第2课时 分段函数及映射
[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系.
知识点一 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.
思考 分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？
答 分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域.
知识点二 映射
映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.
思考 函数与映射有何区别与联系？
答 函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射，但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数.
题型一 分段函数求值
x＋1，x≤－2，??2例1 已知函数f(x)＝?x＋2x，－2＜x＜2，
??2x－1，x≥2.
5(1)求f(－5)，f(－3)，f[f(－的值； 2
(2)若f(a)＝3，求实数a的值.
解(1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，
5－(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， 2
f(－3)＝(－3)2＋2(3)＝3－23.
5533＋1，而－2<－，
∵f??2222
3335＝?－?2＋2×?－ ∴f[f(－＝f??2?2??22
93＝3＝－44
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2＞－2，不合题意，舍去.
当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意.
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意.
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
反思与感悟 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值.
2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
2??x，x≥0，跟踪训练1 (1)若f(x)＝?则f[f(－2)]等于( ) ?－x，x<0，?
A.2
C.4 B.3 D.5
??3x＋1，x≤1，(2)已知函数f(x)＝?若f(x)＝2，则x＝________. ?－x，x>1，?
1答案 (1)C (2) 3
解析 (1)因为－2<0，所以f(－2)＝－(－2)＝2，
所以f[f(－2)]＝f(2)＝22＝4.
11(2)依题意得当x≤1时，3x＋1＝2，所以x，当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)，故x＝. 33
题型二 分段函数的图象及应用
2??x， －1≤x≤1，例2 已知f(x)＝? ?1，x＞1或x＜－1，?
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域.
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1].
反思与感悟 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”.
2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象.
3.画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”.
－7，x∈?－∞，－2]，??跟踪训练2 作出y＝?2x－3，x∈?－2，5]，
??7，x∈?5，＋∞?
－7，x∈?－∞，－2]，??解 y＝?2x－3，x∈?－2，5]，
??7，x∈?5，＋∞?.
图象如图. 的图象，并求y的值域. 值域为y∈[－7,7].
题型三 映射的概念
例3 判断下列对应是不是映射？
1(1)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：y＝x，x∈A，y∈B； 3
(2)A＝N，B＝N*，f：y＝|x－1|，x∈A，y∈B；
1(3)A＝{x|0<x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：y＝x∈A，y∈B； x
(4)A＝R，B＝{y|y∈R，y≥0}，f：y＝|x|，x∈A，y∈B.
解 (1)是映射.
(2)对于A中的元素1，在f作用下的像是0，而0?B，故(2)不是映射
.
(3)是映射.
(4)对于A中的元素1和－1，在f作用下的像都是1，所以f是映射.
反思与感悟 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.
跟踪训练3 下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )
1①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝x
1N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N. |x|＋x
A.①②B.②③C.①④D.②④
答案 D
解析 对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射.对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射.对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射.故选D.
题型四 求某一映射中的像或原像
例4 设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y).
(1)求A中元素(－1,2)的像；
(2)求B中元素(－1,2)的原像.
解 (1)A中元素(－1,2)在B中对应的元素为(－1－2，－1＋2)，即A中元素(－1,2)的像为(－3,1).
??x－y＝－1，(2)设A中元素(x，y)与B中元素(－1,2)对应，则??x＋y＝2，? ?x＝2解得?3y＝?21
13所以B中元素(－1,2)的原像为(，). 22
反思与感悟 求某一映射中的像或原像，要准确地利用对应关系，恰当地列出方程或方程组. 跟踪训练4 设集合A、B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f作用下，像(2,1)的原像是( )
A.(3,1)
31，－ C.?2?2
答案 B 31?B.22? D.(1,3)
?x＋y＝2，?解析 由?得??x－y＝1， ??1?y＝2.3x＝，2 故选B.
题型五 映射的个数问题
例5 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,2}.
(1)从A到B可以建立多少个不同的映射？从B到A呢？
(2)若f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则从A到B的映射中满足条件的映射有几个？
解 (1)从A到B可以建立8个映射，如下图所示.
从B到A可以建立9个映射，如图所示.
(2)欲使f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，需a，b，c中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射.
反思与感悟 1.如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有nm个，从B到A的映射共有mn个.
2.映射带有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的.
跟踪训练5 设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
答案 C
??f?a?＝0，解析 列举法.??f?b?＝0，?
?f?a?＝1，??共4个. ?f?b?＝1，? ??f?a?＝0，??f?b?＝1，? ??f?a?＝1，? ?f?b?＝0，?
数形结合利用图象求分段函数的最值
例6 求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值
.
－2x，x≤－1，??解 y＝|x＋1|＋|x－1|＝?2，－1<x≤1，
??2x，x>1.
作出函数图象如图所示：
由图象可知，x∈[－1,1]时，ymin＝2.
跟踪训练6 设x∈(－∞，＋∞)，求函数y＝2|x－1|－3|x|的最大值. 解 当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
－x－2，x≥1，??即y＝?－5x＋2，0≤x<1，
??x＋2，x<0.
依所求解析式作出图象，如图所示，由图象可以看出，
当x＝0时，ymax＝2.
1x＋1x<1，
1.已知函数f(x)＝?则f(2)等于( )
x－1，x>1，
1A.0B.C.1D.2 3
答案 C
解析 f(2)
＝
2
－1＝1.
2.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( )
答案 D
解析 在A、B选项中，由于集合A中的元素2在集合B中没有对应的元素，故构不成映射，在C选项中，集合A中的元素1在集合B中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D符合映射的定义，故选D.
x＋1，x≤1??3.设函数f(x)＝?2，则f(f(3))等于( ) ??x，x>1
1213A. 539
答案 D
2?2213解析 ∵f(3)＝，∴f(f(3))＝?＋1＝. ?3?39
4.设f：A→B是从集合A到B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中元素(6,2)在映射f下的原像是(3,1)，则k，b的值分别为________.
答案 2,1
???3k＝6，?k＝2，?解析 由题意得得? ?1＋b＝2，???b＝1.2
5.如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为______.
－x＋2，x≤1，??2答案 y＝?－x＋4x－2，1<x<3，
??x－2，x≥3
1.对映射的定义，应注意以下几点：
(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合.
(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达.
2.理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏
.
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.
一、选择题
1.以下几个论断
①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；
②函数y＝x－1，x∈Z且x∈[－3,3)的图象是一条线段；
③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；
④若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2＝?.
其中正确的论断有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 C
解析 函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－3，－2，－1,0,1,2}，它的图象是直线y＝x－1上的六个孤立的点，所以②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确.
??10，x<0，2.已知f(x)＝?则f[f(－7)]的值为( ) ?10x，x≥0，?
A.100
C.－10
答案 A B.10 D.－100
?10，x<0，?解析 ∵f(x)＝? ∴f(－7)＝10. ?10x，x≥0，?
f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100.
3.已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为( )
A.(1,3)
C.(2,4)
答案 A
???x＋y＝4，?x＝1，解析 由题意得?解得? ?x－y＝－2，???y＝3.B.(1,6) D.(2,6)
4.已知集合A＝[0,4]，B＝[0,2]，按照对应关系f不能成为从集合A到集合B的一个映射的是
(
)
1A.f：x→y＝ 2
C.f：x→yx
答案 B B.f：x→y＝x－2 D.f：x→y＝|x－2|
解析 A、C、D均满足映射的定义，B不满足集合A中任一元素在集合B中都有唯一元素与之对应，且A中元素0在B中无元素与之对应.
5.集合A＝{a，b}，B＝{c，d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为( )
A.5B.6C.8D.9
答案 D
?x＋2，x≤0，
6.已知函数f(x)＝?2若f(x)＝3，则x的值是( ) ?x，0<x≤3，
A.3
C.－1或1
答案 A
解析 依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去.若0<x≤3，则x2＝3， 解得x3(舍去)或x＝3.故选A.
二、填空题
x－1，x≥1，??17.已知f(x)＝?1则f(f(＝________. 3??x，x<1，
答案 8
111解析 依题意，得f()＝3，则f(f(＝f(3)＝32－1＝8. 313
3
?x2＋2x＋2，x≤0，?8.设函数f(x)＝?2若f(f(a))＝2，则a＝________. ??－x，x>0.2 B.9 D.3或3
答案 2
解析 若a>0，则f(a)＝－a2<0，
∴f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝2(舍负).
若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，
f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解.
综上，a2.
9.设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.
答案 5
解析 由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a＝2，
∴f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
2??x＋1，x≥0，10.函数f(x)＝?的值域是________. ?2－x，－2≤x＜0?
答案 [1，＋∞)
解析 当x≥0时，f(x)≥1，
当－2≤x＜0时，2＜f(x)≤4，
∴f(x)≥1或2＜f(x)≤4，
即f(x)的值域为[1，＋∞).
三、解答题
11.已知函数y＝|x－1|＋|x＋2|.
(1)作出函数的图象；
(2)写出函数的定义域和值域.
解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x＝1，第二个绝对值的分段点x＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)， 所以已知函数可写为分段函数形式：
－2x－1， x≤－2，??y＝|x－1|＋|x＋2|＝?3，－2<x≤1，
??2x＋1，x>1，
在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图.
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，＋∞).
12.如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA，向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数解析式.
1解 当0≤x≤4时，S△APB＝×4x＝2x； 2
1当4＜x≤8时，S△APB＝4×4＝8；
2
1当8＜x≤12时，S△APB＝×4×(12－x)＝24－2x. 2
2x， 0≤x≤4，??∴y＝?8，4＜x≤8，
??24－2x，8＜x≤12.
x＋2，x≤－1，??213.已知函数f(x)＝?x，－1<x<2，
??2x，x≥2.
(1)求f[f(3)]的值；
(2)若f(a)＝3，求a的值.
解 (1)∵－3<2，∴f(3)＝(3)2＝3.
而3≥2，∴f[f(3)]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；
当－1<a<2时，f(a)＝a2，
又f(a)＝3，∴a＝3，其中a3舍去，∴a＝3； 当a≥2时，f(a)＝2a，
3又f(a)＝3，∴a(舍去). 2
综上所述，a＝3.
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