2017届高一数学必修1考试题（3）
(本卷满分150分，时间120分钟)
一、选择题（60分，每题5分）
1．函数f?x??21?x2的大致图象为（）
?2x(x?0)2．已知函数f(x)??，若f(a)?f(1)?0，则实数a的值等于（）
?x?1(x?0)
A．?3B．?1C．1D．3
3．函数y=ax﹣a与
y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A
．B
．
C
．D
．
4．已知函数f(x)?x2?ln|x|，则函数y?f(x)的大致图象为（ ）
x
1
?f(x?5),x?2?5．已知函数f(x)??ex,?2?x?2，则f(?2016)?（ ）
?f(?x),x??2?
A．e2 B．e C．1 D．1 e
6．下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A
．y?
y?
B
．y?2与y?|x|
C
．y?
与y?22D．f(x)?x?2x?1与g(t)?t?2t?1
7．函数f（x）＝ax+b的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
2（x+c）
A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
8．已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋4（0<a<3），x1<x2，x1＋x2＝1－a，则（ ）
A．f（x1）＝f（x2）B．f（x1）<f（x2）
C．f（x1）>f（x2） D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定
x?1??2?2,x?19．已知函数f?x???,且f?a???3,则f?6?a??（ ） ???log2?x?1?,x?1
A．?7531 B．? C．? D．? 4444
10
） A．?2,3? B．?2,4?
3???3，4? D．??1,3???3,6? C．?2，
11．如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知 2
当x?0时，h?13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数h?f(x)的图像为（ ）
12．已知函数y?f?x?1?定义域是??2,3?，则y?f?x?1?的定义域是（ ）
A．?0,5? B．??1,4? C．??3,2? D．??2,3?
二、填空题（20分，每题5分）
13．已知函数y?f(x?1)定义域是{x|?2?x?3}，则y?f(2|x|?1)的定义域是_________.
14．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）．若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝________.
xex?x?215．已知函数f?x???sinx,则xe?1
f??4??f??3??f??2??f??1??f?0??f?1??f?2??f?3??f?4?的值
是 ．
16．给出以下四个命题:
①若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,4]； ②函数f(x)?1的单调递减区间是(??,0)?(0,??)； x
③已知集合P??a,b?,Q???1,0,1?，则映射f:P?Q中满足f?b??0的映射共有3个； 3
④若f(x?y)?f(x)f(y),且f(1)?2,f(2)f(4)f(2014)f(2016)??????2016． f(1)f(3)f(2013)f(2015)
其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（70分）
17．（12分）已知函数f?x??x?ax?1,g?x??e（其中e为自然对数的底数）. 2x
（1）若a?1,求函数y?f?x??g?x?在区间??2,0?上的最大值；
（2）若a??1,关于x的方程f?x??k?g?x?有且仅有一个根, 求实数k的取值范围；
（3）若对任意x1,x2??0,2?,x1?x2,不等式f?x1??f?x2??g?x1??g?x2?均成立, 求实数a的取值范围.
18．（10
分）设函数f(x)．
（1）当a?5时，求函数f(x)的定义域；
（2）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．
19．（12分）已知m,n?R，f(x)?|x?m|?|2x?n|.
（1）求f(x)的最小值； ?
n2
（2）若f(x)的最小值为2，求m?的最小值. 42
20．（12分）已知函数f(x)?e?ax?1（a?0,e为自然对数的底数）．
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）若f(x)?0对任意的x?R恒成立，求实数a的值.
4 x
21．（12分） 销售甲、乙两种商品所得利润分别是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金t(万元)
的关系有经验公式P?1Q?t．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商5
品，其中对甲种商品投资x(万元)．求：
（Ⅰ）经营甲、乙两种商品的总利润y(万元)关于x的函数表达式；
（Ⅱ）怎样将资金分配给甲、乙两种商品，能使得总利润y达到最大值，
最大值是多少？
22．（12分）已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，有f(x)?0，且f
（1）=﹣2
（1）求f（0）及f（﹣1）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明；
（3）求解不等式f（2x）﹣f（x2+3x）＜4．
5
数学（理科）参考答案
一、1．A 2．A 3．D 4．A 5．B 6．D 7．C 8．B 9．A 10．C 11．C
12．A
二、13．[-]14．?x?x?1?15．9 16．③④ 222
三、
17．（1）1；（2）?0,???
解:
（1）当a?1时,y?x2?x?1ex,y'?x2?3x?2ex??x?2??x?1?ex, 故551??1??3?（3）a???1,2?2ln2?. ,???；2e??e?????
y?f?x??g?x?在??2,?1?上单调递减, ??1,0?上单调递增, 当x??2时,y?3, 当2e
x?0时,y?1, 故在区间??2,0?上ymax?1.
x2?x?1（2）当a??1时, 关于x的方程为x?x?1?ke有且仅有一个实根, 则?k有xe2x
x2?x?1且仅有一个实根, 设h?x??,则ex
h'?x???2x?1?ex??x2?x?1?ex
?e?x2?x2?3x?2?x?1??x?2?, ??xxee
13,h?2??2, 如ee因此h?x?在???,1?和?2,???上单调递减, 在 ?1,2?上单调递增,h?1??
图所示, 实数k的取值范围是?0,????
?1??3?,???
. e??e2?
（3）不妨设x1?x2,则f?x1??f?x2??ex1?ex2?ex2?ex1恒成立.
因此e1?e
xxx2?f?x1??f?x2??ex2?ex1恒成立, 即ex1?f?x1??ex2?f?x2?恒成立, xxx且e1?f?x1??e2?f?x2?恒成立, 因此e?f?x?和e?f(x)均在?0,2?上单调递增, 6
设u?x??e?f?x??e?x?ax?1,v?x??e?f?x??e?x?ax?1, xx2xx2
则u'?x??e?2x?a?0在上?0,2?上恒成立, 因此a??ex?2x在?0,2?上恒成立因此x
a???ex?2x?
时,?e?2xmax,而?ex?2x在?0,2?上单调递减, 因此x?0?x?max??1,?a??1. 由v'?x??ex?2x?a?0在?0,2?上恒成立, 因此
a?ex?2x在?0,2?上恒成立, 因此a?ex?2x??min,设??x??e?2x?0?x?2?,则x
?'?ex?2.当?'?x??0时,x?ln2, 因此??x?在?0,ln2?内单调递减, 在?ln2,2?内单调递增,因此??x?min???ln2??2?2ln2,?a?2?2ln2.综上述,a???1,2?2ln2?.
18．（1） xx?1或x??4;（2） ???,1?．
解：（1）当a?
5时，f(x)?|x?1|?|x?2|?5?0得： ???x??2??2?x??1?x??1或?或?，解得：x??4或x?1， ??8?2x?0?2?02x?2?0???
即函数f(x)的定义域为???,?4???1,???．
（2）依题意可知：|x?1|?|x?2|?a?0恒成立，即a?|x?1|?|x?2|恒成立， 而|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?1，?a?1，即a的取值范围为???,1?.
19．（1）m?n；（2）2． 2
???3x?m?n,x??m?n?解：（Ⅰ）?f(x)???x?m?n,?m?x? 2?n?3x?m?n,x???2
nn?f(x)在(??,)是减函数，在(,+?)是增函数 22
?当x?nnn时，f(x)取最小值f()?m?. 222
nn， ?m??2. 22（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)的最小值为m?
?n21n21nn2??2(m?)?(m?)2?2，当且仅当m? ?m,n?R，m?4242222
7
n2
即m?1,n?2时，取等号，?4(m?)的最小值为2 42
20．（1）a?alna?1；(2)1.
解：
（1）由题意， a?0,f(x)?e?a，由f(x)?e?a?0得x?lna， 当x?(??,lna)时，f(x)?0；当x?(lna,??)时，f(x)?0. ∴f(x)在(??,lna)单调递减，在(lna,??)单调递增，即f(x)在x?lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f(lna)?elna'''x'x?alna?1?a?alna?1.
（2）f(x)?0对任意的x?R恒成立，即在x?R上，f(x)min?0，
由（1）， 设g(a)?a?alna?1，所以g(a)?0，由g(a)?1?lna?1??lna?0，得a?1， ∴g(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,??)上单调递减， ∴g(a)在a?1处取得极大值，g(1)?0， 因此g(a)?0的解为a?1，∴a?1.
'
1?(3?x)，x?[0,3]．…………………5分 5
11321
（Ⅱ）y?． ?(3?x)???)2?55220
339321 ∵ ?[0,3]，∴
?时，即x?，3?x?时，ymax?． 224420
9321即给甲、乙两种商品分别投资万元、万元可使总利润达到最大值万元. 442021.解：
（Ⅰ）根据题意，得y?
………………………………7分
22．解： （1）令x=y=0得，
f（0）=f（0）+f（0）；
故f（0）=0；
令x=﹣y=1得，
f（0）=f（1）+f（﹣1）；
故f（﹣1）=f（0）﹣f（1）=2； （3分）
8
（2）函数f（x）是R上的减函数，证明如下， 令x=﹣y得，f（0）=f（x）+f（﹣x）；
故f（x）=﹣f（﹣x）；
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
=f（x1﹣x2）=﹣f（x2﹣x1），
故由f（x2﹣x1）＜0知，﹣f（x2﹣x1）＞0， 从而得f（x1）﹣f（x2）＞0，
则函数f（x）是R上的减函数；（4分）
（3）由（2）知，
f（2x）﹣f（x2+3x）＜4可化为
f（2x﹣x2﹣3x）＜f（﹣2）；
故x2+x﹣2＜0，
解得，x∈（﹣2，1）． （5分）
9
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