学案36 基本不等式及其应用
导学目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
自主梳理
a＋b1ab 2
(1)基本不等式成立的条件：____________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)．
ba(2)≥____(a，b同号)． ab
a＋b2(3)ab≤??2 (a，b∈R)．
a2＋b2a＋b?2?(4)?2?23．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)． 自我检测
a2＋b21．“a>b>0”是“ab<() 2
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1x?a＋b，B＝fab)，C2．(2011·南平月考)已知函数f(x)＝?，a、b∈(0，＋∞)，A＝f?2?22ab＝f?a＋b，则A、B、C的大小关系是() ??
A．A≤B≤CB．A≤C≤B
C．B≤C≤AD．C≤B≤A
3．下列函数中，最小值为4的函数是()
4A．y＝x＋x
4B．y＝sinx＋(0<x<π) sinx
－C．y＝ex＋4ex
D．y＝log3x＋logx81
14．(2011·大连月考)设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)有最________值为________． x
x5．(2010·山东)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为x＋3x＋1
________________．
探究点一 利用基本不等式求最值
19例1 (1)已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值； xy
51(2)已知x<，求函数y＝4x－2＋ 44x－5
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
14变式迁移1 (2011·重庆)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝( ) ab
7 B．4 2
9 D．5 2
探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用
11例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. ab
变式迁移2 已知x>0，y>0，z>0.
yz?xz??xy求证：??xx?y＋y??z＋z≥8.
探究点三 基本不等式的实际应用
例3 (2011·镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
购地总费用
(
注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 建筑总面积
变式迁移3 (2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
111．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为( ) ab
1D. 4
1a2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)??x＋y≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a
的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
113．已知a>0，b>0＋2ab的最小值是( ) ab
A．2 B．22 C．4 D．5
4．一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长
a?2400km，为了安全，两列车之间的距离不得小于??20?km，那么这批货物全部运到B市，最
快需要( )
A．6 h B．8 h C．10 h D．12 h A．8 B．4 C．1
3x－y－6≤0??5．(2011·宁波月考)设x，y满足约束条件?x－y＋2≥0
??x≥0，y≥0
23b>0)的最大值为12的最小值为( ) ab
25811 D．4 633
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
27．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)x
交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．
三、解答题(共38分)
49．(12分)(1)已知0<x<x(4－3x)的最大值； 3
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．
10．(12分)(2011·长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车
920v的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系yv>0)． v＋3v＋1600
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
，若目标函数z＝ax＋by (a>0，
11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．
学案36 基本不等式及其应用
自主梳理
1．(1)a>0，b>0 (2)a＝b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤
a＋b3. ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)x＝y 小 2p 2p2(2)x＝y 大 4
自我检测
1．A 2.A 3.C
14．大 －22－1 ) 5
课堂活动区
例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．
19解 (1)∵x>0，y>0，＋1， xy
19∴x＋y＝(x＋y)??xy
y9x＝10≥6＋10＝16. xy
y9x19当且仅当1， xyxy
∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
5(2)∵x<5－4x>0. 4
11y＝4x－2＋＝－?5－4x5－4x?＋3 ??4x－5
1?5－4x?＋3＝1， 5－4x
1当且仅当5－4x＝， 5－4x
即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
28∴1. yx
828y2x＝10＋＋ ∴x＋y＝(x＋y)??xyxy
4yx?＝10＋2??x＋y?
≥10＋2×2＝18， xy
4yx当且仅当＝，即x＝2y时取等号． xy
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18. a＋b变式迁移1 C [∵a＋b＝2，∴1. 2
1414a＋b52ab592ab∴()()＝＋(≥2(当且仅当＝，即b＝2a时，abab22b2a2b2a2b2a
149“＝”成立)，故y＝.] ab2
例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．
在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．
证明 方法一 因为a>0，b>0，a＋b＝1，
a＋b1b所以1＋＝1＋2aaa
1a同理1＋＝2＋bb
11ba所以(1＋＝(2＋＋abab
ba＝5＋2(＋)≥5＋4＝9. ab
111所以(1＋≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)． ab2
11111方法二 (1＋)(1＋＝1 ababab
a＋b12＝1＋1＋， ababab
因为a，b为正数，a＋b＝1，
a＋b2112所以ab≤()＝，于是≥48， 24abab
111因此(1＋≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝时等号成立)． ab2≤－
变式迁移2 证明 ∵x>0，y>0，z>0，
yz2yz∴≥>0， xxx
xz2xz>0， yyy
xy2xy≥>0. zzz
yz?xz?xy?∴??x＋x?yy?zz?
8≥＝8. xyz
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
yzxzxy所以()()(≥8. xxyyzz
例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为：
由题设写变形利用基本求得→→→→结论 出函数转化不等式最值2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．
解 (1)依题意得
2160×10000y＝(560＋48x)＋ 2000x
10800＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)． x
10800(2)∵x>0，∴48x＋x
≥48×10800＝1440，
10800当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”， x
此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)．
答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．
k变式迁移3 解 (1)由题意可设3－x， t＋12将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3. t＋1
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
2∴年生产成本为32x＋3＝32?3－t＋1?＋3. ??
当销售x(万件)时，年销售收入为
21150%?32?3－t＋1＋3?＋. ????2
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，
－t2＋98t＋35得年利润y＝ (t≥0)． 2?t＋1?
－t2＋98t＋35?t＋132? (2)y＝＝50－?2t＋1?2?t＋1???
≤50－2t＋13250－16＝42(万元)， 2t＋1
t＋132当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42， 2t＋1
∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．
课后练习区
1．B [因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1，
11?11ba＝2＋＋ ＋＝(a＋b)??ab?abab
baba1≥2＋4，当且仅当＝a＝b＝“＝”成立．] abab2
1a?yax≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋≥a＋2a＋2．B [不等式(x＋y)?xy?xy
1≥9，
∴a≥2a≤－4(舍去)．
∴正实数a的最小值为4.]
1113．C [＋2ab≥2ab abab
111?＝2ab≥4ababab， ab?
即a＝b＝1时，取“＝”号．]
a?24004．B [第一列货车到达B市的时间为h，由于两列货车的间距不得小于??20?km，a
?a216·?2040016a40040016a所以第17列货车到达时间为＝＋≥8，当且仅当＝，即a＝aaa400a400
100km/h时成立，所以最快需要8 h．]
5．A
6．18
解析 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即(xy)2－xy－6≥0，
∴(－3(＋≥0. xy>0，∴xy≥32，即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7．4
2解析 过原点的直线与f(x)＝交于P、Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y＝x
y＝kx，????x＝k，?x＝－k?kx，由?2得?或? ????y＝x?y＝2k?y2k，
∴P，2k)，Q(－k＋k2k)或P(－k2k)，Qk2k)． k ∴|PQ|＝
＝22＋?2k＋2k?2 kk＋≥4. k
8．(－∞，22－1)
22解析 由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥22，∴k＋2，33
k<22－1.
49．解 (1)∵0<x<，∴0<3x<4. 3
113x＋4－3x?24∴x(4－3x)x)(4－3x)?33?2?3，(4分)
2当且仅当3x＝4－3x，即x＝“＝”成立． 3
24∴当x＝时，x(4－3x)分) 33
(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，∴x＋2y＝3.
＋∴2x＋4y≥224＝22＝22＝42.
(10分) xy??2＝4，33当且仅当?即x＝，y＝“＝”成立． 24?x＋2y＝3，?
33∴当x＝，y时，2x＋4y的最小值为42. 24
(12分)
920v92010．解 (1)y＝＝≤ 1600v＋3v＋1600v＋＋3
920920≈11.08.(4分) 8316002v×＋3
1600当v＝v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(6分)
920v(2)10，(8分) v＋3v＋1600
化简得v2－89v＋1600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
(12分)
11．解 (1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，?，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]
＝6x2－6x.(6分)
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
1600y＝(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝6x＋594.(9分) xx
∴y≥6x＋594＝714，(12分) x
600当且仅当＝6x，即x＝10时，取等号． x
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，且最小为714元．(14分)
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