课时作业66 参数方程
一、填空题
1．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，曲线C：
??2y＝1?22x＝22t， (t为参数)的普通方程为________．
解析：两式相减得，x－y＝2－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
??x＝2s＋1，?2．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)?y＝s?
??x＝at，和直线l2：?(t为参数)平行，则常数a的值为________． ??y＝2t－1
y＋1解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a2aa即x2y＋2，
a∵l1∥l2，∴2＝2∴a＝4.
答案：4
3．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的动点，记以射线Ox为始边、以射线OP为终边的最小正角为θ，则以θ为参数的圆C的参数方程为________．
解析：
圆C的圆心为(2,0)，半径为2，如图，由圆的性质知以射线Cx为始边、以射线CP为终边的最小正角为2θ，所以圆C的参数方程为??x＝2＋2cos2θ?(θ为参数)． ?y＝2sin2θ?
??x＝2＋2cos2θ答案：?(θ为参数) ?y＝2sin2θ?
??x＝3cosθ4．已知点P是曲线C：?(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，??y＝4sinθ
πO为坐标原点，直线PO的倾斜角为4，则P点的直角坐标是________．
x2y2解析：将曲线C的参数方程化为普通方程，得9161(y≥0)，
π因为直线OP的倾斜角为4，所以其斜率为1，则直线OP的方程为y
22xy?1121212＝x，联立方程?916，解得y＝5P点的坐标为(55)． ?y＝x
1212答案：(5，55．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极
2??x＝t，轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线?(t3?y＝t?
为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
2??x＝t23?解析：ρcosθ＝4化为普通方程x＝4，化为普通方程y＝x，3?y＝t?
联立解得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.
答案：16
??x＝a＋t6．直线l的参数方程为?(t为参数)，l上的点P1对应的??y＝b＋t
参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是__________． 答案：2|t1|
??x＝cosα，7．直线3x＋4y－7＝0截曲线?(α为参数)的弦长为??y＝1＋sinα
________．
解析：曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d＝|0＋4－7|38＝5l＝2r－d＝59＋16
8答案：58．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为
???x＝t，?x2cosθ，?(t为参数)和?(θ为参数)，则曲线C1与C2的交?y＝t???y2sinθ 点坐标为________．
解析：曲线C1的普通方程为y2＝x(y≥0)，
曲线C2的普通方程为x2＋y2＝2.
2???y＝x?y≥0?，?x＝1，由?22解得?即交点坐标为(1,1)． ?x＋y＝2，???y＝1，
答案：(1,1)
9．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立
??x＝3＋cosθ，极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：?(θ为参数)和曲?y＝sinθ?
线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析：消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.
答案：1
二、解答题
10．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ＝cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
?
(2)若直线l的参数方程为?2?y＝22x＝2－2t， (t为参数)，直线l与
曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
解：(1)将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入ρ2sin2θ＝ρcosθ中，得y2＝x，∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝x.
?
(2)把?2?y＝2，2x＝2－2， 代入y2＝x整理得，
t22t－4＝0，Δ>0总成立．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
∵t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，
∴|AB|＝|t1－t2|?2?2－4×?－4?＝32.
11．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝
π??2cosθ，θ∈?0，2. ??
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)
??x＝1＋cost可得C的参数方程为?(t为参数，0≤t≤π) ??y＝sint
(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线方程与l垂直，所以直线GD与l的斜率
π相同．tant＝3，t3.
ππ33故D的直角坐标为(1＋cos3，sin3)，即(22
．
1．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ.
??ρ＝2，π?∴解得ρ＝2，θ＝ 3?ρ＝4cosθ.?
π??π?????故圆C1与C2交点的坐标为2，3，2，－3?. ????
(注：极坐标系下点的表示不唯一)
??x＝ρcosθ，(2)由?得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(13)，??y＝ρsinθ，
(13)．
??x＝1，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为?3≤t3. ?y＝t，?
??x＝1，(或参数方程写成?3≤y≤3) ?y＝y，?
2．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋5＝0.
(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．
解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcosθ＋5＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－6x＋5＝0.
??x＝－1＋tcosα，直线l的参数方程为?(t为参数)． ?y＝tsinα?
??x＝－1＋tcosα，将?(t为参数)代入x2＋y2－6x＋5＝0整理得，t2??y＝tsinα
－8tcosα＋12＝0.
∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0，
3∴cosα≥2或cosα≤－2.
π??5π???∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是0，6∪?6π?. ????
(2)曲线C的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，其参
??x＝3＋2cosθ，数方程为?(θ为参数)． ??y＝2sinθ
∵M(x，y)为曲线C上任意一点，
π∴x＋y＝3＋2cosθ＋2sinθ＝3＋22sin(θ＋4)，
∴x＋y的取值范围是[3－2，3＋22]．
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