教师版期末测试2
期末综合复习2
1.若集合A={x|y=
},B={y|y=x2+2},则A∩B=( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[2,+∞) D.(0,+∞) 2.sin
的值是( )
A. B.- C.- D. 【解析】选B.sin
=sin
=sin
=-sin=-.
3.下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=|x| D.f(x)=
【解析】选A.y=的定义域为{x|x>0}. 对于A,由
即x>0,故f(x)=的定义域为{x|x>0}.
对于B,f(x)的定义域为{x|x≠0}.
对于C,f(x)=|x|的定义域为R.
对于D,由
即x≥1,故定义域为{x|x≥1},所以选A.
4.已知0<a<1,则方程ax=logax的实根个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个 5.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a2(2a-b)=0,则k=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12
【解析】选D.因为a=(2,1),b=(-1,k), 所以2a-b=(5,2-k). 又a·(2a-b)=0,
所以2×5+1×(2-k)=0,得k=12. 6.下列各式错误的是( )
A.log0.30.2>log0.30.4 B.log52<log53 C.log2
>log3
D.log0.53>log0.52
7.若sinα=,且α是第二象限角,则tanα的值等于( ) A.- B. C.± D.± 【解析】选A.因为α是第二象限角,sinα=, 所以cosα=-=-,
所以tanα=
=-.
8.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ
f(-1)=( )
A.- B.- C.-1 D.1
【解析】选C.由题意可得,振幅A=2,根据点A与点B两点之间的距离为5,
=1,sinφ
9.已知向量与的夹角为120°,且|
|=2,|
|=3,若
=
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,为
了得到g(x)=sin2x的图象,则只要将f(x)的图象
( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
【解析】选A.由图知A=1,=-=,
所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),
由图象过点
代入得sin(2×+φ)=0,
所以+φ=2kπ+π,k∈Z,又|φ|<, 所以φ=,所以f(x)=sin
,
所以只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到函数g(x)=sin2x的图象.
11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x-2),则f(3)+f(6)的值为
( )
A. B.0 C.3 D.9 【解析】选B.由f(x+4)=f(x-2), 所以f(x+2+4)=f(x+2-2),
即f(x+6)=f(x),又f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,得f(6)=0. 取x=-1,则f(-1+4)=f(-1-2), 即f(3)=f(-3)=-f(3),
12.已知f(x)=(x-2)2|x+1|,若关于x的方程f(x)=x+t有三个不同的实数所以函数f(x)=交点,由
的图象与y=x+t的图象有三个不同
消去y得x2-2x-2-t1=0,
Δ=(-2)2-4(-2-t1)=0得t1=-3, 解,则实数t的取值范围是( )
A.(-1,1] B.[-3,2) C.(-3,1) D.(-1,2)
【解题指南】将方程f(x)=x+t的解的问题转化为函数f(x)=(x-2)·|x+1|图象与y=x+t图象交点问题求解.在同一坐标系内画出函数f(x)=(x-2)·|x+1|与y=x+t的图象,求解. 【解析】选C.由f(x)=(x-2)·|x+1|
=
画出函数f(x)=
的图象如图
.
因为方程f(x)=x+t有三个不同实数解,
当直线y=x+t2过点A(-1,0)时,得t2=1, 结合图象可知,当-3<t<1时有三个交点. 故t的范围是(-3,1). 13.化简:= .
【解析】原式=
=
=
=-1. 答案:-1
14.(20142泉州高一检测)若f(x)=+1,且f(a+1)<f(10-2a),则a的取
值范围为 . 【解析】由
答案:(3,5)
15.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),
则=
.
【解析】建立如图坐标系,设正方形的边长为
1, 则A(-1,1),B(5,3),C(4,0),
所以a==(-1,1),b==(6,2),
c==(-1,-3).
因为c=λa+μb,
即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2) 所以解得 所以=4. 答案:4 16.函数
移个单位长度可得到函数
y=3sin2y=3sin答案:①②③
=3sin的图象而非 =sin.
的图象,故④错误. 由a·b+=-, 得sin=-,
17.(10分)已知角α的终边经过点P(-3cosθ,4cosθ),其中θ
【解析】因为θ∈
(k∈Z),
所以cosθ<0,所以点P在第四象限, 由题意得tanα==-,
所以
=-.又sin2
α+cos2
α=1,
所以sinα=-,cosα=. 18.(12分)已知向量a=(sin2x,cos2x),b=(cos2x,-cos2x).
(1)若x∈
时,a2b+=-,求cos4x的值.
(2)cosx≥,x∈(0,π),若方程a2b+=m有且仅有一个实根,求实数m的值.
【解析】(1)a=(
sin2x,cos2x),
b=(cos2x,-cos2x), 所以a·b+=sin2xcos2x-cos22x+ =sin4x-
(2)因为cosx
.
19.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|b|=2,且a∥b,求b的坐标.
(2)若|c|=
,且2a+c与4a-3c垂直,求a与c的夹角.
【解析】(1)设b=(x,y),
因为a∥b,所以y=2x; ① 又因为|b|=2
,所以x2+y2=20;②
由①②联立,解得b=(2,4)或b=(-2,-4).
(2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c),
(2a+c)·(4a-3c)=8a2
-3c2
-2a·c=0,
又|a|=
,|c|=
,
解得a·c=5,所以cos<a,c>=
20.设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2x+(x∈R).
(1)当x∈(0,1]时,求f(x)的解析式.
(2)判断f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你的结论.
【解析】(1)当0<x≤1时,-1≤-x<0,
则f(-x)=-2x+,
因为f(x)为奇函数,所以f(x)=2x-.
(2)任取x1,x2∈(0,1]且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+
=2(x1-x2)+
=(x1-x2)
,
因为0<x1<x2≤1,则x1-x2<0且2+>0,
从而f(x1)<f(x2).所以f(x)在(0,1]上为增函数.
21.如图所示,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD为半圆的直
径,O为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN,其
底边MN⊥
BC.
(1)设∠MOD=30°,求三角形铁皮PMN的面积.
(2)求剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值.
【解析】(1)由题意知
OM=AD=BC=×2=1,
所以MN=OMsin∠MOD+CD
=OMsin∠MOD+AB=1×sin30°+1=,
BN=OA+OMcos∠MOD
=1+1×cos30°=1+=
,
所以S△PMN=MN·BN=×× =
,
即三角形铁皮PMN的面积为.
(2)设∠MOD=x,则0<x≤, MN=OMsinx+CD=sinx+1,
BN=OMcosx+OA=cosx+1,
所以S△PMN=MN·BN
=(sinx+1)·(cosx+1)
=(sinxcosx+sinx+cosx+1),
令t=sinx+cosx=
sin
,
由于0<x≤,
22.(12分)(20142怀化高一检测)已知定义域为R的函数f(x)=是奇
函数. (1)求b的值.
(2)判断函数f(x)的单调性.
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范
围.
【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即
=0,即b=1,所以f(x)=
. (2)由(1)知f(x)==-+
, 设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
-
=
.
因为函数y=2x在R上是增函数且x1<x2,所
(3)因f(x)是奇函数,从而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于
f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
因f(x)为减函数,由上式推得:t2-2t>k-2t2.
即对一切t∈R有:3t2-2t-k>0, 从而判别式Δ=4+12k<0?k<-.
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