课时作业58 用样本估计总体
一、选择题
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
A．0.35C．0.55
B．0.45 D．0.65
9
解析：求得该频数为2＋3＋4＝9，样本容量是20，所以频率为20＝0.45.
答案：B
2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()
A．46,45,56C．47,45,56
B．46,45,53 D．45,47,53
解析：从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平45＋47
均数，即2＝46，众数为45，极差为68－12＝56.
答案：A
3．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为( )
A．11
C．12 B．11.5 D．12.5
解析：设样本重量的中位数为10＋x,5×0.06＋0.1x＝0.5可得x＝2，故估计样本重量的中位数为12.
答案：C
第3题图 第4题图
4．将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如上所示的茎叶图，由图可知( )
A．甲、乙两队得分的中位数相等
B．甲、乙两队得分的平均数相等
C．甲、乙两队得分的极差相等
D．甲、乙两队得分的方差相等
解析：甲队中位数是37，乙队中位数是37.5，甲队平均得分x甲26＋24＋33＋36＋33＋38＋43＋47＋49＋51＝＝38.同上x乙＝38.故10
甲、乙两队得分的平均数相等．
答案：B
5．(2014·陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，?，x10，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x，s2＋1002
C.x，s2 B.x＋100，s2＋1002 D.x＋100，s2
x1＋x2＋?＋x10解析：由题意，得x＝ 10
1s2＝10[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(x10－x)2]． 因为下月起每位员工的月工资增加100元， 所以下月工资的均值为
?x1＋100?＋?x2＋100?＋?＋?x10＋100?10
?x1＋x2＋?＋x10?＋10×100＝x＋100 10
1下月工资的方差为10[(x1＋100－x－100)2＋(x2＋100－x－100)2
1＋?＋(x10＋100－x－100)]＝10[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(x10－2
x)2]＝s2，故选D.
答案：D
6．等差数列x1，x2，x3，?，x9的公差为1，若以上述数据x1，x2，x3，?，x9为样本，则此样本的方差为( )
20A.3
C．60 10B.3 D．30
1解析：公差为1的等差数列为x1，x2，x3，?，x9，则x＝9(x1＋
1?x1＋x9?×92x2＋?＋x9)＝9＝x5.方差s＝ 2
?x1－x5?2＋?x2－x5?2＋?＋?x9－x5?21222＝[(－4)＋(－3)＋(－2)＋99
6020(－1)2＋0＋12＋22＋32＋42]＝9＝3.
答案：A
二、填空题
7．若一组样本数据2,3,7,8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2＝________.
2＋3＋7＋8＋a1222解析：由5得a＝5.所以s＝－5)＋(3－5)55
26＋(7－5)＋(8－5)＋(5－5)]＝5222
26答案：5
8．某厂对一批产品进行抽样检测．下图是抽检产品净重(单位：克)数据的频率分布直方图，样本数据分组为[76,78)，[78,80)，?，
[84,86]．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是________．
解析：[78,84)克的产品的频率为2×0.100＋2×0.150＋2×0.125＝0.75，故[78,84)克的产品的个数是120×0.75＝90.
答案：90
9．已知x是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数，且1,3，x，－y
1这四个数据的平均数为1，则xy的最小值为________．
1＋3＋x－y解析：由已知得3≤x≤5，1，∴y＝x， 4
111∴xyxx，又函数y＝xx在[3,5]上单调递增，
10
∴当x＝3时取最小值310答案：3 三、解答题
10．(2014·北京卷)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间
少于12小时的概率；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)
解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少
10于12小时的频率是1－100＝0.9.
从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
频率(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a＝组距
0.17＝2＝0.085.
频率课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b＝组距
0.25＝2＝0.125.
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
11．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.
由观测结果可得
1x＝20×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋
2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
1y＝20×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋
1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得x>y，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
7从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有10的叶集中在茎
72,3上，而B药疗效的试验结果有10的叶集中在茎0,1上，由此可看出
A药的疗效更好．
1．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(
)
A．30%
C．3% B．10% D．不能确定
解析：由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.
答案：C
2．已知数据x1，x2，x3，?，xn分别是江西省普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则对于这n＋1个数据，下列说法正确的是( )
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 解析：由于世界首富的年收入xn＋1较大，故平均数一定会增大，差距会拉大，因此方差也会变大．
答案：B
3．(2014·江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于
100 cm.
解析：由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.
答案：24
4．以下茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
1(注：方差s＝nx1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，其中x为2
x1，x2，?，xn的平均数)．
解：(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，
8＋8＋9＋103512所以平均数为x＝＝4，方差为s＝44
35??35??35??35??11????8－2＋?8－2＋?9?2＋?10－2?＝. 4??4??4??4??16??
(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，
41(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝164
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