高等数学学习辅导向量代数与空间解析几何 1
向量代数与空间解析几何
一、
主要内容
1． 空间直角坐标系，点的坐标，两点间距离公式.
2． 向量的基本概念，向量间运算的定义及性质.
3． 向量的坐标，向量及其运算的坐标表示
4． 曲面方程的概念，柱面与旋转面.
5． 平面的方程，两平面间的位置关系，点到平面的距离.
6． 空间曲线的方程，曲线在坐标平面上的投影.
7． 直线的方程，直线与直线，直线与平面的位置关系.
8． 常见二次曲面的图形及其性质.
二、
学习要求
1． 掌握空间直角坐标系，理解空间中点的坐标概念，掌握空间两点间距离公式.
2． 掌握向量的基本概念（表示、记号、模、单位向量、夹角等）；理解向量运算的定义，掌握运算法则；了解 运算性质.
3． 深刻理解向量的投影、向量的坐标概念；掌握向量、向量的模、向量的方向角及方向余弦，、单位向量的坐 标表示式；熟练掌握向量的坐标公式；向量夹角的计算公式及两向量平行、垂直的条件.
4． 理解曲面和曲面的方程概念；了解建立曲面方程的一般方法；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面、母线平行 于坐标轴的柱面的方程；掌握常见的二次曲面的方程及其图形.
5． 了解空间曲线的参数方程和一般方程；掌握空间曲线在坐标平面上的投影曲线的概念及其方程.
6． 熟练掌握并会建立各种形式的平面方程和直线方程；掌握平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的平行、 垂直、相交的条件和夹角公式；会求点到平面，点到直线的距离；了解平面束及其应用.
7． 掌握常见的空间曲面（平面），空间曲线（直线），空间立体图形，以及这些图形在坐标平面内投影的画法.
三、 疑难解答
1． 向量之间能比较大小吗？
答 不能，因为向量是既有大小，又有方向的量，而方向并无大小的概念. 向量概念中的“既有大小”是指向量 的模的大小.
2． 在向量的数量积，向量积中，消去律成立吗？
答 不成立. 数的乘法运算中消去律是指：
若a?0ab?ac，则b?c，而向量的数量及向量积中 ???????????若a?0,a?b?a?c 或 a?b?a?c 不一定有b?c. ???例如：取a?{1,0,1},b?{1,1,0},c?{0,1,1} ??????则有a?b?a?c?1，但b?c ???取a?{1,0,1},b?{1,1,0},c?{0,1,?1} ??????则有a?b?a?c?{?1,1,1}，但b?c.
????????答 （1）应特别注意向量及不满足交换律而满足反交换律，而a?b??b?a，但a?b?b?a ?? （2）求向量积的坐标时，要特别注意每个坐标的符号。即设a?{ax,ay,az},b?{bx,by,bz}
???jkayaz?axaz?axay?aaaaaa??i
则a?b?axayaz?i?j?k?{yz,xz,xy bxbzbybzbxbybybzbxbzbxbybxbybz
其中第二个坐标的符号不要搞错.
3． 向量积的运算应注意什么？
4． 怎样理解“柱面的方程是x,y,z的二元方程，且与其准线方程相同.”
答 说柱面的方程是x,y,z的二元方程是指母线平行于坐标轴的柱面. 这种柱面一定以其母线所垂直的坐标平 面内的一条曲线为准线（即柱面与坐标平面的交线）.准线在平面解析几何中的方程是二元方程，形式上同于柱面
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