嘉峪关一中2015届高三第二次模拟考试数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M＝{x|x＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()
A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3] 2
→→→
2．设a、b是不共线的两个非零向量，已知AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b.若A、B、D三点共线，则p的值为()
A．1B．2C．－2 D．－1
5443．已知θ是第三象限的角，且sinθ＋cosθ＝sin2θ的值为() 9
A.2222B．－3332D．－ 3
4．设曲线y＝x＋1(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于() x－1
1D.21A．2 B．－2C 2
5．函数y＝sinx－cosx的图像可由y＝sinx＋cosx的图像向右平移()
A.3ππB．π个单位C.24
22D.π个单位 26．已知命题p：?x∈R，mx＋1≤0，命题q：?x∈R，x＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实
数m的取值范围为()
A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2
7．函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()
cosxA．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝x
C．f(x)＝xcosxD．f(x)＝x·(x－
－3π) 2π)·(x27778．在14与n个数组成等比数列，若各项总和为，则此数列的项数() 88
A．4B．5 C．6
9．函数f(x)?2sin(?x??)???0,D．7 ?
????
????的部分图象如右图所示，2?
- 1 -
其中A、B两点之间的距离为5，则f(?1)? ( )
A．2 B
C
．D．-2
10．已知定义域为D的函数f(x)，若对任意x∈D，存在正数M，都有|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)是定义域D上的“有界函数”．已知下列函数：①f(x)＝sinx·cosx＋1；②f(x)1－x2x＝1－x；③f(x)＝1－2；④f(x)＝lg.其中“有界函数”的个数是( ) 1＋x
A．1 B．2 C．3 D．4
11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x)?f?
有x之和为（ ）
A．?3 B．3 C．?8 D．8 ?x?3??的所x?4??
12．已知函数f(x)?x2?ex?1(x?0)与g(x)?x2?ln(x?a)图象上存在关于y轴对称的2
11e)C. (??e) D. (??) ee
第Ⅱ卷 点，则a的取值范围是（ ） A. (?e) B. (?1e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝________.
14．函数y＝x－2sinx 在(0,2π)内的单调增区间为________．
lgx,x?0??a15．设f(x)??，若f(f(1))?1，设a= 2x?3tdt,x?0???0
16．已知定义在R上的函数f(x)满足：
33①函数y＝f(x－1)的图像关于点(1,0)对称；②对?x∈R，fx)＝f(x)成立；③当x∈44
33(－，－]时，f(x)＝log2(－3x＋1)．则f(2014)＝________. 24
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
?????????????17.（本小题满分12分）已知m??cos??x?,0?,n??cos??x?,2?,函数?3???3????
???11f(x)?m?n,g(x)?sin2x?. 24
（I）求函数f(x)的最小正周期；
（II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． - 2 -
18. （本小题满分12分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=3,sinB
5
（I）求A+B的值；
（II）若a-b
?1 ,求a、b、c的值．
19. （本小题满分12分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20.且{bn- an }为等比数列.
（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（II）求数列{bn}的前n项和Tn.
20.（本小题满分12分）已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f??x?＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图象上． （I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn＝
正整数m.
21.（本小题满分12分）在R上定义运算?:p?q??
2*，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n(n∈N)都成立的最小anan＋1203m*1?p?c??q?b??4bc（b、c为实常3数）.记f1?x??x?2c,f2?x??x?2b,x?R.令f?x??f1?x??f2?x?.
（I）如果函数f?x?在x?1处有极值?4，试确定b、c的值； 3
（II）求曲线y?f?x?上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（III）记g?x??f??x???1?x?1?的最大值为M. 若M?k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值.
请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B铅笔在答题卡上把所选的题目对应的标号涂黑.（本小题满分10分）
23. [极坐标与参数方程选讲]
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为??x?2?t（t为参数），圆C的极坐标方程为?=1，
?y?t
（I）求直线l与圆C的公共点的个数；
（II）在平面直角坐标中，圆C经过伸缩变换?
22?x??x得到曲线c?，设M（x,y)为曲线c? 上??y?2y一点，求4x?xy?y的最大值，并求相应点M的坐标.
24. [不等式证明选讲]
已知函数f?x??|x?1|，
（I）解不等式f?x?1??f?1?x??2；
（II）若a?0，求证：f?ax??af?x??f?a?.
嘉峪关市第一中学高三年级第二次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
. 14. ???,5??
?33??或????3,5??
3??. 15.1. 16.-2．
三、解答题：（共70分．）
17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）
19．（本小题满分12分）
20．（本小题满分12分）
解 (1)设函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝6x－2， 得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x. 又因为点(n，S*
n)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图象上，
所以S2
n＝3n－2n.
当n≥2时，a22
n＝Sn－Sn－1＝(3n－2n)－[3(n－1)－2(n－1)]
＝6n－5.
当n＝1时，a2
1＝S1＝3×1－2×1＝1，所以，an＝6n－5(n∈N*)．
(2)由(1)知b3
n＝a3
nan＋1?6n－5?[6?n＋1?－5]
＝121
6n－5－1
6n＋1，故Tn＝b1＋b2＋?＋bn
＝11121－7＋7－111
136n－56n＋1
＝11
26n＋1).
因此，要使11
26n＋1)m20n∈N*)成立，
则m需满足12m20m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
选做题（本小题满分10分）
22．选修4—1：几何证明选讲
【解析】：（Ⅰ）连接DE，∵四边形ACED是圆的内接四边形，
∴?BDE??BCA，又?DBE??CBA， ∴?DBE∽?CBA， BEBD即有， ?ABBC
又AB?2BE，
∴BC?2BD ?????????5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）?DBE∽?CBA，知BEED， ?ABAC
又AB?2BE，∴AC?2DE， ∵AC?2，∴DE?1，而CD是?ACB的平分线∴DA?1，设BD?x，根据割线定理得BD?BA?BE?BC
即x?x?1??11?，解得x?1，即BD?1 ????10分 x?1?1?x?1??????22??
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
【解析】：（Ⅰ）直线l
的方程为x?y??0 圆C的方程是x?y?1
22
圆心到直线的距离为d∴直线l与圆C的公共点个数为1；?????????????5分 （Ⅱ）圆C的参数方程方程是?，等于圆半径， ?x?cos??0???2??
?y?sin?
?x?cos??∴曲线C的参数方程是? y?2sin??
∴4x2+xy?y2?4cos2??cos??2sin??4sin2??4?sin2? ?
4或??当??5?22时，4x+xy?y取得最大值5 4
?此时M
的坐标为或 ????????????10分 ??
?24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
【解析】：（Ⅰ）∵f(x?1)?f(1?x)?x?2?x. 因此只须解不等式x?2?x?2.
当x?0时，原不式等价于2?x?x?2，即x?0.
当0?x?2时，原不式等价于2?2，即0?x?2.
当x?2时，原不式等价于x?2+x?2，即x=2.
综上，原不等式的解集为?x|0?x?2?.???????????5分 （Ⅱ）∵f(ax)?af(x)?ax?1?ax?1
又a?0时，ax?1?ax?1?ax?1??ax?a?ax?1?ax?a?a??f(a) ∴a?0时，f(ax)?af(x)?f(a). ??????????10 - 13 -
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