2017高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2.3 导数的综合
应用对点训练 理
1.设f(x)是定义在R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)＋f?x?，则关于x的函数x
g(x)＝f(x)＋的零点个数为() x
A．1B．2
C．0D．0或2
答案 C
解析 由f′(x)＋
即
[xf(x)]′>0，函数xf(x)单调递增；
当x<0时，xf′(x)＋f(x)<0，
即[xf(x)]′<0，函数xf(x)单调递减．
∴xf(x)>0f(0)＝0，又g(x)＝f(x)＋x＝
个数等价于函数y＝xf(x)＋1的零点个数．
当x>0时，y＝xf(x)＋1>1，当x<0时，y＝xf(x)＋1>1，所以函数y＝xf(x)＋1无零点，所以函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为0.故选C.
2．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋－1－11f?x?xf′?x?＋f?x?>0，当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，xxxf?x?＋1xf?x?＋1，函数g(x)xxxf′(x)>x2，则不等式(x＋2014)2f(x＋2014)－4f(－2)>0的解集为________． 答案 (－∞，－2016)
解析 由2f(x)＋xf′(x)>x，x<0得2xf(x)＋xf′(x)<x，∴[xf(x)]′<x<0.令F(x)＝xf(x)(x<0)，则F′(x)<0(x<0)，即F(x)在(－∞，0)上是减函数，因为F(x＋2014)＝(x＋2014)f(x＋2014)，F(－2)＝4f(－2)，所以不等式(x＋2014)f(x＋2014)－4f(－2)>0即为F(x＋2014)－F(－2)>0，即F(x＋2014)>F(－2)，又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以x＋2014<－2，∴x<－2016. 22222323
?ππ??ππ?ππ3．已知f(x)＝ax－cosx，x∈??.若?x1∈?，，?x2∈?，，x1≠x2，?43??43??43?
f?x2?－f?x1?<0，则实数a的取值范围为________． x2－x1
答案 a3 2
?ππ?解析 f′(x)＝a＋sinx.依题意可知f(x)在??上为减函数，所以f′(x)≤0对x?43?
∈??ππ恒成立，?ππ?ππ?可得a≤－sinx对x∈?恒成立．设g(x)＝－sinx，x∈??.?43??43??43? 1
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