第25章 九点圆定理
九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆． 如图25-1，设△ABC三条高AD，BE，CF的垂足分别为D、E、F，三边BC、CA、AB的中点分别为L、M、N，又AH、BH、CH的中点分别为P、Q、R，则D、E、F、L、M、N、P、O、R九点共圆．
A
F
NBLD
图25-1EMR
1证法1联结PQ，QL，LM，MP，则LM，即知LMPQ为平行四边形，又B∥AQP2
LQ∥CH?AB∥LM，知LMPQ为矩形．从而L、M、P、Q四点共圆，且圆心V为PL与QM的交点．同理，MNQR为矩形，从而L、M、N、P、Q、R六点共圆，且PL，QM，NR均为这个圆的直径．
由?PDL=?QEM??RFN?90?，知D，E，F三点也在这个圆上，故D、E、F、L、M、N、P、Q、R九点共圆．
1证法2如图25-1，由?NQD?180???BQD?180???BHD，以及注意到DE是?N与?R的公共弦，2
知NR?DE1，有?NR2，?DR?E?亦C即?NRD?180???EHD，从而知?NQD??NRD?360????BHD??EHD??180?．
因此，N、Q、D、R四点共圆．
同理，Q、L、D、R四点共圆．即知N、Q、L、D、R五点共圆．
同理，L、D、R、M、E以及R、M、E、P、F；E、P、F、N、Q；F、N、Q、L、D分别五点共圆．
故D、E、F、L、M、N、P、Q、R九点共圆．
证法3如图25-1．联结PL、PN、PQ、PF、LQ、LF、QN、FL，则?PDL?90?．注意到PN∥BH，NL∥AC，BE?AC，则PN?NL，即?PNL?90?．
又PQ∥AB，QL∥CH，而CH?AB，则QL?PQ，即?PQL?90?．
注意到PF?PH，则?PFH=?PHF=?CHD．
由LF?LC，有?CFL=?HCD．
因?CHD??HCD=90?，则?PFL=?PFH??CFL=90?．
同理，?PML、?PEL、?PRL皆等于90?．即D、N、Q、F、M、E、R各点皆在以PL为直径的圆周上．
故D、E、F、L、M、N、P、Q、R九点共圆．
证法4如图25-1，注意到LQHR为平行四边形，QP∥BA，RP∥CA，则么?QLR??QHR=180???A=180?-?QPR，即知L、Q、P、R四点共圆．
又?QDR=?QDH??RDH=?QHD??RHD=?QHR=180?-?A=180???QPR（注意QP∥BA，
http://www.99jianzhu.com/包含内容：PDF/word/ppt 流程，表格，案例，最新作文 数学 英语 考试题库等内容免费下载。