中考专题复习之相似形的综合运用
知识考点：
会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。 精典例题：
【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE＝于H。
（1）求证：FH＝FA； （2）求EH∶HC的值。
证明：（1）连结EF，FC，在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝900
∵AE＝
1
AD，从AB的中点F作HF⊥EC4
1AEFB
?AD，F为AB的中点，∴
4AFBC
∴△EAF∽△FBC，∴∠AEF＝∠BFC，∠EFA＝∠CFB ∴∠EFC＝900，
A
DF
EF1
? FC2
B
又∵∠EFC＝∠B＝900∴△EFC∽△FBC
∴∠HEF＝∠BFC，∠ECF＝∠BCF ∴∠AEF＝∠HEF，∠AFE＝∠HFE ∴△EAF≌△HEF∴FH＝FA
（2）由（1）得
2
B
EC
例1图
娈式图
EF1
?，由（1）易证△EHF∽△EFC，从而可得EF2?EH?EC，同理FC2?CH?CE，于FC2
2
是EH∶HC＝EF∶FC＝1∶4
变式：如图，在矩形ABCD中，
AB513
?，点E在BC上，点F在CD上，且EC＝BC，FC＝CD，FG⊥AEBC665
于G，。求证：AG＝4GE。
（提示：证△ECF∽△FDA得EF∶AF＝1∶2，再证△EFG∽△EAF∽△FAG即可）
【例2】已知，在△ABC中，∠ACB＝900，过C作CD⊥AB于D，AD＝m，BD＝n，AC∶BC＝2∶1，又关于x的方程
2
2
12
x?2(n?1)x?m2?12?0的两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。 4
2
2
分析：如图，易证△ABC∽△ADC，AC∶BC＝AD∶BD＝m∶n＝2∶1，即m?2n，再由方程两根差的平方小于192可得n?
∴
1
，又由判别式△≥0知n≤2 2
1
＜n≤2，又n为整数，∴n＝1，2 2
G
∴m＝2，n＝1或m＝4，n＝2
E
D
F
C
D
F
BD
A
BC
BC
例2图
13问题一图
13问题一图
1
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