章末检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．棱长都是1的三棱锥的表面积为() A.3
C．33B．23 D．43
3. 4解析：因为四个面是全等的正三角形，则S表面积＝4S底面积＝4×
答案：A
2.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为
8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角
形，则该几何体的体积是()
A．48
C．96B．64 D．192
解析：由已知可得该几何体是一个四棱锥，
四棱锥的高为4，底面是矩形，
11∴V＝Sh＝×8×6×4＝64. 33
答案：B
4π3() 3
A.2 33 3
2 32 3
44解析：设正方体的外接球半径为r，正方体棱长为ar3＝， 33
∴r＝1，∴3a＝2r＝2，得a＝
答案：D
4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线()
A．至少有一条
C．有且只有一条B．至多有一条 D．没有 3. 3
解析：设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，则a
∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直
线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．
答案：B
5．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是(
)
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A．④③②
C．①②③ B．②①③ D．③②④
解析：由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又主视图和左视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又主视图和左视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又主视图和左视图均是三角形，则丙是圆锥．
答案：A
6．E，F，G分别为正方体ABCD-A1B1C1D1面A1C1，B1C，CD1的对角线交点，则AE与FG所成的角为( )
A．90°
C．45° B．60° D．30°
解析：在△BDC1中，GF为△BDC1的中位线，∴GF∥BD.又∵BD⊥平面ACC1A1，AE?平面ACC1A1，∴BD⊥AE，∴FG⊥AE，∴AE与FG所成的角为90°，故选A.
答案：A
7．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若a∥α，bα，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若aα，bβ，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
解析：A错，a，b可能平行或异面；B错，a，b也可能相交或异面；C错，可能α与β相交．
答案：
D
8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
8πA. 3
10π 3B．3π D．6π
1解析：由三视图可知该几何体的体积V＝π×12×2＋×π×12×2＝3π. 2
答案：B
9.如图是底面面积为3，体积为3的正三棱锥的主视图(等腰三角形)和俯
视图(等边三角形)，此正三棱锥的左视图的面积为( ) 3A. 2
3 B．3 32
1解析：根据已知条件可得正三棱锥的底面边长是2，高为3，故左视图的面积是3×32
3＝. 2
答案：A
10．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆a
kg，则共需油漆的质量为( )
A．(48＋36π)a kg
C．(36＋36π)a kg B．(39＋24π)a kg D．(36＋30π)a kg
解析：此建筑物是直四棱柱与圆锥的组合体，其外壁的面积S＝π×32－3×3＋π×3×5＋3×4×4＝39＋24π(m2)，因此共需油漆的质量为(39＋24π)a kg.
答案：B
11．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．α∥β，mα，nβ?m∥n
B．l⊥β，α⊥β?l∥α
C．m⊥α，m⊥
n?n∥α
D．α∥β，l⊥α?l⊥β
解析：A中m，n还可能异面关系，
B中，lα也有可能．
C中，n
D正确．
答案：D α也有可能．
12．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是( ) 3A. 4
3 43 33 12
解析：由题意，知正三棱锥的顶点到底面的距离为1. ∵底面是正三角形且球半径为1，
3. 33∴底面积为4133∴V＝×1. 344
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
解析：以底边所在直线为准进行推算，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．
答案：8
14．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为________．
1解析：如图，由条件易判断EH綊FG綊BD， 2
∴EH＝FG＝1，
1同样有EF綊GH綊，EF
＝GH＝1， 2
又BD⊥AC，∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是边长为1的正方形，其面积S＝12＝1.
答案：1
15．若圆锥的母线长为2 cm，底面圆的周长为2π cm，则圆锥的表面积为________． 解析：设圆锥的底面半径为r.
则2πr＝2π，
∴r＝1.
则圆锥的表面积：
1S＝×2π×2＋πr2＝2π＋π＝3π. 2
答案：3π
16. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个
9球面上，且该六棱柱的体积为3，则这个球的体积为________． 8
解析：令球的半径为R，六棱柱的底面边长为a，高为h，显然有 1???V六棱柱＝63a2×h＝9，?a＝2，4448且????R＝1?V球＝R3＝π. 33???h＝3?6a＝3
4 3
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知底面半径为3 cm 6 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．
解析：如图所示，所得几何体的表面积为：
S＝S底＋S柱侧＋S锥侧
＝(3＋＋)π(cm2)．
所得几何体的体积为：
V＝V柱－V锥
1＝S底6－S底6 32＝S底6＝26π(cm3)． 318．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直
于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC
的中点．
(1)求证：AM⊥PM； h2a2＋??2＝R，
(2)求二面角P-AM-D的大小．
解析：(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA. ∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，
PE＝PDsin∠PDE＝2sin 60°3.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，
而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.
∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形．
由勾股定理可求得EM3，AM＝6，AE＝3，
∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，
∴AM⊥PM.
(2)由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角．
∴tan∠PME＝PEEM＝3＝1，
∴∠PME＝45°.
∴二面角P-AM-D的大小为45°.
19．(12分
)某几何体及其三视图如图所示(尺寸的长度单位：m)
(1)O为AC的中点，求证：BO⊥平面APC；
(2)求该几何体的体积．
解析：(1)证明：由三视图可知，
平面PAC⊥平面ABC，BO⊥AC，
∴BO⊥平面APC.
(2)如图，过P点在平面PAC内作PE⊥AC交AC于E，由俯视图可知：CE＝1，AE＝3，PE＝2，
又BO＝3，
AC
＝4，
1∴S△ABC4×3＝6， 2
1∴VP-ABC＝×6×2＝4. 3
20．(12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的左视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)证明：直线BD⊥平面PEG.
解析：(1)左视图同主视图，如图所示．
(2)该安全标识墩的体积为：
V＝VP-EFGH＋VABCD-EFGH
＝1×402×60＋4023×20
＝32 000＋32 000＝64 000(cm3)．
(3)证明：如图，连接EG，HF及BD，
EG与HF相交于O，连接PO.
由正四棱锥的性质可知，
PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF.
又EG⊥HF，
∴HF⊥平面PEG.又BD∥HF，
∴BD⊥平面PEG.
21．(13分)我国北方冬季种植蔬菜要在暖室里种植，如图，某蔬
菜专业户要借助自家围墙修建一暖室，暖室由两墙面、地面和塑料薄
膜四个面围成，已知两墙的长度分别为a米和b米，高为c米，认定
两墙面、地面彼此交线互相垂直．问：修建暖室需要多少塑料薄膜？
解析：∵OC⊥OA，OC⊥OB，
∴OC⊥平面AOB，∴OC⊥AB，过O作OM⊥AB于M，则AB⊥
平面COM，∴AB⊥CM，在Rt△OAB中，AB＝OA＋OBa＋b，
OA·OBab∴OM＝， ABa＋b
∴CM＝OC＋OM＝ab＋bc＋caa＋bab＋bc＋ca1∴S△ABC·CM＝. 22
ab＋bc＋ca故修建暖室，需要塑料薄膜2
22．
(13分)已知某几何体的三视图如图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA1＝3，设D为AA1的中点．
(1)作出该几何体的直观图并求其体积；
(2)求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1；
(3)BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论． 解析：(1)
由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如图所
示．
∵几何体的底面积S，高h＝3，∴所求体积V＝
(2)证明：连接B1C交BC1于E点，则E为BC1，B1C的中点，连接DE
.
∵AD＝A1D，AB＝A1C1，∠BAD＝∠DA1C1＝90°. ∴△ABD≌△DA1C1，
∴BD＝DC1，
∴DE⊥BC1.
同理DE⊥B1C，
又∵B1C∩BC1＝E，
∴DE⊥平面BB1C1C，
又∵DE?平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BB1C1C.
(3)若P为BC的中点，则AP∥平面BDC1. 证明：连接PE，则PE平行且等于AD， ∴四边形APED为平行四边形， ∴AP∥DE，又DE?平面BDC1，AP?平面BDC1， ∴AP∥平面BDC1.
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