课时作业65 坐标系
一、填空题
1．在直角坐标系中，点P的坐标为(－1，－3)，则点P的极坐标为________．
解析：ρ＝?－1?2＋?－?3?＝2，?1cosθ＝－?22－3sinθ＝2
44∴θ＝3π，即P(2，3．
4答案：(2，3π)
2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________(填序号)．
π?π???①?12；②?12；③(1,0)；④(1，π) ????
??x＝ρcosθ，解析：圆的方程可化为ρ＝－2ρsinθ，由? ?y＝ρsinθ，?2
得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，
π??化为极坐标为?1，－2. ??
答案：②
3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________(填序号)．
①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一
条射线．
解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．
答案：③
4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．
解析：曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ
??x＋y＝1，－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组?得?y－x＝1，?
??x＝0，π???则交点为(0,1)，对应的极坐标为?1，2. ???y＝1，?
π??答案：?1，2? ??
π??5．在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A?4，6 ??
到圆心C的距离是________．
解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－
π??4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A?4，6?的直角坐标为(23，2)，??
故点A到圆心的距离为?0－23?2＋?2－2?2＝3.
答案：3
π6．极坐标系下，直线ρcos(θ－42与圆ρ＝2的公共点个数是
________．
解析：将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x＋y＝2，x2＋y2＝4，由于圆心到直线的距离d＝2<2，故直线与圆相交，
即公共点个数共有2个．
答案：2
π7．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ4，若曲线
C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.
解析：曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由?ρ＝2cosθ，
?π?θ＝4 ?ρ＝2，得?π?θ＝4 即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB＝2. 答案：8．在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．
解析：由曲线C：ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.
答案：4
π9．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝3ρcosθ＋ρsinθ＝1围
成图形的面积是________．
解析：
πθ＝0，θ＝3ρcosθ＋ρsinθ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：
y＝0，y3x，x＋y＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB，S＝
3－3答案：4
二、解答题
π???θ－10．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin4??
2＝2(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，
π??2?直线l：ρsinθ－4＝2，即ρsinθ－ρcosθ＝1， ??
则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
22???x＋y－x－y＝0，?x＝0，(2)由?得?故直线l与圆O公共点的一???x－y＋1＝0?y＝1，334.
π???个极坐标为1，2?. ??
11．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，
π??ρcos?θ＋3?＝1. ??
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x3y－2＝0，所以曲线C2为
3直线，由于圆心到直线的距离为d＝2，所以直线与圆相离，即曲线
C1和C2没有公共点．
?ρ0＝??ρρ0＝2，ρ(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则?即???θ＝θ0， 2?θ0＝θ. ①
因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，
π??所以ρ0cos?θ0＋3?＝1，② ??
2?π?将①代入②，得ρ?θ＋3＝1， ??
π?1?2????即ρ＝2cosθ＋3为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为x－2????
??13?23?＋?y＋＝1，因此点P的轨迹是以? 2?2???2
为圆心，1为半径的圆．
1．(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴
为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
1πA．ρ＝0≤θ≤2 cosθ＋sinθ
1πB．ρ＝，0≤θ≤4 cosθ＋sinθ
πC．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤2
πD．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤4
解析：∵y＝1－x(0≤x≤1)，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)．整理得ρ＝
答案：A
π2．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，倾斜角为4l与曲
??x＝2＋cosα，线C：?(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2，以坐标??y＝1＋sinα1π.(0≤θ≤2)．故选A. sinθ＋cosθ
原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．
解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，因为弦长|AB|＝2，所以圆心(2,1)到直线l的距离d＝0，
π??所以圆心在直线l上，故y＝x－1?ρsinθ＝ρcosθ－1?ρsin?θ4＝－??
π??22??θ－2ρsin?4?＝－2π??2答案：ρsin?θ－4＝－2 ??
??x＝2＋t，3．(2014·重庆卷)已知直线l的参数方程为?(t为参数)，??y＝3＋t
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
解析：直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程y2＝4x.∴公共点为(1,2)，∴ρ5. 答案：5
4．(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，
??x＝x1依题意，得?， ?y＝2y?1
2yy2222由x21＋y1＝1得x＋＝1，即曲线C的方程为x＋1. 24
??x＝cost故C的参数方程为?(t为参数)． ?y＝2sint?
2y?x＋＝1???x＝1?x＝04(2)由?，解得：?，或?. ?y＝0???y＝2?2x＋y－2＝02
1不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(21)，所求
111直线斜率为k＝2y－1＝2x－2，
化为极坐标方程，并整理得
32ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝4sinθ－2cosθ
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