异面直线距离的多种求法
BD、B1C的距例． 如图，已知正方体ABCD?A1BC11D1的棱长为a，求两异面直线
离．
解法一（面面平行法） 如附图，两异面直线BD、B1C间的距离 ? 两平行平面BDA1、面B1CD1间的距离d,且由三垂线定理知AC1与这两个平行平面垂直。由平面几何知识易证AC1被这两平行平面三等分，
?d?． 1AC1，3解法二（公垂线段法） 由上可知，两异面直线BD、B1C的公垂线段平行且等于
由1这一特殊的比例关系联想到三角形的重心，启发我们去构造重心!故找寻交线BC的中点3
P，设PC1?B1C?M,PA?BD?N，易证M、N分别为?BCC1和?ABC的重心，由
1PM1PN==得MN平行且等于AC1，则MN即为两异面直线BD、B1C的公垂线段! 3PC13PA
思维发散：空间四边形的四个内角中，最多有多少个直角呢? 如附图，在空间四边形CMNO中?CMN??MNO??NOC?90?，但对于?OCM是否为直角呢？不妨假设?OCM?90?，则异面直线BD、B1C将有两条公垂线段MN、OC，这与公垂线段的唯一性矛盾！?直角最多只能有3个。
解法三（最小值法）：在B1C上任取点M，在面BC1内作MH?BC，再在底面ABCD
内作HN?BD，连MN，设MH?x,
?BH?a?,xH2a??，x
213?a?a2222则在直角三角形MHN中，有：MH?x??a?x???x???， 22?3?3
a当x?，即点M为B1C
的一个三等分点时，dmin? ． 3BD、B1C 解法四（线面平行、等积法）：?B1C // 面A1BD,则两异面直线
间的距离?直线B1C到面A1BD的距离?点B1到面A1BD的距离
11故可由等积法得：ＶB1?A1BD＝ＶD?A1BB1 ??S?A1BD?d＝?S?A1BB1?a 33
． 6?面ABC1D1，由解法五（垂面法即射影法）：?A1D?面ABC1D1? 面A1DB
B1C//A1D得 B1C?面ABC1D1, 设A1D?AD1?G,B1C?BC1?K， ?BD在面ABC1D1上的射影为BG,过K在面ABC1D1内作KQ?BG,由于B1C// 面A1DB, 则：
BD间两异面直线B1C与BG间的距离?直线B1C到面A1C、1DB的距离? 两异面直线B
的距离 ? KQ即为所求！ )?2d即
3a3 ?
d?
?aBK?GK??a ． 在Rt?
BKG中，KQ?BG解法六（法向量法）：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D?0,0,0?、B?a,a,0?、B1?a,a,a?、C?0,a,0? ?????????DB??a,a,0?,B1C???a,0,?a?， ?设两异面直线BD、B1C的法向量为n??x,y,z?， ? ?????
n?DB＝xa?ya?0 ? y??x ??????ax?az?0 z?x n?BC1＝? 取x?1，则n??1,?1,1?，再在BD、B1C上各取一点D、C ?????DC?n???? 得DC??0,a,0?，?ｄ＝? ． n?解法七（分解定理法）：设n?xBA?yBC?BB1 是BD、B1C的公垂线段上的向量（在空间向量基本定理中不妨取z?1） ?????????????????????????2 ?n?B1C=xBA?yBC?BB1?BC?BB1?a??y?1??0
?????????????????????????2n?BD=xBA?yBC?BB1?BA?BC?a??x?y??0
?????BB1?n?????????????2 ?y?1 则n＝-BA+BC+BB1；x??1 ? d=? ． ?n????????解法八（向量法）：? DB?(a,a,0)、B1C???a,0,?a? ???????? 设 DN?xDB?(xa,xa,0)?N(ax,ax,0) ????????? B1M?yBC?(?ay,0,?ay)?M(a?ay,a,a?ay) 1????? 则 MN?a(x?1?y,x?1,?1?y)
?????????2 ? DB?MN?a2(x?1?y)?a2(x?1)?0 ? x? 3?????????222y?? BC?MN?a(1?x?y)?a(1?y)?013
??????????111 ? MN?a(,?,?) 所以 d?M? ． a3333????????
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