绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
(银川一中第一次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
x1．已知集合M?xx?1,N?x2?1，则M?N= ? ???A. ?
2．复数Z?
A．i B. x0?x?1 ?? C. xx?0??D. xx?1 ??2i的虚部是1?iB．-i C．1 D．-1
13．在等比数列{an}中，若a1?，a4?3，则该数列前五项的积为 9
A．±3 B．3 C．±1 D．1
4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，
则该三棱锥的体积为
A．43
C．123 B．83D．243
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5．二项式A．360
210
)展开式中的常数项是
x2
B．180
C．90
D．45
6．在?ABC中，tanA?A．-1
1，则tanC= ,cosB?
2CB．1 D．-2
7．若对任意非零实数a,b，若a?
b如右图的程序框图所示，则(3?2)?413
A．
12
B．C．
1
2
3
2
D．9
8．函数f(x)?3sin(2x?A．
?
3
??),??(0,?)满足f(x)?f(x)，则?的值为
C．
??
B． 635?2?
D． 63
1
的最小值为 3b
9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，
?a,b,c?(0,1)?，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则2?
a
A．
32 3
B．
28 3
C．
1416 D． 33
x2y22
10．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x?1相切，则该双曲线的离心
ab
率为 AB．2 CD11．已知函数f(x)定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?ex(x?1)，给出下列命题：
①当x?0时，f(x)?ex(1?x) ②函数f(x)有2个零点
③f(x)?0的解集为(?1,0)?(1,??)④?x1,x2?R，都有|f(x1)?f(x2)|?2 其中正确命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4 12．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2??9的9个
小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂
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颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜
色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种
A．18 B．36 C．72 D．108
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线y?2与直线y?x?1及x?4所围成的封闭图形的面积为. x
14．在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,
b,c
15．在区间[0,2]上任取两个实数a,b，则函数f(x)=x3+ax-b在区间[-1,1]上有且只有一个零点
的概率是 .
16．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体
AB?2，AC?1,?BAC?60?，则此球的表面积等于__________.
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 理科数学试卷 第3页(共6页)17.（本小题满分12分） 在等差数列{an}中，a1?3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1?1，公比为q(q?1)，且b2?S2?
12（1）求an与bn；
（2
18.（本小题满分12分）
某学校研究性学习小组对该校高三学生视
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力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中
随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图
的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，
试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的
学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与
学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和
951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，
根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05
的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
n(ad?bc)2
K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2
19．（本小题满分12分）
π如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E2
是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图(2)所示．
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．
20．(本小题满分12分)
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椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足PQ?2，S?OPQ?6S?OFQ. 2
（1）求椭圆C及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆C的“准圆”的一条弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，试证明：当OM?ON?0时，试问弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)?ln(1?x2)?ax.(a?0)
(1)若f(x)在x?0处取得极值，求a的值；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)证明：(1?)(1?
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O
上的两点，
OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于
点D．连接CF交AB于点E．
（1）求证：DE2=DB?DA；
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．
23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程． A E B C 1911)...(1?2n)?e(n?N*,e为自然对数的底数）. 813
??x??5?t在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?，（t为参数），在以
??y?3t
原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为高考提分，学霸之路 www.99jianzhu.com
???cos(??)?A，B两点的极坐标分别为A(2,),B(2,?). 42
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值.
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数f(x)?|x?2|.
（1）解不等式：f(x?1)?f(x?2)?4；
（2）已知a?2，求证：?x?R,f(ax)?af(x)?2恒成立.
银川一中2016届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案
13. 4-ln2 14.
三、解答题 57 15. 16. 8? 88
17．解：（1）设{an}的公差为dq?3或，d?3． q??4（舍）
故an?3?3(n?1)?3n，bn?3n?1．……………………………………………5分
分 分 分 18. （1）设各组的频率为fi(i?1,2,3,4,5,6)，
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由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分
因为后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为27,24,21,18 ……………………………2分
所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，
故全年级视力在5.0以下的人数约为1000?
282?820 …………………………3分 100100?(41?18?32?9)2300??4.110?3.841 （2）k?50?50?73?2773
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分
（3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人， X可取0、1、2、3…………………7分
321C6C6C34520， P(X?1)?， P(X?0)?3??384C984C9
123C3C6C3181， P(X?2)??P(X?3)??3384C984C9
X的分布列为
………………11分
X的数学期望E(X)?0?2045181?1??2??3??1 ………………12分 84848484
19．解：(1)证明：在图(1)中，
因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，
π∠BAD＝，所以BE⊥AC，BE∥CD. 2
即在图(2)中，BE⊥OA1，BE⊥OC，
又OA1∩OC＝O，OA1?平面A1OC，OC?平面A1OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，
所以∠A1OC为二面角A1-BE - C的平面角，
π所以∠A1OC＝. 2
如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，
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2222→→得BC＝(－0)，A1C＝(0，2222
→→CD＝BE＝(－2，0，0)．
设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，
→?BC＝0，??n1·?－x1＋y1＝0，则?得?取n1＝(1，1，1)； →?y－z＝0，?11??n1·A1C＝0，
→?CD＝0，??n2·?x2＝0，?得?取n2＝(0，1，1)， →?y－z＝0，?22??n2·A1C＝0，从而cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝26＝， 23
6. 3即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为
20.解：（1）设椭圆C的左焦点F(?c,0),c?0，由S?OPQ?66S?OFQ得a?c，又22
PQ?2，即a2?b2?4且b2?c2?a2，所以a2?3,b2?1，
x2
则椭圆C的方程为?y2?1；椭圆C的“准圆”方程为x2?y2?4.………4分 3
（2）设直线ED的方程为y?kx?b(k,b?R)，且与椭圆C的交点
M(x1,y1)、N(x2,y2)，
?y?kx?b?222联列方程组?x2 代入消元得：(1?3k)x?6kbx?3b?3?0 2?y?1??3
?6kb3b2?3由x1?x2?………6分 ,x1x2?221?3k1?3k
b2?3k2
可得y1y2?(kx1?b)(kx2?b)? 由OM?ON?0得x1x2?y1y2?0即1?3k2
323b2?3b2?3k24b2?3k2?32b?(k?1)………8分 ???0， 所以22241?3k1?3k1?3k
此时??36kb?4(1?3k)(3b?3)?27k?3?0成立，
则原点O到弦ED的距离d?22222b
k2?1?b2
?2k?133, ?42
得原点O到弦ED的距离为33，则ED?24??， 42
故弦ED的长为定值. ……………………………12分
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21、解：（1）?f??x??2x?a,?x?0是f(x)的一个极值点，则 1?x2
f??0??0,?a?0，验证知a=0符合条件…………………….（2分）
2xax2?2x?a?a? （2）?f??x?? 1?x21?x2
1）若a=0时，
?f(x)在?0,???单调递增，在???,0?单调递减；
2）若??a?0 得，当a??1时，f??x??0对x?R恒成立，??0?
2 ?f(x)在R上单调递减…………………………………（4分） 3）若?1?a?0时，由f??x??0得ax?2x?a?0
?1??a2?1??a2
? ?x?aa
?1??a2?1??a2
再令f??x??0,可得x? 或x?aa
?1??a2?1??a2
?f(x)在( ，,)上单调递增aa
?1??a2?1??a2
在(??,-------（6分） )和(,??)上单调递减aa
综上所述，若a??1时，f(x)在(??,??)上单调递减，
?1??a2?1??a2
若?1?a?0时， f(x)在(,)上单调递增，aa
?1??a2?1??a2
(??,。 )和(,??)上单调递减aa
若a?0时，f(x)在?0,???单调递增，在???，（7分） 0?单调递减..................
???单调递减 (3)由（2）知，当a??1时，f(x)在???，
当x??0,???时，由f(x)?f(0)?0
?ln(1?x2)?x
111111?ln[(1?)(1?)...(1?2n)]?ln(1?)?ln(1?)?......?ln(1?2n)98198133
1?1??1?n? 1111?13?3?1???2?n???1?n??1332?3?231?3
111?(1?)(1?)...(1?2n)?e2?e,................................(12分)9813
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选做题
22.（1）证明：连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB?DA． A E B 所以DE2=DB?DA． ……………… 5分
（2）解：?DF2=DB?DA，DB=2，DF=4．
?DA= 8， 从而AB=6， 则OC?3．
又由（1）可知，DE=DF=4， ?BE=2，OE=1．
从而 在Rt?COE中，CE?CO2?OE2?． ………………10分
23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】
??x??5?t，解：（1）由? y?3?t，??
??x?5?t，得?
??y?3?t，
消去参数t，得(x?5)2?(y?3)2?2，
所以圆C的普通方程为(x?5)2?(y?3)2?2．
π??由?cos?????， 4??
cos?sin??， 即?cos???sin???2，
换成直角坐标系为x?y?2?0，
所以直线l的直角坐标方程为x?y?2?0． ……………………………………（5分）
?π?（2）∵A?2?，B(2，π)化为直角坐标为A(0，2)，B(?2，0)在直线l上， ?2?
并且|AB|?，
设P点的坐标为(?5t，3?t)，
则P点到直线l的距离为d? ∴dmin??，
1?22?22?4…………………………（10分） 2所以△PAB面积的最小值是S?
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（说明：用几何法和点到直线的距离公式求d??）
24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】
（1）解：f(x?1)?f(x?2)?4，即|x?1|?|x|?4，
3①当x≤0时，不等式为1?x?x?4，即x??， 2
3∴??x≤0是不等式的解； 2
②当0?x≤1时，不等式为1?x?x?4，即1?4恒成立，
∴0?x≤1是不等式的解；
③当x?1时，不等式为x?1?x?4，即x?
∴1?x?5是不等式的解． 25， 2
?35?综上所述，不等式的解集为???． ?22?…………………………………………（5分）
（2）证明：∵a?2，
∴f(ax)?af(x)?|ax?2|?a|x?2|
?|ax?2|?|ax?2a|?|ax?2|?|2a?ax|≥|ax?2?2a?ax|?|2a?2|?2， ∴?x?R，f(ax)?af(x)?2恒成立． …………………………………………（10分）
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