沪教版八年级第二学期数学教案
20.1 一次函数的概念
教学目标
（1）通过一些具体函数实例；建立和理解一次函数概念。
（2）理解一次函数与特殊函数如正比例函数、常值函数的关系。
（3）会判断两个变量之间的关系是否是一次函数；能用待定系数法确定一次函数解析式；
（4）在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想。 教学重点及难点
一次函数与正比例函数概念的关系；
用待定系数法求一次函数的解析式.
教学过程
一、创设情境，复习导入
问题1：汽车油箱里原有汽油120升，已知每行驶10千米耗油2升，如果汽车油箱的剩余是y（升）汽车行驶的路程为x（千米），试用解析式表示y?与x的关系．
分析：每行驶10千米耗油2升，那么每行驶1千米耗油0.2升，因此y与x的函数关系式为：
y=120－0.2x（0≤x≤600）
说明 当一个函数以解析式表示时,如果对函数的定义域未加说明,那么定义域由这个函数的解析式确定；否则,应指明函数的定义域.
这个函数是不是我们所学的正比例函数？它与正比例函数有何不同？它的图像又具备什么特征？从今天开始我们将讨论这些问题．
二、学习新课
1．概念辨析
问题2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障，修好后以60千米／小时的速度继续行驶.以汽车从A处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t（小时），某人离开甲地所走的路程为s（千米），那么s与t的函数解析式是什么？
类似问题1：这个函数解析式是
S=60t+80
思考：这个解析式和y=-0.2x+120有什么共同特点？
说明 通过讨论使学生能够从它们的函数表达式得出表示函数的式子都是自变量的一次整式.
如果我们用k表示自变量的系数，b表示常数．?这些函数就可以写成：y=kx+b（k≠0）的形式.
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0?）的函数，?叫做一次函数（?linear function）．一次函数的定义域是一切实数.
当b=0时，y=kx+b即y=kx（k是常数，且k≠0?）．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
当k=0时，y等于一个常数，这个常数用c来表示，一般地，我们把函数y=c（c是常数）叫做常值函数它的定义域由所讨论的问题确定．
2．例题分析
例题1 根据变量x、y的关系式, 判断y是否是x的一次函数.
（1）y?2x；（2）y?1?
y?
例题2 已知变量x、y之间的关系式是y=（a+1）x+a (其中a是常数),那么y是x的一次函数吗?
例题3 已知一个一次函数,当自变量x=2时，函数值y=-1；当x=5时，y=8.求这个函数的解析式.
分析：求一次函数解析式，关键是求出k、b值．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得.
解 设所求一次函数的解析式为y=kx+b；
由x=2时y=-1,得 -1=2k+b；
由x=5时y=8,得 8=5k+b.
解二元一次方程组?
k=3, b=-7.
3．巩固练习：
1．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ 2?3. x11x；（3）x?y?2；（4）23??1?2k?b ?8?5k?b所以,这个一次函数的解析式是y?3x?7. 3． x （3）y?5x2?6． （3）y??3x?1． （1）y??8x． （2）y?
2．一个小球从斜坡由静止开始向下滚动，其速度每秒增加2米．这个小球的速度v随时间t变化的函数关系是一次函数吗？
3．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（小时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？
4．已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
4、自我评价,谈谈感想
１．这节课你学会了什么？
２．你认为有哪些要注意的地方？
３．你还有什么问题吗？
五、作业：
练习册：20.1
课后反思：（1）关于一次函数的定义的建立，可以通过列举更多的实例，由其中所反映的一次函数关系，通过观察、比较、归纳，抽象出一次函数的定义。
（2）关注以下几个方面：一是对“形如”的理解，定义中增加“形如”两字，是为了避免产生一些错误理解：学生错误地认为一次函数的自变量与因变量只能用x、y表示，诸如S=5t+3,或h=2n+1这类函数不是一次函数。二是对一次函数定义域的认识，要明确一个函数，应该指出函数的定义域，所以，指出解析式形如y?kx?b（其中k、b为常数，且k?0）的一次函数，它的定义域是一切实数，只是约定可以不加说明；而当一次函数的定义域不是一切实数时，必须说明。
（3）建立一次函数的定义后，首先考虑这类新函数与学过的正比例函数之间的关系，以此巩固一次函数的概念，加深对一次函数定义的认识。
（4）例题1是帮助学生学会用定义判断一个函数关系是否是一次函数。在解决例题1的过程中，要紧扣一次函数的定义，即解析式形如y=kx+b。这里要指出的是，若从函数角度思考一个二元一次方程所反映的两个未知数之间的关系，我们发现，一个二元一次方程所反映的两个变量之间的关系，可能是一次函数，也有可能不是一次函数。本题中仅考虑方程中两个未知数的系数都不等于0的情况。
（5）设臵例题2，是为了帮助学生巩固如何判断一次函数关系，并引导学生学习和体验分类讨论的数学思想；在此基础上，引入常值函数概念。对于常值函数，只要学生知道，它也反映了一个变化过程，只是在自变量变化时，函数值取同一个常数，但这也是一个确定的依赖关系。教学中，可回顾第十四章“平面直角坐标系”中有关知识，再用图像法帮助学生体验常值函数所反映的变化过程。
20．2（1）一次函数的图像
教学目标
1.了解一次函数图像是一条直线，会用描点法画一次函数图像;
2.掌握直线的截距的概念，并能根据解析式写出直线的截距;
3.理解一次函数图像与x轴、y轴交点含义，并会求出交点坐标. 教学重点及难点
1.画出一次函数图像，写出直线的截距;
2.会求直线与坐标轴交点坐标.
教学过程设计
一、 情景引入
1．操作
按照下列步骤画正比例函数y=并进行比较X K b1 .C om
11
x和一次函数y=x+3的图像，22
(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点.
(3)连线:用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来. 2．观察
观察表格和图像,对于x的每一个相同值,函数y=函数y=
1
x的对应值都大多少? 2
说明 不论从表中或图像上都可以看出, 对于x的每一个相同值, 11
函数y=x+3的对应值比函数y=x的对应值都大3个单位.因此, 函数1122
y=x+3的图像是由函数y=x的图像向上平移3个单位得到的. 22
3．思考
我们知道,正比例函数是特殊的一次函数,而正比例函数的图像是一条直线,那么一次函数的图像是直线吗?
二、学习新课 1．概念辨析
1
x+3的对应值比2
一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.
2．例题分析
例1在平面直角坐标系xOy中，画一次函数y=直线上的两点,再过两点画直线就可以了.
解: 由y=
分析 因为两点确定一条直线,所以画一次函数的图像时,只要先描出
2
x-2的图像. 3
2
x-2可知，当x=0时，y=-2；当y=0时， x=3.
23
所以A(0,-2)、B(3,0)是函数y=x-2的图像上的两点.
23
过点A、B画直线，则直线AB就是函数y=x-2的图像.(图略).
3
说明 (1)画直线y=kx+b时,通常先描出直线与x轴、y轴的交点,如果直线与x轴、y轴的交点坐标不是整数,为了画图方便、准确, 通常是描出直线上的整数点.
(2)本例讲述了求直线与坐标轴交点的方法,同时,为引出直线的截距概念作好铺垫.
由点A的横坐标x=0，可知点A在y轴上；由点B的纵坐标y=0，可知点B在x轴上.又点A、B在直线y=
分别与y轴、x轴的交点.
3．概念辨析
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.
一般地，直线y=kx+b(k?0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k?0)的截距是b.
4．例题分析
例2 写出下列直线的截距：
(1)y=-4x-2；(2)y=8x；
(3)y=3x-a+1； (4)y=(a+2)x+4(a?-2).
解 (1)直线y=-4x-2的截距是-2.
(2)直线y=8x的截距是0.
(3)直线y=3x-a+1的截距是-a+1.
(4)直线y=(a+2)x+4(a22x-2上，所以点A、B是直线y=x-233?-2)的截距是4.
说明 本例是巩固对直线截距概念的理解, 直线的截距是由x=0,求得对应的y值,同时,注意截距与距离的区别.
例3 已知直线y=kx+b经过A(-20,5)、B(10,20)两点，求：
(1)k、b的值；
(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.
分析 直线经过点,即点在图像上,所以点的坐标满足直线解析式,根据条件,建立k、b的方程组,解方程组,就可求得k、b的值.
解 (1)因为直线y=kx+b经过点A(-20,5)、B(10,20)，所以 ?
(2)这条直线的表达式为 y=112 由y=x+15,令y=0，得x+15=0，解得x=-30；令x=0，得y=15. 22 所以这条直线与x轴的交点的坐标为(-30,0),与y轴的交点的坐标为(0,15).
说明 本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法.强化重难点.
5．问题拓展 1?-20k?b?5 解得 k=, b=15. 12?10k?b?20x+15.
已知直线y=mx+2与x轴、y轴的交点分别为A、B,点O为坐标原点，如果OA=
解: 由y=mx+2,令y=0，得mx+2=0，解得x=-
令x=0，得y=2.得点B坐标为(0,2)
所以OA=│-1OB,求直线的表达式. 222,得点A坐标(-,0)；mm2│, OB=2 12m由OA=OB, 得│-│=1, 所以m=〒2 2m所以直线的表达式为y=2x+2 或 y=-2x+2
说明 本题要求出直线的表达式，只要求出待定系数m的值即可，解决问题的关键是正确运用点的坐标表示线段的长度.本题谨防漏解.
三、巩固练习
1.(口答)说出下列直线的截距：
(1)直线y=3x+2；(2)直线y=-2x-5；(3)直线y=3x+1-2.
2.在平面直角坐标系xOy中，画出函数y=-
像与坐标轴的交点的坐标.
4.已知直线y=kx+b经过点A(-1,2)和B(
四、课堂小结(学生归纳,教师引导)
的图像?
2、什么叫直线的截距? 如何求直线的截距?
3、用什么方法求直线解析式? 如何求直线与坐标轴交点的坐标?
五、作业布臵
练习册习题20.2(1)
课后反思：通过列表、描点、连线三个步骤的操作活动，学习画一次函数的图像，并让学生和正比例函数图像进行比较；在此基础上归纳得到一次函数的图像是直线，通过例题1的学习，使学生明白画一次函数图像时，两个点确定一条直线. 另外画一次函数图像时，不能局限于取图像与坐标轴的交点，在图像经过原点，以及图像与坐标轴的两个交点非常接近(如y=2x+的图像)可以取函数图像上其他的两个相距较远的点。
20.2（2）一次函数的图像
教学目标
1.通过操作、观察、探究直线相对于x轴的倾斜程度、直线上下左右平行移动，k和b的变化关系， 领会用运动变化观点处理问题的方法.
2.知道两条平行直线表达式之间的关系.
教学重点及难点
研究直线相对于x轴的倾斜程度及两条平行直线表达式之间的关系.
2x+2的图像，并求这个图33.已知直线经过点M(3,1)，截距是-5，求这条直线的表达式. 1,3),求这条直线的截距. 21、一次函数y=kx+b (k≠0)的图像是什么样的形状? 如何画一次函数18
教学过程设计
一、 情景引入
1．操作
在同一直角坐标系中画出下列直线
（1）直线y=
2．观察 1x+2； （2）直线y=3x+2； 13（3）直线y=-2x+2； （4）直线y=-x+2. 3
(1)观察上述四条直线，发现截距相同时，直线都过什么样的点?
(2)观察上述四条直线相对于x轴的倾斜程度，即直线与x轴正方向夹角的大小
3．思考
直线相对于x轴的倾斜程度，即直线与x轴正方向夹角的大小与k的大小有何关系？
二、学习新课
1．b的作用
在坐标平面上画直线y=kx+b (k≠0)，截距b相同的直线经过同一点(0,b).
2．k的作用
k值不同，则直线相对于x轴正方向的倾斜程度不同.
(1)k>0时，K值越大，倾斜角越大
(2)k<0时，K值越大，倾斜角越大
说明 （1） 倾斜角是指直线与x轴正方向的夹角；
（2）常数k称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论.
3．例题分析
例4 在同一直角坐标系中画出直线y=-
这两条直线之间的位臵关系. 11x+2与直线y=-x，并判断22
分析 描出直线上的两点,再过这两点画直线即可，问题在于如何判断这两条直线之间的位臵关系.可以通过特殊点和任意点的坐标变化规律，进行判断.
解 直线y=-
画出直线AB.
直线y=-1x+2与x轴的交点是A(4,0),与y轴的交点是B(0,2).21x过原点O(0,0)和点C(2,-1).画出直线OC. 112 则直线AB、直线OC分别就是直线y=-x+2与直线y=-x 22（图略）
在图中，观察点B相对于点O的位臵，可知点O向上平移2个单位就与点B重合. 11x上的任意一点P，设它的坐标为(x1,y1),则y1=-x1.122过点P作垂直于x轴的直线，与直线y=-x+2的交点记为Q，可知点Q与12点P有相同的横坐标，设点Q的坐标为(x1,y2),则y2=-x1+2. 112由y2-y1=(-x1+2)-( -x1)=2,可知点Q在点P上方且相距2个单位，22即点P向上平移2个单位就与点Q重合. 11因为P是直线y=-x上的任意一点，所以把直线y=-x“向上平移211212个单位”，就与直线y=-x+2重合.因此，直线y=-x+2与直线y=-x222 对于直线y=-平行.（可借助几何画板展示图形的动态变化过程）
4．直线平移
一般地，一次函数y=kx+b(b?0)的图像可由正比例函数y=kx的图像平移得到.当b>0时，向上平移b个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位.
5．直线平行 ?b，那么直线y=kx+b与直线y=kx+b平行.
如果直线y=kx+b与直线y=kx+b平行，那么k=k ,b?b . 如果k1=k2 ,b11211221221212
1x+1平行，求2这个函数的解析式. 1分析 设一次函数解析式为 y=kx+b(k≠0)，由平行条件可得k=，2例5 已知一次函数的图像经过点A(2,-1),且与直线y=再根据点A坐标求出b，就可求出函数解析式.
因为直线y=kx+b与直线y=解 设一次函数解析式为 y=kx+b(k≠0). 6．例题分析 11x+1平行，所以k=. 1122因为直线y=kx+b经过点A(2,-1),又k=，所以〓2+b=-1. 212解得 b=-2 所以这个函数的解析式为 y=x-2. 2 3．问题拓展
已知直线y=2x-3，把这条直线沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向右平移3个单位，求两次平移后的直线解析式.
分析 无论是上下平移，还是左右平移，直线的斜率k不变，所以要求出直线解析式y=kx+b，只要求出b就可以了.问题是如何求出b,解决问题的突破口:不妨取直线y=2x-3上的一个点A(0,-3),经过两次平移后,得点A1(3,2).然后把点A1(3,2)的坐标代入y=2x+b就可求出b,从而使问题得解.
三、巩固练习
1.指出下列直线中互相平行的直线：
(1)直线y=5x+1； (2)直线y=-5x+1； (3)直线y=x+5；
(4)直线y=5x-3； (5)直线y=x-3； (6)直线y=-5x+5.
2.已知直线y=(m-1)x+m与直线y=2x+1平行.
(1)求m的值；
(2)求直线y=(m-1)x+m与x轴的交点坐标.
3.已知一次函数的图像经过点M(-3,2),且平行于直线y=4x-1.
(1)求这个函数的解析式；
(2)求这个函数图像与坐标轴围成的三角形面积.
四、课堂小结(学生归纳,教师引导)
1.直线相对于x轴的倾斜程度与k的大小有何关系?
2.两条直线平行需要满足什么条件?
3.求直线与坐标轴围成的三角形面积时,需要注意什么?
五、作业布臵
配套练习册习题20.2(2)
课后反思
通过学生动手画、以及观察这些截距相同直线的图像，归纳直线与x轴正方向的倾斜程度与k的关系.通过两个例题的分析与解决，理解并掌握一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=kx的图像之间的关系，并进一步得到两条平行直线表达式之间的关系，学会利用这种关系确定直线表达式.通过拓展内容的学习,进一步巩固两条平行直线表达式之间的关系.
另外让学生用手势确定k的方向，这种方法有趣又能帮助学生形象记忆。
20.2（3）一次函数的图像
教学目标
1．能借助一次函数，进一步认识一元一次方程、一元一次不等式的解的情况，并理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.
2．通过研究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,领会数形结合的数学思想,初步能用函数知识分析问题和解决问题.
教学重点及难点
能以函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式的解.
教学用具准备
三角板、ppt课件、多媒体设备
教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
已知一次函数 y=kx+b（k?0）变量x与y的部分对应值如下表：
(1) 填空：方程kx+b=0的解为_____________；
(2) 填空：不等式kx+b>0的解集为__________；
(3) 求这个一次函数的解析式.
2．思考
一次函数 y=kx+b的自变量x的取值与方程kx+b=0的解或不等式kx+b>0的解集有何关系?
二、学习新课
1．一次函数与一元一次方程的关系
通过上述表格和填空训练，我们可以看到：
一次函数 y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解；反之，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数 y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想.
2．一次函数与一元一次不等式的关系
问题1 如图,已知直线l经过点A(0,-1)和B(2,0),那么直线l在x轴上方的点的横坐标的取值范围是什么？在x轴下方的点呢？
问题2 关于x的一元一次不等式kx+b>0、kx+b<0与一次函数 y=kx+b之间有什么关系？
通过对问题1、问题2的思考、讨论与探究，可以看到一次函数与一元一次不等式之间也有着密切联系，进一步体现数形结合的数学思想. （可借助几何画板展示图形的动态变化过程）
由一次函数 y=kx+b的函数值y大于0（或小于0），就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）.在一次函数 y=kx+b的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解.
3．例题分析
例6 已知函数y=
(1)当x取何值时，函数值y=5？ 2x+1. 3
2x+1上且位于x轴下方的所3有点，它们的横坐标的取值范围是什么？ 22解 (1)要使函数y=x+1的值y=5,只要使x+1=5. 233解方程x+1=5，得x=6.所以当x=6时，函数值y=5. 223(2) 要使函数y=x+1的值y>5,只要使x+1>5. 33(3)在平面直角坐标系xOy中,在直线y=
(2)当x取何值时，函数值y>5？
的值为横坐标的点，以题(2)所得的x的值为横坐标的点都位于这条直线上点M朝上一侧.
4．问题拓展
已知三条直线l1: y1=2x-1, l2: y2=-x+5, l3: y3=kx-3
(1)如果l1 ∥ l3 求k的值
(2)如果l1、l2、l3都经过同一点，求k的值
(3)当x取何值时, 函数值y1大于 y2?
分析 问题（1），根据平行条件就可以求出k的值；问题（2）要求k的值，只要求出直线l1与l2交点坐标，在代入l3的解析式，就可求出k的值.问题(3)可以把一次函数问题转化为一元一次不等式,进行求解.
三、巩固练习
1.已知一次函数解析式是y=3x+2.
(1)当x取何值时，y=1？
(2)当x取何值时，y>1？
(3)当x取何值时，y<1？
2.已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(-3,0)和B(0,-2).
(1)求该函数解析式；
(2) 当x取何值时，y>-2?
3.已知一次函数的解析式为y=-2x+1>5，得x>6.所以当x>6时，函数值y>5. 23(3)因为所求的点在直线y=x+1上且位于x轴下方， 233所以x+1<0. 解得 x<-, 332即所有这样的点的横坐标的取值范围是小于-的一切实数. 22对例6进一步分析，在直线y=x+1上，M(6,5)是以题(1)中所得的x3解不等式
于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围.
四、课堂小结(学生归纳,教师引导) 1x+3,求在这个一次函数图像上且位2
1.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有什么关系?
2.如何从函数观点来认识一元一次方程、一元一次不等式的解?
五、作业布臵
配套练习册习题20.2(3)
课后反思
在熟悉一次函数图像基础上，通过观察表格和填空、以及问题1与问题2，从形和数两个角度探讨一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.学会利用函数图像帮助分析和认识一元一次方程与一元一次不等式的解.
20.4（1）一次函数的应用
教学目标:
1、经历把实际问题中的有关变量以及关系用数学式子表示出来的过程，领会一次函数的意义，掌握列函数解析式的方法和步骤,能根据题意正确熟练地列出函数解析式.
2、体会应用一次函数的知识解决简单的实际问题的作用，增强应用函数方法解决实际问题的意识.
3、会画实际问题的函数图像，注意实际问题中的定义域.
教学重点及难点
1、根据题意列出一次函数解析式.
2、应用函数的思想方法解决简单的实际问题.
教学用具准备
多媒体课件
一、 情景引入
1．问题：
2006年7月12日，刘翔以12秒88的成绩获得瑞士洛桑田径超级大奖赛金牌，并打破沉睡13年之久、由英国名将科林.杰克逊创造的12秒91的世界纪录，这是中国人的骄傲.假设刘翔在110米跨栏比赛中速度是匀速的，那么枪响后，刘翔离终点的距离 y米与他所跑的时间x秒之间的函数关系式是
2．思考:
时间.因为速度=110÷12.88=审题分析，离终点的距离 y=110-已跑过的路程，已跑过的路程=速度×1375（米/秒），所以1375161y?110?x(0?x?12.88) 161
二、学习新课 说明 创设问题情景，激发学生兴趣，进一步领会一次函数的意义.
例1：某市为鼓励居民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准：①若用水量不超过8立方米，每立方米收费0.8元,并加收每立方米0.2元的污水处理费;②用水量超过8立方米时，在①的基础上,超过8立方米的部分,按每立方米收费1.6元,并加收每立方米0.4元的污水处理费.
（1）设某户一个月的用水量为x立方米，应交水费为y元，试分别对①②两种情况,写出y关于x的函数解析式,并指出函数的定义域.（2）若某用户某月所交水费为26元，则该居民用户该月的用水量是多少吨？
1、审题，给学生读题独力思考、小组讨论的时间.
2、分析：水费随着所用水量的变化而变化，它们之间存在函数关系,且随着用水量范围的不同，水费也有着不同的计算方式，实质上它们是分段
函数.根据收费标准在①的情况下,0?x?8,这时每立方米应收费0.8+0.2=1(元),故y?(0.8?0.2)x?x.y与 x是正比例函数. 在②的情况下,x?8时,有8立方米的用水按①应收费8元，超过8立方米的部分每立方米水收费1.6+0.4=2(元),应收费2(x-8)(元),所以y=8+2(x-8)=2x-8.y是 x的一次函数.第2小问，学生应考虑代入②式中的y求x.
3、解答：教师板演，规范书写，特别是定义域不可遗漏.
4、指导学生画出上述函数的图像.实际问题函数图像，根据定义域的不同，图像可能是线段或射线，且要注意端点是实心点还是空心点的问题.
(4)一般可根据定义域的端点来取值，描点，作出实际问题的函数图像. 说明 从学生熟悉的的水费计算问题中, 学生初步体验建立函数关系的过程就是把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来,这过程也就是函数模型建立的过程.本例的学习为学生学习例2,用数学方法解决实际问题打下良好的基础.
例2：据报道，某地区从1995年底开始，每年增加的沙漠面积几乎相同，1998年底该地区的沙漠面积约为100.6万公顷，2001年底扩展到101.2万公顷，如果不进行有效治理，试估计到2020年该地区的沙漠面积.
1、审题，学生独立思考.
2、小组讨论，全班交流.
解法一:(算术解法)(101.2-100.6)÷3=0.2(万公顷/年)
0.2×(2020-1998)+100.6=105(公顷)
答:估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.
解法二:分析数量关系,合理确定变量和常量.其中1998年沙漠面积100.6万公顷,2001年101.2万公顷,每年增加的沙漠面积是常量.沙漠面积随着年数的增加而增加,所以,年数是自变量,沙漠面积是年数的函数.以
1999年为第一年,第x年的沙漠面积=1998的沙漠面积+x年内增加的沙漠面积.
解:设该地区每年增长的沙漠面积为a万公顷,以1999年为第一年,第x年的沙漠面积为y公顷,那么y与x之间的函数关系为y?ax?100.6
2001年是第三年,当x=3时, y=101.2,即101.2=3a+100.6,解得a=0.2.所以y?0.2x?100.6.2020年是第22年,当x=22时,y=0.2×22+100.6=105
答: 估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.
解法三: 分析数量关系,建立函数模型,用待定系数法确定函数解析式后求解.
再由x解:以1999年为第一年,设第x年的沙漠面积为y公顷,则y?kx?b.
?0时,y?100.6;x?3时,y?101.2,确定
y?0.2x?100.6.当x?22时,求出y?105.
答:估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.
说明 在教学过程中可能大部分学生乐意采用解法一，算术解法好理解，书写简单，答案易求.但教师要善于引导学生应用函数的数学思想来解决问题,让学生体会根据函数解析式可以预测未来任何一年的沙漠面积,知道函数是描述客观世界的变化规律的重要数学模型.逐步培养学生应用函数模型解决实际问题的意识和能力.解法三对学生函数的建模能力要求比较高,教师可根据学生的实际情况进行教学.
三、巩固练习
1、某地普通电话的收费标准如下：通话时间不超过3分钟收费0.2?元，3分钟后每超过1分钟收费0.15元．写出话费y（元）与通话时间x（分钟）函数关系式．
解：本题分两种情况：
（1）当0<x≤3时，函数关系式是y=0.2；
（2）当x>3时，函数关系式是y=0.2+0.15（x-3）．
2、按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税额（所得税征收办法规定：月收入？元的部分不收税;）不超过？的税率为5%，超过500元至2000元部分的税率为10%.设全月应纳税额为x元，且500＜x≤2000,应纳个人所得税为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
解:y=500〓5%+(x-500) 〓10%=0.1x-25(500＜x≤2000)
所求的函数解析式为y=0.1x-25，
自变量x的取值范围为500＜x≤2000.
四、课堂小结
1、通过本节课的学习，你在知识、方法方面有哪些感悟？还有哪些问题要提出呢？
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