)－β]＝Ａsin (α＋β) 所以有：sin (α＋β) cosβ－cos (α＋β) sinβ＝Ａsin (α＋β) ∴ sin (α＋β)（ cosβ－Ａ）＝cos (α＋β) sinβ
∴ tan（α＋β）＝sin? cos??A
说明：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键．
二、 函数名称的变换
三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。
2si2n??si2n?例2 、(2001年上海春季高题)已知?k 1?ta?n
(?
4????
2)，试用k表示sin??cos?的值。
分析：将已知条件“切化弦”转化为sin?,cos?的等式。 2sin2??sin2?2sin?(sin??cos?)解：由已知??2sin?cos??k； sin1?tan?1?cos?
??
4????
2??co?s ?sin
?sin??cos??(sin??cos?)2??2sincos??k。
三、 公式的变形与逆用
在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由sin2??2sin?cos?可
s?以变通为co?sin2?sin2?sin???与cos??；由tan可变形为sin?sin?co?s
sin??tan?co?s等等。
(3tan120?3)csc120例3、求的值。 204cos12?2
分析：先看角，都是120，再看函数名，需要切割化弦，最后在化
简过程中再看变换。 ?sin120?1???0?3?cos120?12??解：原式?(切割化弦) 4cos120?2
3sin120?3cos120 ?2sin120cos120(2cos2120?1)
12(sin120?cos120)?(逆用二倍角公式) 00sin24cos24
2(sin120cos600?cos120sin600)(常数变换) ?00sin24cos24
43sin(120?600)(逆用差角公式) ?2sin240cos240
43sin(?480)??43(逆用二倍角公式)。 0sin48
四、 常数的变换
在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：1?sin2??cos2??sec2?tan2??csc2??cot2?，1?sin900?sin450，1?sec??cos?,1?csc?sin?等等。
1?sin6x?cos6x例４ 化简： 441?sinx?cosx
(sin2x?cos2x)3?sin6x?cos6x解：原式＝ 2244(sinx?cosx)?sinx?cosx
3sin4xcos2x?3sin2xcos4x ＝ 222sinxcosx
3sin2xcos2x(sin2x?cos2x) ＝ 2sin2xcos2x
＝
22说明：１＝“sinx?cosx”的正用、逆用在三角变换中应用十分32
广泛．
五、消参变换
当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决． 例5、已知sin??msi?n?(3?，m?1且?????kπ(k?Z)，??kπ(k?Z)． 2π2
求证：tan(???)?1?mtan?． 1?m
分析：由于已知和结论中都含有参数m，所以我们可以把已知变形，求出m，m?sin?1?mtan?化简，即可证得等式成立．，代入 1?msin(2???)
六、 引入辅助角
asinx?bcosx可化为a2?b2sin(x??)，这里辅助角?所在的象限由a,b的符号确定，?角的值由tan??确定。
例6、求y?5cos2x?6sin2x?20sinx?30cosx?7的最大值与最小值。
分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。
解：y?(9cos2x?12sinxcosx?4sin2x)?20sinx?30cosx?3
?(3cosx?2sinx)2?10(2sinx?3cosx)?3
?(3cosx?2sinx?5)2?22 ba
?(2sinx?3cosx?5)2?22
?[sin(x??)?5]2?22 其中，tan??，
当sin(x??)?1时，ymax?(?5)2?22?16?；
当sin(x??)??1时，ymin?(??5)2?22?16?。
说明：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解。
七、升幂与降幂变换
分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．
例7、化简sin2?sin2??cos2?cos2??cos2?cos2?。
分析：从“幂”入手，利用降幂公式。
解：原式
?111(1?cos2?)(1?cos2?)?(1?cos2?)(1?cos2?)?cos2?cos2?442
11?(1?cos2??cos2??cos2?cos2?)?(1?cos2??cos2??cos2?cos2?)441232
1?cos2?cos2? 2
11(1?cos2?cos2?)?cos2?cos2?22 1?2?
八、 数形结合
有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，
数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径．利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想．
例8 已知：sin??sin??，cos??cos??，求tan( ???)的值．解：∵点Ａ(cos?,sin?)，Ｂ(cos?,sin?)均在单位圆上．
由已知条件知：ＡＢ的中点坐标为Ｃ（1/6,1/8），即直线ＡＢ过定点Ｃ．
如左下图所示
∠xOC＝
∴tan(21413???2??????2 ???)?kOC?3 4
∴据万能公式得：
tan(???)?24 7
说明：本题用和差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方法．
小 论 文
曹 丰 宝
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